Доказательство формулы (РСПИ) (Доказательство формулы)

Задача.Оценить вероятность ошибки в системе n-кратного разнесения савтовыбором наиболее сильного сигнала при использовании двоичнойсистемы с активной паузой, ортогональными в усиленном смысле сигналами,при медленных рэлеевских независимых замираниях в отдельных ветвях.Прием некогерентный.Решение.Окончательное выражение для искомой вероятности ошибки даетсяформулой (5.125) на странице 241 в учебнике Пенина П.И. «Системыпередачи цифровой информации» (1976). Выведем эту формулу.ℎ =ℎℎ =ℎℎ=ℎ=ℎ∙∙ℎ ∙ℎℎ∙ℎ.1.ℎ= 1−ℎ=ℎср#.2ℎℎсрсрIIDℎ112Вероятность того, что во всех ветвях, кроме одной, параметр ℎ < ℎ :2ℎ= −срℎ! #0=Таким образом, распределение величины ℎ :=2ℎℎсрср1−ср.#Разложим функцию плотности распределения параметра ℎ в биномНьютона.34Бином Ньютона:&+(= ) *+&+,( .5+ +1ℎ2ℎℎср=1−срср=#2ℎℎсрСредняя вероятность ошибки:2/ош ср =/ош ℎℎℎ =212ср2ℎℎсрср) *+−1+) *+−1++,+,++ср.ср= 3 изменим порядок суммирования и интегрирования B =+,+,=)+,H=*+22ℎℎсрC−∙ *+ср−11E ∙ *+D+1∙ ∙ −12 D+1−12+F++ℎ =ср+F++Fсрср=.7Рассмотрим отдельно интеграл, входящий в полученное выражение.2+F+F== −1 −2ср=интегрирование по частям:⎧⎪+FO=IID=)212ℎ =2=)1126ср∞#! +0⎨⎪ Q=⎩2ℎср2 D+1+F+Fсрср,ℎср,O=Q = −ℎ= −1 −ℎ =+Fℎср⎫⎪⎬⎪⎭=ℎсрH.2 D+18Получили рекуррентное выражение, из которого можем выразитьинтеграл:H=2+Fср=−12 D+1=−.ℎсрℎср + 2 D + 11+2 D+129/ош ср−1*D−1 ∙ ∙ −1=)2 D+1D=0D+1∙ −* + ∙ ∙ −1 +F=)=)D!2 D + 1 + ℎср+,+,=)+,D!2 D+1ℎ2ср + 2 D + 1#=−1 !∙ −1 +F∙=− 1 − D ! ℎср + 2 D + 1−1 +!∙.− 1 − D ! ℎср + 2 D + 110Выразим полученное выражение через бета-функцию.Бета-функция:Y Z, [ =\]1−\^\.11Бета-функцию можно записать в следующем виде (см.

статью«Бета-функция» в Википедии, раздел «Свойства»):[=+F+F2[ +F,D! Z + D11где [+,+12IID21Y Z, [ = ) −1[– нисходящий факториал, равный=[ [−1 [−2 … [− D+1 +1 =[ [−1 [−2 … [−D =[!.[−D−1 !Итак, выразим выражение (10) через бета-функцию.Функция факториала определена только на множественеотрицательных целых чисел, поэтому для D из выражения − 1 − D ! ,стоящего в знаменателе полученного выражения для /ош ср , накладываетсяограничение D ≤ − 1. Однако подразумевая, что при D > − 1рассматривается гамма-функция Г c + 1 = c! и что для любыхотрицательных чисел Г ∀c < 0 = ∞, получаем, что выражение под суммойпри всех D > − 1 обнулится, поэтому верхнюю границу суммирования дляиндекса суммирования D можно увеличить до бесконечности.)+,D!2! −1 +1∙=)− 1 − D ! ℎср + 2 D + 1D!+,31! −1 +∙=− 1 − D ! ℎср + 2 D + 121= )D!2=+,2! −1 +11∙= ∙ )− 1 − D ! ℎср2+,+1+D2ℎсрYe+ 1, f.22+FD!∙1ℎср+1+D2=13Теперь воспользуемся следующей формулой (см.

статью«Гамма-функция» в Википедии, раздел «Свойства»):Y Z, [ =Г Z Г [.Г Z+[ℎсрYe+ 1, f =22214ℎсрГe+ 1f Г2ℎср+1+ fГe2.15Далее учтем основные выражения для гамма-функции (см. тот жераздел):2Г c + 1 = c!===ℎср+1+ fГe2!2ℎсрГe+ 1f2IID2ℎсрГe+ 1f Г211Г c + 1 = cГ c= 3с учетом 16 B =ℎср+1+ fГe22ℎсрГe+ 1f2−1 !ℎсрГe+1+ f21617== 3применим 17 для знаменателяB =ℎсрГe+ 1f2!= 3применим 17 для знаменателя еще разB =2 ℎсрℎсрe 2 + fГe 2 + fℎсрГe+ 1f2!2 ℎсрℎсрe 2 + fe 2 +ℎср− 1f Г e+24− 1f== 3применяем 17 в знаменателе===!2 ℎсрℎсрe 2 + fe 2 +ℎсрГe+ 1f2ℎсрℎсрℎср− 1f … e+ 2f e+ 1f Г e+ 1f222!12 ℎсрℎсрℎсрe 2 + 1f e 2 + 2f … e 2 +ℎср− 1f e+ f2!22 ℎ + 2 ℎ + 4 … iℎ + 2срсрср− 1 j ℎср + 2!2.k2ℎср + 2D=+,Таким образом:mm!n= k n.noср + np11lош срp,qIIDВыражение совпадает с приведенным в учебнике Пенина.5==2=разB =18.