Комягин Р.В., Сенин А.И. Исследование спектральных характеристик модулированных сигналов (Комягин Р.В., Сенин А.И. Исследование спектральных характеристик модулированных сигналов (лабораторная работа №1))

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 'ГЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. Н.Э. БАУМАНАР.В. КОМЯГИН, А.И. СЕНИНИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКМОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВМетодические указания к выполнению лабораторной работы по курсу"Основы теории и техники радиосистем передачи информации"Москва, 20162ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫЦель работы – изучение энергетических спектров модулированныхсигналов.Задачи работы – ознакомление с теоретическим материалом поданным методическим указаниям, выполнение работы в указанном порядке.Назначение лабораторной работы – углубление теоретических знаний,практических умений и навыков в результате проведения экспериментальныхисследований энергетических спектров модулированных сигналов путемматематического моделирования на ПК.3КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯМодулирующий сигнал в системах передачи дискретной информацииявляется одной из реализаций некоторого дискретного случайного процесса.В дальнейшем будем считать, что модулирующий процесс f (t) представляетслучайную последовательность прямоугольных импульсов с одинаковымиамплитудой h и длительностью Т, причем вероятность значений +h и -hодинакова.

Такой сигнал называют случайным синхронным телеграфнымсигналом. Его реализация показана на рисунке 1(а).Корреляционная функция случайного синхронного телеграфногосигнала определяется выражением:h 2 1   / T ,   TR ()  0, для других значений ,(1)а односторонняя спектральная плотность мощности определяется какG( )  4hT20(1 T) cos()d  2h 2Tsin 2 (T / 2).( T / 2) 2(2)На рисунке 1(б) представлена нормированная спектральная плотностьмощности синхронного телеграфного сигнала G(  )/G(0), где G(0) =2 h 2T .Основная энергия сосредоточена в диапазоне частот от 0 до f = 1/Т.4Спектральная плотность мощности амплитудноманипулированного сигнала (АМ сигнала)Вслучаеамплитудноймодуляциимодулированныйпроцессописывается функцией mf (t ) S AM (t )  U 0 1  cos(0 t   0 ),U0 (3)где U0 - амплитуда модулируемого гармонического сигнала; m – крутизнахарактеристики амплитудного модулятора; f(t) – случайный синхронныйтелеграфный сигнал.При амплитудной манипуляции значение m= U0/h и амплитудноманипулированный сигнал запишется в видеf (t ) S AM (t )  U 0 cos(0 t   0 ) 1 .h ПроцессS AM (t )(4)нестационарный с математическим ожиданием, равнымU 0 cos(0 t   0 ) .Нетрудно показать, что усредненная ковариационная функция сигналаSAM(t) определяется какK S AM ()  (U 02 / 2) cos 0   (U 02 / 2)1   / T cos 0 (5)(заметим, что второе слагаемое в формуле (5) равно 0 приаусредненнаяодносторонняяспектральная  T ),плотностьмощностиопределяется выражениемGS AM ( )  U 02 (  0 ) U 02T sin 2 (  0 )T / 2.(  0 )T / 22(6)Из формулы (6) следует, что при АМ усредненная спектральнаяплотность мощности модулированного сигнала имеет как непрерывную, таки дискретную составляющие.

Непрерывная составляющая при АМ сточностью до постоянного множителя представляет собой двухстороннийспектр модулирующего сигнала, сдвинутый по оси частот на  0 (см. формулу(2).5Спектральная плотность мощности фазоманипулированного сигналаДвоичная фазовая модуляция (ФМ-2)Сигнал ФМ-2 можно представить в видеSФМ - 2 (t )  f (t )U 0 cos(0t  ).(7)Нетрудно показать, что усредненная корреляционная функция сигналаS ФМ -2 (t )RS ФM 2 () U 02 h 21   / T cos 0,2 T ,(8)а усредненная односторонняя спектральная плотность мощностиGS ФM 2 ()  U 02 h 2Tsin 2 (  0 )T / 2.(  0 )T / 22(9)Из формул (7) и (9) следует, что ширина спектра при ФМ и АМ одинакова.Четырехкратная фазовая модуляция (ФМ-4)При четырехкратной ФМ каждая пара двоичных элементов кодируетсяв виде одной из четырех фаз сигнала (0°, 90°, 180°, 270°). СигналSФМ - 4 (t )можно представить двумя эквивалентными выражениями:SФМ - 4 (t )  U 0 sin(0t   m (t ) гдеmU0 Uf s (t ) sin(0t  )  0 f c (t ) cos(0t  ) ,4422принимает значения 0,процессывквадратурном(последовательности/2 ,  ,идвоичных3/2 ;иf c (t )- модулирующиеканалахсоответственноf s (t )синфазномсимволов(10)1длительностью2T,передаваемые по квадратурному и синфазному каналам.В предположении, что синфазный и квадратурный потоки символовнезависимы и каждый из них представляет собой случайный синхронныйтелеграфный сигнал, усредненная односторонняя спектральная плотностьмощности сигналаS ФМ -4 (t )с учетом (9) определяется выражениемGS ФM 4 ()  2U 02Tsin 2 (  0 )T .(  0 )T 2(11)6Из формулы (11) ширина спектра сигнала с четырехкратной ФМ равнаполовине ширины спектра сигнала с двукратной ФМ при одинаковойскорости следования символов от источника сообщений.Одно из главных преимуществ ФМ-4 перед ФМ-2 заключается в том,что при определенных условиях передачи при ФМ-4 достигается такая жеэффективностьиспользованиямощности,какприФМ-2,ноприиспользовании только половины ширины полосы частот.Четырехкратная фазовая модуляция со сдвигом (ФМ-4 с)При четырехкратной ФМ со сдвигом синфазный и квадратурныйпотоки информационных символов смещены во времени на Т.

Каждыйсимвол, поступающий на вход модулятора синфазного или квадратурногоканала, вызывает изменение фазы сигнала на 0°, +90°, -90°. Таким образом,нет изменения фазы на 180° (огибающая сигнала не принимает нулевыхзначений). Качество передачи при фильтрации полосовым фильтром можетбыть лучше, чем при обычной ФМ-4, т.к. фаза сигнала изменяется меньшимискачками. Действительно, полосовая фильтрация сигналов ФМ-2 и ФМ-4 сцелью уменьшения уровня боковых полос вызывает уменьшение огибающейдо нуля в моменты изменения фазы на 180°. Жесткое ограничение этихсигналов восстанавливает постоянство огибающей.

при этом уровеньбоковых полос спектра этих сигналов, уменьшенный в результатеузкополосной фильтрации, вновь увеличивается вследствие жесткогоограничения сигнала. С другой стороны, огибающая сигнала ФМ-4 с неуменьшается до нуля. Полосовая фильтрация также вызывает модуляциюогибающей. Однако минимальный уровень огибающей при умереннойфильтрации будет не менее 0,707 его максимального значения [1].Односторонний спектр сигнала ФМ-4 со сдвигом определяетсяформулой (11) [2]. Для сигналов ФМ с числом позиций, большим четырех,ширина спектра уменьшается в log 2 m раз относительно ширины спектрадвукратной фазовой модуляции.7Амплитудно-фазомодулированныесигналы(АФМсигналы).Системы сигналов с m > 2 можно также построить путем одновременной модуляцииамплитуды и фазы гармонического сигнала.

Число возможных дискретных значенийпараметровдолжнобытьравноm.Амплитудно-фазомодулированныесигналыописываются выражениемSi АФМ (t )  ai 2 / T cos 0t  bi 2 / T sin 0t ,0  t  T , i  1,.....m,(12)илиSi АФМ (t )  U i 2 / T cos(0t  i ),где U i  ai2  bi2 ,(13)i =arctg ( bi / ai )2 / T cos  0 t , 2 / T sin  0 tИспользуя функциив качестве базисных, сигналS i АФМ (t ) в соответствии с (12) и (13) можно рассматривать либо как двухмерный вектор скоординатами ai и bi в декартовой системе, либо как вектор с амплитудой U i и фазой i вполярной системе координат.В принципе, для каждого числа m можно построить бесконечное число ансамблейсигналов АФМ. Поэтому важной является задача нахождения оптимальных ансамблей.При равновероятной передаче сообщений оптимизация ансамбля заключается в такомразмещении сигнальных точек, при котором собственные области сигналов S i АФМ (t ) ,i = 1,.. , m, примерно одинаковы и имеют максимальный объем (площадь).

Эта задачасводится в общем случае к плотнейшей укладке сфер одинакового радиуса в m-мерномпространстве сигналов или, как в рассматриваемом случае, к плотнейшей укладкеокружностей на плоскости. При этом центры сфер или окружностей соответствуютсигнальным точкам.Спектральная плотность мощности частотно-манипулированногосигнала (ЧМ сигнала)Частотная модуляция может осуществляться двумя способами. Примодуляциипервоговидапроводитсяпереключениегенераторов, один из которых генерирует сигнал s1(t)независимыхна частоте f 1 ,соответствующий информационному символу +1, а другой - сигнал s2(t) начастоте f 2 , соответствующий информационному символу -1. Поскольку приэтом переход от сигнала s1(t)к сигналу s2(t) и обратно сопровождаетсяскачком фазы, так как фазы колебаний на частотах f 1 и f 2 меняются8независимо, первый вид частотной модуляции получил название модуляции"со скачком фазы".

При модуляции второго вида используется одингенератор сигнала, частота которого за время длительности информационнойпосылки изменяется от f 1 до f 2 или обратно без скачка фазы. Этот вид ЧМназывается модуляция с непрерывной фазой (ЧМНФ).Частотную модуляцию "со скачком фазы" можно рассматривать каксумму двух АМ сигналов с различными частотами несущих колебаний f 1 иf 2 , модулируемых в соответствующие промежутки времени (рисунок 3).9Следовательно, усредненная корреляционная функция и односторонняяусредненная спектральная плотность мощности ЧМ сигнала являютсясуммами усредненных корреляционных функций и спектров сигналов АМ снесущими частотами f1 и f2 и амплитудой U0/2:U 02U2(cos 1  cos2 )  0 (1  )(cos 1  cos 2 ),88T22 22U 0(  1 )  ( 2 )  U 0 T  sin (  1 )T /22  sin (  2 )T /22.GS ЧМ () 48  (  1 )T / 2(  2 )T / 2 RS ЧМ () (14)На рисунке 4 представлена усредненная спектральная плотностьмощности сигнала при частотной модуляции случайным синхроннымтелеграфным сигналом со скачком фазы.

Отметим, что ширина спектразависит от длительности информационной посылки Т и девиации частоты   2  1 и шире, чем при АМ и ФМ-2.Спектральная плотность мощности частотно-модулированногосигнала с минимальным частотным сдвигом ( ММС)В случае ММС сигнал представляется какS ММС (t )  sin(0 t  n / 2  2 f i dt ) ,где0 t  T ,(15)для информационного символа "1" f1  1 / 4T ,fi   f 2  1 / 4T , для информационного символа "0".Модуляция с минимальным сдвигом аналогична четырехкратной ФМ сосдвигом, что можно увидеть из следующего преобразования:nt t  n S ММС (t )  sin 0 t  A(t )   sin0 t  (t )  cos  A(t )  sin 0 t   22T 2T  2t n  sin  A(t )  cos 0 t   ,0  t  T ,2T 2(16)где А(t) = ±1.Очевидно, что фаза этого колебания изменяется на 90º в каждомвременном интервале элемента точно так же, как при четырехкратной ФМ сосдвигом, за исключением того, что изменение фазы происходит линейно, а немгновенно.

Таким образом, если модуляция в модуляторах четырехкратной10ФМ со сдвигом проводится колебаниями вида sinx и cosх, как в предыдущемвыражении для SММС(t), то сигналы на выходе будут идентичны сигналам примодуляции с минимальным сдвигом. Следует заметить, что для поддержанияпостоянства огибающей SММС(t) необходимо модулировать сигналы в обоих(синфазном и квадратурном) каналах в течение каждого временногоинтервала.Усредненная односторонняя спектральная плотность мощности ММСсигнала при случайном законе модуляции определяется следующимсоотношением [1]:GММС () 4U 02 1  cos 2T. 2 1  (42T 2 /  2 2(17)Ширина основного лепестка спектра ММС сигнала на 50% шире, чем усигнала ФМ-4 со сдвигом. Однако боковые лепестки в ММС сигналеуменьшаются значительно быстрее, чем в ФМ-4 со сдвигом.