Диссертация (Кооперация и конкуренция в динамических моделях управления возобновляемыми ресурсами), страница 9

Предположим, что центр выделилдолю закрытой для эксплуатации территории s(t) = 0.4, t ∈ [0, T ], постоянную во времени.Оптимальное значение E ∗ (t) в данном варианте будет иметь вид, изображенный на рис.1.4. Начиная с девяти судов, участвующих в ловле, первые 10 периодов число судов растет,а затем падает до восьми. При этом размер популяции увеличится со 150000 до 250000особей (рис. 1.5), а вылов будет увеличиваться с 1600 до 2500 особей (рис. 1.6).412400009.22400220000922002000008.8200018000018008.61600000204060800100Рис 1.4.

Стратегия E ∗ (t)204060801001600Рис 1.5. Размер популяции020406080100Рис 1.6. Вылов U ∗ (t)x∗ (t)Выигрыш игрока при оптимальном поведении составит J = 0.221 · 109 .Для случая s(t) = 0.8, t ∈ [0, T ], оптимальные значения E ∗ (t), U ∗ (t), x∗ (t) представлены на рис. 1.7–1.9. Интересно заметить, что оптимальным решением является отсутствиевылова на промежутке времени [0, 14], и затем постепенное наращивание промысловых усилий до восьми судов.

Вылов также увеличивается с 0 до 900 особей, а размер популяциивырастет со 150000 до 290000 особей.При этом выигрыш игрока при тех же параметрах задачи составит J = 0.269 · 109 .2800008007260000624000060052200004400320000021800001160000020406080100Рис 1.7. Стратегия E ∗ (t)200020406080100Рис 1.8. Размер популяцииx∗ (t)020406080100Рис 1.9. Вылов U ∗ (t)421.2.2. Арбитражные решенияТаким образом, если стратегия центра s(t), t ∈ [0, T ] известна игроку, то он можетнайти свое оптимальное поведение E ∗ (t). Это, в свою очередь, становится известно центру,который, в зависимости от стратегии игрока, получает тот или иной выигрыш (доход илизатраты).В качестве функционалов, определяющих выигрыш центра (контролирующего органа),в данном разделе рассмотрены следующие:RT1.

I1 = − (x(t) − x̄(t))2 dt ,0где x̄(t) – размер популяции, оптимальный для воспроизводства.В этом случае I1 – это относительная величина, отражающая затраты центра на восстановление эксплуатируемой популяции. Как подчеркнуто в [18] отклонение численности популяции от размера, оптимального для воспроизводства, ведет к вырождениюпопуляции как от перелова, так и от перенасыщения экологической ниши.Другими типами функционалов могут быть:RT2. I2 = − (U (t) − x̂(t))2 dt ,0RT3. I3 = − |U (t) − x̂(t)| · θ · Π(q, s(t), x(t), E(t))dt ,0где U (t) = qE(t)(1 − s(t))x(t) – вылов игрока в момент времени t, x̂(t) – уровеньпотребления, определяемый спросом, а цена продажи ресурса имеет видΠ(q, s(t), x(t), E(t)) = p − kqE(t)(1 − s(t))x(t), p, k > 0 .В данных вариантах выигрышем центра являются затраты на удовлетворение спросанаселения в данном ресурсе, выраженные в случае 2.

в относительных единицах, а в случае3. в денежных единицах с учетом, например, стоимости перевозки. Как и в случае 1. отклонение имеющегося вылова от необходимого ведет к дополнительным затратам центра какпо приобретению ресурса в других источниках, так и к потерям вследствие перенасыщениярынка.В диссертационной работе было проведено численное моделирование и получены значения выигрышей J, I1 , I2 и I3 . Среди точек, определяемых данными выигрышами и составляющих оптимальное по Парето множество, найдены арбитражные решения Нэша иКалаи–Смородинского.43В качестве начальной точки для переговоров естественно выбрать пару (I 0 , 0), где I 0представляет собой затраты центра при отсутствии вылова, а выигрыш игрока равен нулю.RTВ случае 1.

I10 = − (x(t)−x̄)2 dt – затраты на восстановление популяции, развивающейся0в естественных условиях, где уравнение (2.1) принимает вид x0 (t) = F (x(t)), а в случаях2. I20 = −x̂2 T и 3. I30 = −x̂ p θ T – затраты на удовлетворение спроса населения в данномресурсе в отсутствие вылова.Значения s(t), соответствующие оптимальным по Нэшу и Калаи–Смородинскому решениям, представлены в табл. 1.1.Таблица 1.1.

Оптимальные значения s(t). Функционал I1x̄(t) тыс. 180 200 220 240 250 260 280 300 320Нэш0000.3 0.55 0.7 0.8 0.9 0.9К-С0000.3 0.48 0.62 0.77 0.82 0.82Заметим, что так как начальный размер популяции 150 тыс., то центру нет необходимости выделять закрытую для эксплуатации зону при размере популяции, оптимальномдля воспроизводства ниже 230 тыс., т.к. даже в присутствии вылова популяции естественным образом достигает необходимого значения. При увеличении размера, оптимальногодля воспроизводства, центру необходимо увеличивать долю закрытой для эксплуатациитерритории вплоть до полного ограничения вылова при x̄ > 320.Здесь решения Нэша и Калаи–Смородинского мало отличаются, но, как уже упоминалось, вторая схема более проста в построении.Для функционалов вида I2 , I3 , значения s(t), соответствующие оптимальным по Нэшуи Калаи–Смородинскому решениям, представлены в табл.

1.2.Таблица 1.2. Оптимальные значения s(t)Функционал I2x̂(t) 500 700 1000 1200 1500 2000 2200 2500 3000Нэш 0.8 0.80.70.60.400К-С 0.78 0.72 0.62 0.53 0.4 0.15 0.1000044Функционал I3x̂(t) 500 700 1000 1200 1500 2000 2200 2500 3000Нэш 0.8 0.8 0.60.50.1К-С 0.8 0.7 0.57 0.49 0.30000.2 0.15 0.0500Заметим, что при маленьком спросе на ресурс центр может ограничивать долю территории больше, чем вдвое. А при увеличении x̂ необходимо открывать для лова все большую территорию вплоть до полного отсутствия закрытой для эксплуатации зоны. Здесьрешения Нэша и Калаи–Смородинского имеют общую тенденцию, но вторая схема болеечувствительна к изменению параметра x̂.Приведем также результаты моделирования сценария, в котором центр может изменитьразмер закрытой для эксплуатации территории.Пусть центр изменяет размер закрытой для эксплуатации территории один раз в произвольный момент времени.

Обозначим этот момент времени t∗ , размер закрытой территориина промежутке [0, t∗ ) – s1 (t), а на [t∗ , 100] – s2 (t). На рис. 1.10 представлены переговорноемножество, точка статус-кво и арбитражное решение Нэша.3e+08x(0) = 150000 x̄ = 1800002.5e+082e+08арбитражное решение достигается1.5e+081e+08при t∗ = 955e+07–1.4e+12 –1.2e+12 –1e+12Χ–8e+11–6e+11–4e+11–2e+110s1 (t) = 0 s2 (t) = 0.7I1 = −0.153 · 1012Рис 1.10.

Выигрыши I1 и JJ = 0.309 · 109Таким образом, в данном случае рациональной политикой центра является отсутствиезапрета на эксплуатацию на промежутке времени от 0 до 95, и закрытие 70% территориив самом конце периода эксплуатации ресурса.Пусть, теперь, центр изменяет размер закрытой для эксплуатации территории два раза.Обозначим эти моменты времени t1 и t2 , размеры закрытой территории на промежутке[0, t1 ) – s1 (t), на [t1 , t2 ] – s2 (t), а на [t2 , 100] – s3 (t).

На рис. 1.11 представлены переговорноемножество, точка статус-кво и арбитражное решение Нэша.45x(0) = 150000 x̂ = 10003e+082.5e+08арбитражное решение достигается2e+08при1.5e+081e+08t1 = 35 t2 = 695e+07–4e+08–3e+08–2e+08Χ–1e+080s1 = 0.5 s2 = 0.7 s3 = 0.8I2 = −0.363 · 108Рис 1.11.

Выигрыши I2 и JJ = 0.127 · 109Таким образом, для функционалов I2 и I3 оптимальной политикой центра являетсязакрытие для эксплуатации 50% территории на промежутке времени от 0 до 35 и закрытие70 − 80% на оставшемся промежутке периода эксплуатации ресурса.В приложении приведены также результаты моделирования с использованием реальныхданных о лососе в Онежском озере и сиге в озере Сямозеро.Проведенное моделирование показало, что предложенная в диссертационной работе схема экологического регулирования может применяться как для стабильно развивающихсяпопуляций (лосось в Онежском озере), так и для регрессирующих популяций (сиг в озереСямозеро). Проведенный анализ показал как должны быть решены основные задачи нетолько по сохранению, но и по рациональной эксплуатации экологических систем.Результаты моделирования показывают, что при изменении доли закрытой для эксплуатации территории экологическая ситуация и выигрыши участников меняются. Поэтому, вследующем разделе диссертационной работы будет исследована модель, где доля закрытойдля эксплуатации территории не является фиксированной величиной.461.3.

Модели с меняющейся долей территории эксплуатацииВ предыдущем разделе диссертационной работы было проведено исследование теоретикоигровой модели, в которой стратегия центра – доля закрытой для эксплуатации частитерритории s – постоянна во времени. В качестве решения возникающего конфликта были применены арбитражные схемы.

Предположим теперь, что центр может менять своюстратегию в каждый момент времени и определим равновесное по Нэшу решение задачи управления возобновляемыми ресурсами в эколого-экономической системе с участиемцентра.1.3.1. Задача определения территории эксплуатации с функционалом I1Напомним основную постановку задачи. Центр определяет долю закрытой для эксплуатации части территории, обозначенную s(t), 0 ≤ s(t) ≤ 1. Часть, на которой эксплуатацияразрешена, соответственно равна 1 − s(t).