Диссертация (Исследование импульсно-периодического излучающего разряда высокого давления в парах цезия), страница 4

Уравнение переноса частицПосле интегрирования обеих частей (1.1) по скоростям, получаем:n  div n V   .t(1.5)Здесь использованы следующие определения величин nα, V и Γα: n (r , t )   f (r , v , t )dv ,(1.6)   n V (r , t )   v f (r , v , t )dv ,(1.7)  (r , t )   C (r , v , t )dv ,(1.8)где nα – концентрация частиц, V – средняя скорость движения частиц, Γα – изменение числачастиц сорта α в единице объёма плазмы вследствие столкновений. Отметим, что в случаеупругих столкновений Γα = 0.1.1.2. Уравнение переноса импульсаУмножим (1.1) на mαvαi и проинтегрируем по всему пространству скоростей:    Fjmvfdvmvvfdvmvf  dv   m vi C dv , i = 1,2,3. i  i j  itx jv j  m(1.9)16Здесь и ниже, по повторяющимся индексам j предполагается суммирование.

Теперь, сучётом определений (1.6)–(1.8), преобразуем каждое слагаемое в (1.9) отдельно. Для первогои второго слагаемых получаем: m vi f dv  m n Vi , m vi v j f dv   m (vi  Vi )(vj  Vj ) f dv   m vivj f dv  m n ViVj  p  ij   ij  m n ViVj .Здесь введены обозначения v   v  V для хаотической скорости частиц сорта α и m vivj f dv  Pij  p  ij   ij ,(1.10)где Pαij – тензор внутренних напряжений, παij – тензор вязких напряжений, pα – парциальноедавление:1p (r , t )   m v  2 f  dv .3(1.11)При выполнении интегрирования в третьем слагаемом учтём, что при i ≠ j m vi v j Fif  dv j  m vi v j mFj Fj m f  dv j  m vi m f  v j 0 .v j  При i = j  Fi m vi vi  m Ff  dv    i f  m dv  n Fi .mДля третьего слагаемого в (1.9) теперь получаем:  Fi m vi v j  m  0 , при i  j ,f dv   n Fi , при i  j .Для выражения в правой части (1.9): m vi C dv   m viC dv   m Vi C dv  Ri  m Vi  .Здесь введено обозначение  R (r , t )   R    m v C (r , v , t )dv .(1.12)Величина R равна изменению импульса частиц сорта α вследствие их столкновений совсеми остальными частицами в плазме.

Отметим здесь, что величина R фактическиопределяется только упругими столкновениями, поскольку их частота намного большечастоты неупругих ударов. После подстановки выражений для всех слагаемых в (1.9)получаем17 m n Vi    m n ViVj   p  ij    ij  n Fi  Ri  m Vi  , i =1,2,3.tx jx jx j(1.13)Используя уравнение переноса частиц (1.5), можно записать (1.13) в форме, содержащейполную производную по времени:m n ijdVip   n Fi  Ri , i = 1,2,3.dtxix j(1.14)1.1.3.

Уравнение переноса энергииУмножим (1.1) на mαv2/2 и проинтегрируем по всему пространству скоростей: m v 2m v 2   Fjm v 2vfdvfdv 2 j  2 v  m   2 C dv , i = 1,2,3. (1.15)j   Рассмотрим последовательно все слагаемые в (1.15) и учтём, что v 2  (v   V ) 2  v 2  2v V  V 2 . Для первого слагаемого получаем m v 2f dv t2x j mm v 2m v  2f  dv  f  dv  2V 1) 2222 m V v f dv  231 f dv  2 n kT  2 n m V2Здесь введено обозначение для температуры Тα частиц сорта α:m  3n kT ( r , t )    v  V222 f (r, v, t )dv   m2v2 f ( r , v , t )dv .(1.16)2) При преобразовании второго слагаемого в (1.15) учтём, что   v 2 v j  (v   V ) 2 (v j  V j )  v 2 v j  2v V v j  V2 v j  v 2Vj  2v VVj  V2Vj .Кроме того, учтём, чтоm 2 2 V vj f dv  0 иm   2 2v V Vj f dv  0 .Теперь получаемm v 231vfdv q j  Vj p  Vk  kj  Vj n kT  n m V2Vj .j 222Здесь q - плотность потока тепла (т.е.

перенос энергии хаотического движения в системекоординат, где газ из частиц сорта α неподвижен в данной точке пространства):m v 2   q (r , t )   v f  (r , v , t )dv .2(1.17)3) При преобразовании третьего слагаемого выполним интегрирование по частям:18Fj m v 2   Fjfdvf 2 v j  m  m v j m v 2  Fdv   j f m v j dv  m 2   F V n  e EV n .Здесь учтено, что v 2 f  0 при v   .4) m v 2m v 2m  mV2mV2CdvCdv2vVCdvCdvQRV   2  2  2 2 2Здесь введено обозначениеm v 2 Q (r , t )   Q    C (r , v , t )dv ,2(1.18)где Qα – выделение тепла в газе частиц сорта α вследствие их столкновений со всемиостальными частицами.После подстановки всех слагаемых в (1.15) получаем уравнение переноса энергии длячастиц сорта α: 5 31122  kjVk  n kT  n m V   div q  V  n kT  m nV  t  2222 x j 1 e n EV  Q  R V  m V2  .2(1.19)Уравнения переноса (1.5), (1.13) и (1.19) можно рассматривать как уравнения относительновеличин nα , V и Tα .

При их выводе не использовались какие-либо предположения иупрощения, кроме тех, которые необходимы для применимости исходного уравненияБольцмана (1.1). Эти уравнения, однако, незамкнуты, поскольку в них входят неизвестныевеличины Гα, R , παij , Qα и q . В условиях ИПР в цезии от величин Гα удаётся избавиться,используя условие квазинейтральности и соотношение Саха. При расчёте величин R , Qα иq ниже используются результаты [2], полученные в рамках 13-моментного приближенияГрэда. Далее в этой главе будут рассмотрены уравнения переноса в плазме импульснопериодического разряда (ИПР) в парах щелочного металла, представленные в работах[А3,А11,А12,А16-17,А32].1.2.

Состав цезиевой плазмы в условиях ИПРВ характерных для ИПР условиях, температура плазмы цезия изменяется вдоль радиусагазоразрядной трубки в диапазоне значений 1300 – 7000 К. Давление плазмы практически19постоянно вдоль радиуса и составляет значение порядка атмосферного. Как известно, плазмапаров металлов может иметь, вообще говоря, сложный состав, включающий нейтральные иионизированные молекулярные комплексы. На рис. 1.1-1.2 приведены результаты расчётов[8] состава равновесной плазмы паров цезия, выполненные в рамках химической модели [9],и результаты расчётов по более ранней модели [26]. Хорошо видно, что, в условиях ИПР,плазма паров цезия состоит, главным образом, из атомов (a), ионов (i) и электронов (e). Этопозволяет определять состав цезиевой плазмы из системы уравнений, включающих в себя:условие квазинейтральности [10]ne  ni ,(1.20)соотношение Саха для ионизационного равновесия [11]ne ni  K (Te )na ,(1.21)и уравнение состояния плазмыp  (na  ni )k BTh  ne k BTe .(1.22)Здесь учтено, что температуры тяжелых частиц (атомов и ионов) одинаковы: Ta = Ti = Th .

В(1.21) K(Te) – константа ионизационного равновесия. В атомарной плазме в области значенийпараметров na и Te, соответствующих области первой ионизации, K(Te) имеет вид [12]:2K (Te ) Za 2mе k BTe h23/ 2 E  Eion exp  ion,k BTe(1.23)где Za – статистическая сумма по внутренним состояниям атома, kB и h – постоянныеБольцмана и Планка соответственно, Eion – потенциал ионизации, ΔEion – снижение энергииионизации вследствие взаимодействия между частицами в плазме. В настоящей работе дляΔEion использовалось дебаевское приближение, а статистическая сумма Za рассчитывалась поформуле Планка-Ларкина [13,14]:Eion e24 0 rD,(1.24) E  E  EkZ a (Te )   g k exp   k  1  exp   ionk BTe k BTe  k Eion  E k1 k BTe .(1.25)Здесь ε0 – электрическая постоянная, е – заряд электрона, gk и Ek – статистический вес иэнергия возбуждения k-го состояния атома, rD – дебаевский радиус [10]:1/ 2  k TTrD =  2 0 B e h  2e n (T  T ) e eh .20191018101710161015101410131012n , см-310CsCs2Cs3150018002100240027003000T,Kn , см-3Рис.

1.1. Концентрации нейтральных частиц в плазме цезия атмосферного давления:сплошные линии – [8], пунктир – [26].10161015+e, Cs10141013101210111010Cs2+_CsCs3+_Cs2150018002100240027003000T,KРис. 1.2. Концентрации заряженных частиц в плазме цезия атмосферного давления:сплошные линии – [8], пунктир – [26].21Значения энергии возбуждения и статистических весов для первых 120 уровней атома цезияприведены в приложении 2 (см. таблицу П.2.1). На рис. 1.3. показаны результаты расчётовстатистической суммы цезия в характерном для ИПР диапазоне температур 2000 К – 7000 К.Вычисления выполнены для разного числа учитываемых уровней n: 10, 20, 40, 81 и 120.

Примоделировании ИПР в цезии для расчётов Za использовалось значение n = 81, что, как видноиз рис. 1.3, достаточно для обеспечения приемлемой точности.13,63,423,23Za3,042,852,62,42,22,02000300040005000600070008000T,KРис. 1.3. Зависимость от температуры значений статистической суммы Za атома цезияпри разном числе учтённых уровней n: 1 – n = 120, 2 – n = 81 (красная линия),3 – n = 40, 4 - n = 20, 5 – n = 10.На рис.

1.4 приведены результаты расчётов степени ионизации и концентрации атомови ионов цезиевой плазмы атмосферного давления в исследуемом диапазоне температур,выполненные в соответствии с (1.20)–(1.22). Хорошо видно (см. рис. 1.4а), что , прихарактерном для ИПР изменении температуры плазмы вдоль радиуса трубки от 1500 К до7000 К, степень ионизации и концентрации частиц изменяются в очень широких пределах: отα ~ 10-5 вблизи стенок, до α ~ 0,6-0,8 вблизи оси разряда. Это приводит к существеннымразличиям в механизмах теплопроводности, электропроводности и излучения плазмы вгорячей и холодной областях.22 = ni /(ni+na )1040310-110-210-310-4(a)21200030004000500060007000T,K1101710161015ni , na , см-310182(б)3123442000300040005000600070008000T,KРис. 1.4.