Отзыв официального оппонента (Рандомизированные алгоритмы оценивания параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений)

отзыв официального оппонента Яковиса Леонида Моисеевича на диссертацию Волковой Марины Владимировны «Рандомизированные алгоритмы оценивании параметров инкубационных процессов в условиях неопределенностей н конечного числа наблюдени~Ъ>, представленную на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика 1. Актуальность темы диссертационной работы Как известно, цифровые технологии интенсивно проникают во все сферы науки и техники, Однако чтобы выполнить расчет той или иной системы, необходима ее математическая модель, которая дает возможность предсказать поведение системы при различных входных воздействиях, Наиболее распространенный способ разработки моделей систем — параметрическая идентификация, то есть формирование структуры модели на основе физических представлений с последующим определением параметров модели на основе экспериментальных данных о входах и выходах рассматриваемой системы.

Диссертация М. В. Волковой посвящена наиболее сложному варианту идентификации многомерных статических нелинейных моделей, когда онн строятся по малому числу экспериментальных данных в условиях случайных возмущений, о которых имеегся минимальная априорная информация. В основу работы положен традиционный подход, когда для определения параметров модели используется процедура метода наименьших квадратов (МНК). Как способ получения параметров МНК-моделей, так и метод расчета вероятностных характеристик точности получаемых оценок хорошо изучены для линейных по параметрам моделей в предположении нормальности и взаимной независимости случайных возмущений для случая большого объема статистических данных о входах и выходах объекта исследований. Вместе с тем для более сложных условий, о которых сказано выше, точные методы построения доверительных интервалов или в более общем случае доверительных множеств в пространстве оцениваемых параметров модели (то есть интервалов илн множества точек, внутри которых с заданной доверительной вероятностью находятся искомые точные значения параметров модели) до последнего времени были не известны.

Отсутствие обоснованной оценки точности получаемых при идентификации моделей, в свою очередь, затрудняет обоснованное применение МНК-моделей для ответственных практических расчетов. Учитывая, что малый объем экспериментальных данных н отсутствие информации о случайных возмущениях являются в реальной практике скорее правилом, чем исключением (что подтверждается, в частности, содержащимся в третьей главе подробным анализом проблем динамики разрушения материалов)„следует признать, что тема работы и сформулированные в ней задачи крайне актуальны как в научном, так и в практическом отношении.

' 2. Основные научные результаты диссертационной работы В целом, диссертация М„В. Волковой является логическим продолжением исследований ее научного руководителя доктора фнз-мат, наук, О. Н, Граничина, который вслед за Б. Касаи, М. Камни н Э. Вейер применил для формирования доверительного множества определенным образом организованную процедуру рандомизацнн (метод знако-возмущенных сумм /БРБф Перечисленным ученым удалось для моделей, линейных по параметрам, ослабить некоторые требования, которые предъявляются классической теорией МНК, к случайным возмущениям.

Речь идет, в частности, об условии нормального распределения случайных факторов, искажающих детерминированную модельную зависимость. Наиболее важными научными результатами диссертации М. В. Волковой являются: 1. Математически строгое доказательство возможности применения модифицированного БРВ-метода для нелинейных по параметрам многомерных статических моделей.

При этом трудно проверяемое требование нормальности распределения и центрироваиности случайных возмущений заменяется гораздо менее жестким условием симметричности распределения относительно нуля. Доверительное множество формируется алгоритмическим путем по заданной доверительной вероятности для выборки экспериментальных данных любого конечного объема. 2.

Математически строгое доказательство возможности применения специальным образом модифицированного ЗРЯ-метода для нелинейньи по параметрам статических моделей с одним входом в варианте отсутствия априорной информации о распределении случайных возмущений. Модификация предусматривает использование двух механизмов рандомизации. Наряду с рандомизацией при обработке данных эксперимента, которая применяется в «классическом» ЗРЯ-методе, здесь используется раидомизация при формировании дополнительных входных воздействий.

Применение такого рода активного эксперимента позволяет редуцировать исходную модель таким образом„ что случайные возмущения в новой модели имеют симметричное распределение — это, в свою очередь, позволяет свести задачу идентификации модели к предыдущей. 3. Математически строгое доказательство возможности применения модифицированного ЯРБ-метода при параметрической идентификации нелинейных по параметрам статических моделей применительно к задачам динамической прочности. Более конкретно, речь идет о расчете доверительного интервала параметра инкубационного времени разрушений материала. 3.

Достоверность результатов диссертации Достоверность результатов диссертации определяется серьезной аргументацией практически «каждого шага» выполненных исследований. Аналитические результаты проверены и подтверждены содержательными примерами из области испытаний динамической прочности различных материалов.

Главные результаты работы, относящиеся к определению доверительных множеств при МНК-оценке параметров, базируются на прочном фундаменте теории оптимизации, теории оцеиивания параметров, теории вероятностей и математической статистики. Уверенность в достоверности результатов диссертации придает также высокая степень ее апробации в болыпом количестве серьезных публикаций и докладов на престижных международных конгрессах и конференциях.

По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 3 — в изданиях, индексированных в БД Бсориз,и 2 — в научных журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для публикации основных научных результатов диссертаций. Важно отметить, что 5 из 13 статей написаны М. В. Волковой единолично, а в статьях, написанных в соавторстве, ей принадлежат все доказательства.

4. Практическая значимость результатов диссертации Что касается практической значимости результатов диссертации, то она обусловлена как актуальностью рассматриваемых задач (о чем уже было сказано), так и простотой практической реализации предложенных в работе алгоритмов, хорошо приспособленных для компьютерной реализации и содержащих минимальное количество настраиваемых пользователем параметров.

При наличии значительного по объему и серьезного по содержанию «прикладного» раздела диссертации (Глава 3 Оценивание параметра инкубационного времени разрушения при конечном числе наблюдений, занимающая 20 страниц текста) ее результаты могут быть востребованы организациями, занимающимися исследованиями и разработками в области испьпаний материалов на прочность.

Об этом свидетельствует акт о внедрении результатов диссертации в научно-исследовательском центре <<Динамика». 5. Замечании по диссертационной работе Положительно характеризуя работу в целом, следует сделать следующие замечания, 1, Содержание диссеитации выходит далеко за рамки ее названия, так как оценнвание параметров инкубационных процессов при испытаниях материалов на динамическую прочность является лишь примером применения разработанных в диссертации общих методов оцеиивания параметров. Диссертацию правильнее было бы назвать «Рандомизнрованные алгоритмы оценивании параметров нелинейных зависимостей в условиях неопределенностей и конечного числа наблюдений».

2. В солидном обзоре работ по теме диссертации отсутствует упоминание об известном методе построения доверительных интервалов прн МНК-оценивании параметров в условиях ограниченных по объему экспериментальных данных, использующем квантили распределения Стыодента. Данный метод предполагает нормальность случайных возмущений н линейность моделей по неизвестным параметрам, поэтому постановки и.решение поставленных в диссертации задач не дублируют упомянугые известные результаты, однако было бы интересно сравнить решения одной и той же задачи построения доверительных интервалов двумя разкымн способами, например, для модели, которая рассматривается в третьей главе. При этом, используя метод распределений Сть1одента, можно было бы без существенной погрешности линеаризовать модель ~3.5) 'в области экспериментальных точек.

3. Исследуемые в диссертации методы позволяют найти доверительное множество по заданной доверительной вероятности р. Эта задача, однако, может быть решена при различных значениях параметров д и М, лишь бы их отношение соответствовало значению р, К сожалению, в диссертации не обсуждается вопрос о рациональном выборе величины с;< н Мпри заданном р, что было бы полезно для приложений. 4. Весьма важным в теоретическом и практическом отношениях является вопрос о расчете количества испытаний 7, которые необходимы для достижения требуемой точности (или в терминах диссертационной работы — требуемой величины доверительного .множества, в частности, доверительного интервала) с заданной доверительной вероятностью. Этот вопрос, однако, не нашел отражения в диссертационной работе.

5. Остроумный метод расчета доверительного интервала в отсутствие данных о распределении вероятностей, к сожалению, изложен более конспективно, чем остальные методы. Это проявляется в отсутствии реальных нли модельных примеров его применения. 6. Общее заключение по диссертационной работе Наличие вопросов и замечаний к столь «прорывной» работе, как диссертация М. В. Волковой, практически неизбежно и ни в коей мере не снижает ценность полученных в ней результатов.

Оценивая диссертационную работу в целом, считаю, что она, безусловно, удовлетворяет всем критериям, установленным Положеннем «О порядке присуждения ученых степеней». В диссертации содержится законченное новое решение актуальной научной задачи — разработки методов расчета доверительных множеств при оценивании параметров нелинейных по параметрам моделей с применением МНК в условиях случайных возмущений при малом объеме экспериментальных данных. Содержание автореферата и большого количества публикаций по теме диссертации достаточно полно отражает содержание диссертационной раб о:гы. Работа выполнена на высоком математическом уровне с использованием современных методов теории оценнвания параметров и представляет собой развитие зтих методов. Результаты диссертации опробованы применительно к.