Автореферат (Усреднение периодических и локально периодических эллиптических операторов), страница 2

Основные результаты по теме диссертации изложеныв 6 публикациях, из которых 4 ([A1], [A2], [A3] и [A4]) — в рецензируемыхнаучных изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в списки РИНЦ,Web of Science и Scopus; 1 ([A5]) — в трудах конференции, входящих всписки РИНЦ, Web of Science и Scopus; и 1 ([A6]) — в электронном журнале.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, предварительных сведений, трех глав, разделенных на две части, и заключения.Ее полный объем составляет 144 страницы. Библиография содержит55 наименований.6Содержание работыРабота разделена на две части.

Первая, к которой относится глава 1,посвящена усреднению периодических операторов. Во второй части задача усреднения ставится для локально периодических операторов: вглаве 2 рассматривается случай s = 1, в главе 3 — случай s ∈ [0, 1).Часть I. Усреднение периодических операторовЧерез d1 > 0 мы будем обозначать число «периодических», а черезd 2 Ê 0 — число «непериодических» направлений в Rd . Соответственно, переменная x ∈ Rd представляется прямой суммой x 1 ⊕x 2 с x 1 ∈ Rd1 и x 2 ∈ Rd2 .За периодическую структуру в пространстве отвечает решетка Zd1 с элементарной ячейкой Q = [−1/2, 1/2]d1 . Удобно считать, что эта решеткадействует на всём Rd , и тогда фундаментальным множеством для неебудет F= Q × Rd2 .

Подчеркнем, что не исключается полностью периодический случай, когда d2 = 0 и ранг решетки максимален.Рассмотрим оператор Aε с периодическими относительно Zd1 коэффициентами, который действует между комплексным пространствомСоболева H 1 (Rd )n и двойственным к нему пространством H −1 (Rd )n согласно формулеAε = − div A(x 1/ε, x 2 )∇ + a 1∗(x 1/ε, x 2 )∇ + div a 2 (x 1/ε, x 2 ) + q(x 1/ε, x 2 ).Функция A : Rd → B(Cd ×n ) равномерно ограничена и имеет равномерноограниченную производную по «непериодической» переменной x 2 , иначеговоря A ∈ C 0,1 (R̄d2 ; L ∞ (Rd1 )). Далее, функции a1 , a2 : Rd → B(Cn , Cd ×n ) принадлежат пространству мультипликаторов M(H 1 ( F), L 2 ( F)) вместе с ∇x2 a1и ∇x2 a2 , а распределение q ∈ (C ∞ ( F)∗ )n×n таково, что q и ∇x2 q содержатсяв M(H 1 ( F), H 1 ( F)∗ ).

Мы также предполагаем, что старшая часть оператора Aε удовлетворяет на H 1 (Rd )n неравенству типа Гординга, притомравномерно по ε из некоторого интервала E = (0, ε0 ], а младшие члены вопределенном смысле ей подчинены. Благодаря этому сам оператор Aεоказывается слабо коэрцитивным: найдутся такие постоянные c ∗ > 0и C ♭ Ê 0, что для всех ε ∈ E и u ∈ H 1 (Rd )n будет выполненоRe(Aε u, u)Rd +C ♭ kuk22,Rd Ê c ∗ k∇uk22,Rd .Поскольку Aε еще и равномерно ограничен по ε > 0, то он m -секториален,а отвечающий ему сектор, который обозначим символом S, не зависит7от ε. Тем самым при µ ∉ S оператор Aε − µ обратим, а обратный равномерно ограничен.Для краткости все дальнейшие построения мы будем проводить, считая, что младшие члены оператора равны нулю; приведенные ниже утверждения для Aε останутся верными и в общем случае, но «предельные»операторы будут иметь более сложный вид.Чтобы сформулировать результаты первой части, необходимо при всехx 2 ∈ Rd2 и ξ ∈ Cd ×n ввести вспомогательную функцию Nξ ( · , x 2 ) — периодическое векторное решение задачи− divx1 A( · , x 2 )(∇x1 Nξ ( · , x 2 ) + ξ) = 0,ZQNξ ( · , x 2 ) dx 1 = 0,на ячейке Q (мы отождествляем d 1 -мерный оператор ∇x1 с d -мернымоператором ∇x1 ⊕ 0; точно так же понимается и divx1).

Слабое решениетакой задачи существует и единственно благодаря коэрцитивности оператора Aε . Отображение ξ 7→ Nξ , очевидно, линейно, поэтому соотношением N (x)ξ = Nξ (x) по семейству {Nξ }ξ∈Cd ×n задается функция N . Для насважно, что она, как и A , является липшицевой по «непериодической»переменной.Эффективный оператор A0 действует в той же паре пространств, что иисходный, и имеет видA0 = − div A 0 (x 2 )∇,гдеA 0 (x 2 ) =ZQA(y 1 , x 2 )(I + ∇y 1 N (y 1 , x 2 )) dy 1 .Поскольку функции A и N липшицевы по x 2 , то липшицев и коэффициент A 0 , так что эффективный оператор непрерывно переводит H 2 (Rd )nв L 2 (Rd )n .

Кроме того, он m -секториален, и несложно понять, что в качестве сектора можно взять S.Первый результат касается сходимости (Aε − µ)−1 и ∇x2 (Aε − µ)−1 .Теорема 1. Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда существует такая окрестностьнуля Eµ ⊂ E, что при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f k2,Rd É C εk f k2,Rd ,k∇x2 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f )k2,Rd É C εk f k2,Rd .Оценки точны по порядку, а постоянная C явно контролируется черезn , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,1 и расстояние от µ до spec A0 , а интервал Eµ — ещеи через ε0 . В частности, если дополнительно µ ∉ S, то Eµ = E.8Перейдем к описанию корректоров. Традиционный для теории усреднения корректор не всегда годится для наших целей.

Его место займетоператор Kµε , отображающий L 2 (Rd )n в H 1 (Rd )n по формулеKµε = N (x 1/ε, x 2 )∇(A0 − µ)−1 P ε .Он отличается от традиционного корректора дополнительным сглаживанием P ε , которое представляет собой псевдодифференциальный оператор с символом 1ε−1 Q∗ , где 1ε−1 Q∗ есть характеристическая функциямножества ε−1 Q∗ — гомотетичного растяжения ячейки Вигнера–Зейтцадвойственной решетки:P ε = (F ⊗ I )∗ 1ε−1 Q∗ (F ⊗ I )(здесь F — преобразование Фурье в Rd1). Сглаживание может быть идругим: подойдет, например, сглаживание по Стеклову, см. п.

1.6.4 диссертации. Впрочем, иногда удается обойтись и вовсе без него и использоватьтрадиционный корректор — некоторые достаточные условия приводятсяв п. 1.6.5 диссертации.Теорема 2. Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk∇x1 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f − εKµε f )k2,Rd É C εk f k2,Rd .Оценка точна по порядку, а постоянная C явно контролируется через n ,d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,1 и расстояние от µ до spec A0 .Заметим, что из-за быстро осциллирующей функции x 7→ N (x 1/ε, x 2 )в корректоре норма слагаемого ε∇x1 Kµε является величиной порядка 1.Таким образом, избавиться от Kµε в оценке, вообще говоря, нельзя. Необходимое и достаточное для этого условие обсуждается в п. 1.6.6 диссертации.

В то же время норма композиции дробной производной (−∆x1)r /2с оператором εKµε убывает как ε1−r , а потому (−∆x1)r /2 (Aε − µ)−1 всегдасходится.Следствие 3. Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда если r ∈ (0, 1), то при всех ε ∈ Eµ иf ∈ L 2 (Rd )nk(−∆x1)r /2 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f )k2,Rd É C ε1−r k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через r , n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,1 и расстояние от µ до spec A0 .9Вернемся к приближению для резольвенты оператора Aε .

В самойпервой теореме был выписан старший член, и сейчас мы займемся следующим. Он также называется корректором, но существенно отличаетсяот Kµε и имеет более сложную структуру.Через (Aε − µ)+ обозначим оператор, сопряженный к Aε − µ. Оба оператора устроены одинаково, а кроме того, удовлетворяют одним условиям,поэтому (Aε )+ можно было бы рассматривать параллельно с Aε : определить функцию N + , эффективный коэффициент (A 0 )+ и т. д. Введемдифференциальный оператор L из H 2 (Rd )n в H −1 (Rd )n с символомk 7→ L(k) = (ik +∇x2 )∗ZQN +(y 1 , · )∗ (ik +∇x2 )∗ A(y 1 , · )(I +∇y 1 N (y 1 , · )) dy 1 (ik +∇x2 ),где k ∈ Rd1 (d1 -мерный вектор k и d2 -мерный оператор ∇x2 отождествляются с k ⊕ 0 и 0 ⊕∇x2 соответственно), и положимLµ = (A0 − µ)−1 L(A0 − µ)−1 .Тогда искомый корректор Cµε будет даваться равенствомCµε = (Kµε − Lµ ) + ((Kµε )+ − L+µ )∗на пространстве L 2 (Rd )n .Теорема 4.

Пусть µ ∉ spec A0 . Тогда при всех ε ∈ Eµ и f ∈ L 2 (Rd )nk(Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f − εCµε f k2,Rd É C ε2 k f k2,Rd .Оценка точна по порядку, а постоянная C явно контролируется через n ,d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,1 и расстояние от µ до spec A0 .В теореме 2 вместо корректора Kµε также можно было использовать Cµε ,поэтому с помощью интерполяции получаем более точное приближениедля композиции дробной производной (−∆)r /2 и резольвенты (Aε − µ)−1 .Следствие 5. Пусть µ ∉ spec A0 .

Тогда если r ∈ (0, 1], то при всех ε ∈ Eµ иf ∈ L 2 (Rd )nk(−∆)r /2 ((Aε − µ)−1 f − (A0 − µ)−1 f − εCµε f )k2,Rd É C ε2−r k f k2,Rd .Постоянная C явно контролируется через n , d , µ, c ∗ , C ♭ , kAkC 0,1 и расстояние от µ до spec A0 .Здесь никак не затрагивались периодические операторы с гёльдеровыми по переменной x 2 коэффициентами, хотя все результаты в той илииной степени переносятся и на них. Некоторые специфичные деталимогут быть найдены в п. 3.5.4 из второй части диссертации.10Часть II.

Усреднение локально периодических операторовВо второй части мы продолжаем изучение задачи усреднения для сильно эллиптических операторов. До сих пор коэффициенты операторовзависели от «медленной» переменной x 2 и «быстрой» переменной x 1/ε.Эти переменные принадлежали взаимно ортогональным пространствами в данном смысле были разделены. Сейчас мы отказываемся от подобного разделения и берем x и x /ε в качестве «медленной» и «быстрой»переменной соответственно. Получающиеся операторы перестают бытьпериодическими и становятся локально периодическими.Положим Q = [−1/2, 1/2]d . Пусть A : Rd × Rd → B(Cd ×n ) — равномерноограниченная функция, гёльдеровая по первому аргументу с показателем s ∈ [0, 1] (то есть A ∈ C 0,s (R̄d ; L ∞ (Q))) и периодическая — по второму;эти условия мы будем подразумевать без каких-либо оговорок.