Диссертация (Системный анализ регуляторов типа предиктор-корректор), страница 3

Известны оценки эллипсоидами области притяжения переходных траекторий, например, в задаче управления колесным роботом[13; 26]. Существуют, кроме того, и другие методы оценки области притяжения [5], в том числе (в случае линейной системы с выпуклыми ограничениямина состояние) — оценка многогранником [4].

Методы построения многограннойоценки в общем нелинейном случае в литературе не встречаются.1.2.3О реализации в реальном времениОграничения реального времени — это основная проблема, возникающаяпри реализации регулятора «предиктор-корректор», в особенности на встраиваемых устройствах управления с ограниченными ресурсами [52]. Чем быстрееуправляемый процесс, тем сильнее ограничение на доступное для вычисленийвремя.На практике для реализации регуляторов «предиктор-корректор» часто используют тот или иной метод последовательного приближения к оптимальномууправлению, однако в этом случае возникает вопрос: если процесс последовательных приближений прервется раньше, чем будет достигнута достаточнаяточность, останется ли замкнутая система устойчива? Для линейных системсуществуют следующие решения:16• метод типа Ньютона, сложность которого растет не экспоненциально,как у традиционных методов, а линейно с увеличением горизонта прогноза [59];• итеративный метод оптимизации, который производит субоптимальноестабилизирующее управление даже при ограничении на продолжительность итераций [83];• быстрый метод программной реализации квадратичного программирования на основе метода Ньютона [93].В нелинейном случае существуют такие методы:• известен подход, который дает стабилизирующее управление, если накаждом такте известна хотя бы допустимая управляющая последовательность [84], однако субоптимальность при этом не гарантируется;• разработан инструмент генерации программного кода регулятора с частотой работы порядка килогерц, основанный на локальной линеаризации системы [48], но его устойчивость пока не доказана.Другой подход к реализации регуляторов «предиктор-корректор» — это аппроксимация оптимальной обратной связи явной функцией.

К этому направлению относится и настоящая работа. Он снимает необходимость решения оптимизационной задачи и сводит регулирование к вычислению некоторой относительно простой функции [47]. Рассмотрим этот метод подробнее.Для линейной системы с ограничениями в виде многогранников и квадратичным функционалом качества в работе [91] установлено, что обратная связь«предиктор-корректор» является кусочно аффинной функцией.

Там же предложен метод приближенного построения этой функции и доказано, что полученное приближение остается стабилизирующим, а также разработана эффективная реализация, использующая способность некоторых микропроцессоровбыстро решать задачи вычислительной геометрии.В нелинейном случае оптимальная обратная связь «предиктор-корректор»имеет более сложный вид и даже может оказаться разрывной. Это существенно17затрудняет ее равномерную аппроксимацию явной функцией.

В предположениивыпуклости оптимизационной задачи в [53] было предложено вместо аппроксимации значения оптимальной обратной связи строить такое управление, которое доставляет функционалу качества значение, близкое к минимуму, независимо от самого значения управления. При этом пространство состояний методомделения пополам разбивается на прямоугольные области, образующие структуру двоичного дерева, и в каждой области используется аффинная аппроксимация обратной связи, полученная как решение линейно-квадратичного приближения оптимизационной задачи в данной области [90]. Даны оценки точностиприближения и условия устойчивости.

Доказательство этих условий опираетсяна непрерывность функции Беллмана (т. е. значения функционала качества какфункции начального состояния системы).В [51] предложена общая идея подхода к построению кусочно аффиннойобратной связи, аналогичная [53], без ограничения на выпуклость задачи, однако не даны оценки достаточной точности аппроксимации. Основная проблемаздесь в том, что в выпуклом случае для получения оценок достаточно знать погрешность аппроксимации обратной связи в вершинах прямоугольной ячейки.При отсутствии выпуклости этого недостаточно. Чтобы найти некоторую оценку погрешности, предлагается выбирать дополнительные точки, но способ ихвыбора в [51] не указан.1.2.4О вычислительном запаздыванииПри реализации сложных алгоритмов управления в системе зачастую возникает запаздывание, обусловленное существенным временем, необходимым длявычисления управляющего сигнала.

Такое запаздывание называется вычислительным [45]. Известно, что вычислительное запаздывание может негативносказываться на поведении регулятора «предиктор-корректор» и даже приводить к неустойчивости [41].Непосредственный подход к изучению запаздывания в управлении состоит18в рассмотрении обыкновенной обратной связи по состоянию и анализе замкнутой системы, которая в этом случае оказывается системой с запаздыванием всостоянии [1]. Для линейных систем с запаздыванием существует относительнохорошо развитый аппарат теории устойчивости, в том числе на основе методаквадратичных функций Ляпунова [6; 56]. Для нелинейных систем соответствующие методы сложнее, и зачастую их нельзя назвать конструктивными. Чтобыизбежать этой сложности, можно постараться выбирать управление так, чтобы замкнутая система была в некотором смысле проще, а в идеале — вовсе несодержала запаздывания. Этот подход называется компенсацией запаздывания.Принцип компенсации запаздывания или предикторного управления системами с запаздыванием в управлении берет начало в работах [85; 86], где сформулирован метод, названный позже «предиктором Смита».

Он не является вточности эквивалентом того, что обычно понимается под компенсацией запаздывания сегодня, но в нем уже используется в терминах передаточных функцийидея применения оператора, обратного оператору запаздывания.Предиктор Смита работает только в устойчивых системах. Для произвольных линейных систем с распределенными запаздываниями принцип компенсации был разработан в [32; 62; 64].

В [64] этот подход носит название finitespectrum assignment и основан на том, что при управлении некоторого видаспектр замкнутой системы становится конечным. В [62] аналогичный подходиспользуется для системы с одним запаздыванием, называется receding horizonmethod и представляет собой вариант оптимального управления с прогнозом,т. е., по сути, регулятора «предиктор-корректор». В [32] компенсация распределенного запаздывания называется model reduction и выводится из «редуцирующего» преобразования системы, при котором запаздывания исчезают.В перечисленных выше работах устойчивость метода компенсации запаздывания выводится из анализа спектра замкнутой системы, который оказывается конечным.

Анализ линейных систем с компенсацией запаздывания методомЛяпунова — Красовского впервые был проведен в [61] для случая одного запаз-19дывания и в [35; 66] для распределенных запаздываний. Для систем с однимзапаздыванием в [54] доказана робастность по отношению к величине запаздывания. В [31; 38; 39] предложены адаптивные варианты метода.К нелинейным системам треугольной структуры компенсация запаздывания применяется в [50], а к произвольным продолжимым вправо нелинейнымсистемам с одним запаздыванием — в [60]. Для нелинейных систем также существуют алгоритмы адаптивной компенсации, например, в [89] реализованоподавление неизвестного гармонического возмущения при одном запаздываниив управлении. В [57; 58] метод компенсации запаздывания распространен насистемы с запаздыванием и в управлении, и в состоянии.Важной проблемой в практике компенсации запаздывания является проблема реализации компенсатора, связанная с тем, что для вычисления управлениянеобходимо строить решение управляемой системы.

В [67; 68; 74] показано, чтоквадратурные формулы для этого, вообще говоря, не подходят. В [70; 71] предложен способ реализации управления с компенсацией в виде динамическогорегулятора, допускающий аппроксимацию интегралов конечными суммами.В качестве примера компенсации одного запаздывания в регуляторе «предиктор-корректор» приведем публикацию [43], где решается задача управлениятоком в трехфазном инверторе.1.3Структура работыРабота имеет следующую структуру:• Глава 2 посвящена анализу регулятора в нелинейном режиме, т.

е. вдалиот начала координат.– В параграфе 2.1 мы касаемся оценки области управляемости исвязанного с ней вопроса выбора горизонта прогноза. Предложенметод построения оценки области управляемости в виде наборавыпуклых многогранников. Этот метод, а также его вариация сфиксированными многогранниками, опубликован в [14; 16—18].20– В параграфе 2.2 предлагается несколько отличный от [51] подходк построению кусочно аффинной аппроксимации. Оценка точности здесь априорна, т. е.