Автореферат (Ренормгруппа и аномальный скейлинг в моделях турбулентного переноса сжимаемой жидкостью), страница 3

Для такого операторакритическая размерность имеет следующий вид:∆(,) =+{1 + 2 } ,63( − 1)(22)где1 = −( + )( − 1) + ( + 1)( + − 2),2 = −(3 + − 4) + ( + − 2).(23)Рассмотрим одновременной парный коррелятор двух УФ конечных вели­чин 1,2 () с определёнными критическими размерностями, например, обыч­ных полей или локальных составных операторов. Для его вычисления в дис­сертационной работе используется метод Операторного Разложения.

Для кор­реляционной функции двух операторов типа () для модели плотности винерционном интервале получаем следующий результат:⟨ (, x1 ) (, x2 )⟩ ≃ −(+) ()−Δ −Δ ()Δ+ .(24)Для модели трейсера изучено поведение одновременных структурных функ­ций: () = ⟨[(, x) − (, x′ ]2 ⟩ = (2 )− (, , /()), = |x′ − x|; (25)ответ для них в главном порядке в пределах инерционного интервала: () ∼ (2 )− ()−2Δ ()Δ(2,0) .(26)В конце второй главы изучается вопрос о влиянии анизотропии. Установ­лена иерархия анизотропных вкладов, которая становится более выраженнойс увеличением степени сжимаемости.

Главный член разложения задаётся изо­тропным вкладом, что дает количественное подтверждение гипотезе о локаль­но изотропной турбулентности [7, 8].Третья глава посвящена ренормгрупповому анализу модели переносапассивного магнитного поля, поиску неподвижных точек, аномальных раз­мерностей.В этой главе пассивное векторное (магнитное) поле переносится пото­ком сжимаемой жидкости. Перенос жидкости задаётся уравнениями (1), (4).12Далее следует описание переноса магнитного поля. В присутствии постоянно­го фонового поля 0 = 0 с некоторым постоянным единичным векторомn = { }, динамическое уравнение для флуктуирующей части = (, x)полного магнитного поля = 0 ( + ) имеет вид: + ( − ) = 0 2 + ,(27)где 0 = 2 /4 – магнитный коэффициент диффузии. Уравнение (27) полу­чено из уравнений Максвелла, в которых отброшен ток смещения.

Простей­)︀(︀[,B], где шая форма закона Ома для движущейся среды: j = E + −1– проводимость, – скорость света.Полномасштабная стохастическая задача описывается функционалом дей­ствия(Φ) = ( ′ , ′ , , ) + ( ′ , , ),(28)где ( ′ , ′ , , ) можно найти в (6),}︀{︀ = ′ − − ( − ) + 0 2 + .(29)Мультипликативная ренормируемость теоретико-полевой модели (28) поз­воляет нам получить стандартным путём РГ уравнения для ренормирован­ных функций Грина(, , . . .

) = ⟨Φ . . . Φ⟩ .Здесь = {, , , , , , , } это полный набор ренормированных парамет­ров, – характерный масштаб импульсов, а под многоточием мы понимаемдругие аргументы (времена/частоты и коордианты/импульсы). Для удобствамы ввели здесь три безразмерных отношения: 0 = 0 /0 и 0 = 0 /0 , связан­ные с коэффициентами вязкости и диффузии модели; 0 = 0 /0 относитсяк магнитному коэффициенту диффузии; , , – их ренормированные ана­логи. Найдены координаты ИК притягивающей неподвижной точки для этоймодели: (8) и * = 1.

Найдены критические размерности полей и ′ :∆ = −1 + /6,∆′ = + 1 − /6.(30)Эти выражения точные, потому как поля и ′ не ренормируются.Был проанализирован составной оператор: ≡ 1 () · · · () ( () ()) + . . . ,(31)где ≤ число свободных тензорных значков, и = + 2 – число полей входящих в оператор; тензорные значки и аргумент величины опущены.Критическая размерность такого оператора имеет вид:*∆ = ∆ + = (1 + 2 )+66( − 1)( + 2)(32)13с ∆ из (30), 1 и 2 из (23).С помощью Операторного Разложения найдены выражения для струк­турных функций вида:⟨ (, x) (, x′ )⟩ = , (, , /)≃ ()−Δ −Δ , (, ()),(33)где = |r| = |x′ − x|; также предположим, что , ≥ 1.Ответ в главном порядке следующий (в пределах инерционного интер­вала):⟨ ⟩ ≃ ()−Δ −Δ ()Δ+,0 .(34)В конце третьей главы также изучается вопрос о влиянии анизотропии.Установлена иерархия анизозотропных вкладов, которая становится болеевыраженной с увеличением степени сжимаемости.Четвертая глава посвящена исследованию динамики жидкости в окрест­ности особенной размерности = 4.

Глава разделена на несколько частей: впервой проводится исследование для самого поля скорости, в остальных –для переноса пассивных полей (плотности, трейсера и магнитного поля).Рассматривается уравнение Навье-Стокса (1), корреляционная функцияслучайной силы, входящей в уравнение определяется аналогично (4), (5) сединственной заменой 0 → 10 .

Амплитуда 10 – это константа связи (фор­мальный параметр разложения в теории возмущений); соотношение 10 ∼ Λзадает типичный УФ масштаб, обратный длине диссипации.Стохастическая задача эквивалентна теоретико-полевой с функциона­лом действия:{︂}︂′ ′′2+ − − + 0 [ − ] + 0 0 − (Φ) =2+ ′ [− + + 0 0 2 − 20 ( )],(35)где это корреляционная функция (5). Здесь подразумеваются интегри­рования по переменным x и , а также суммирование по повторяющимсяиндексам.В стандартном подходе размерность пространства играет пассивнуюроль, параметр разложения это ; детальное обсуждение можно найти в мо­нографиях [9, 12].

Наш поход близок к РГ анализу несжимаемого уравненияНавье-Стокса вблизи размерности = 2: в этом случае появляется дополни­тельная расходимость в функции Грина ′ ′ , которую можно устранить под­ходящим локальным контрчленом ′ 2 ′ . Также необходимо построить схемуразложения по двум параметрам и = − 2. В первой главе была рассмот­рена такая же модель. При фиксированной размерности она содержит все14необходимые слагаемые для ренормализации. Однако из размерного анализа(см. далее) следует, что при = 4 появляется дополнительная расходимостьв функции Грина ′ ′ . Так что чтобы сохранить ренормируемость модели при = 4, функцию (k) в (5) нужно заменить на (k) =10 03 4−−{︂}︂ (k) + (k) +20 03 .(36)Здесь 20 это вторая константа связи, новое локальное слагаемое в правойчасти поглощает расходящиеся вклады от ′ ′ .Такая модель оказывается мультипликативно ренормируемой.

Она име­ет три неподвижные точки: тривиальная точка FPI с координатами1* = 0,2* = 0,(37)в то время как * и * не определены; локальная точка FPII с координатами:1* = 0, 2* =8 *, = * = 1,3(38)(ИК притягивающая для > 0, < 3/2) и нелокальная точка FPIII:1*16(2 − 3)16 2*=, 2 =, * = * = 1,9[(2 + ) − 3]9[(2 + ) − 3](39)(устойчива при > 0 и > 3/2).Общая картина устойчивости трёх неподвижных точек на плоскости – представлена на рисунке 1. Прямые < 0, = 0; = 0, < 0; и = 3/2, > 0 имеют смысл границ областей. Кроссовер между двумя неподвижнымиточками возможен вдоль линии = 3/2, что согласуется с [13].Для неподвижной точки FPIII критические размерности совпадают сослучаем = 3, а именно:∆ = 1 − /3,∆′ = − ∆ ,∆ = 2 − /3,∆ = − ∆′ = 2 − 5/6,∆ = 1;∆ = 1 − 5/12.(40)Для локальной точки FPII получаем следующие выражения:∆ = 1 − /2,∆′ = − ∆ ,∆ = 2 − /2,∆ = − ∆′ = 2 − 5/4,∆ = 1;∆ = 1 − 5/8.(41)В зависимости от значений и корреляционные функции проявляютразное скейлинговое поведение в ИК области (либо режим локальный, либо15yy = 3ε/2FPIII(nonlocal)FPII(local)εFPI(trivial)Рис.

1. Области ИК стабильности неподвижных точек в модели (35)нелокальный). Значения для аномальных и критических размерностей тожебудут разные. Однако, для физических значений = 3, = 4 ИК устойчивойявляется только нелокальная точка FPIII, что подтверждает возможность РГанализа непосредственно при = 3.Далее в работе описан перенос пассивных скалярных и векторного по­лей, вычислены критические размерности обычных полей, составных полей,применен аппарат Операторного Разложения и получены ответы для корре­ляционных функций в главном однопетлевом приближении.В Заключении диссертации представлены основные результаты и вы­воды, а также благодарности и список использованной литературы.Список публикаций по теме диссертации1. N.

V. Antonov and M. M. Kostenko, Phys. Rev. E90,063016 (2014).2. N. V. Antonov and M. M. Kostenko, Phys. Rev. E92,053013 (2015)3. N. V. Antonov, N.M. Gulitskiy, M. M. Kostenko, and T. Lŭcivjanský Web ofConferences 125, 05006 (2016)4. N. V. Antonov, N. M. Gulitskiy, M. M. Kostenko, and T. Lŭcivjanský Web ofConferences 137, 10003 (2017)5. N. V. Antonov, N.M. Gulitskiy, M. M. Kostenko, and T. Lŭcivjanský PhysicalReview E 95, 033120 (2017)166.

N. V. Antonov, N.M. Gulitskiy, M. M. Kostenko, and T. Lŭcivjanský EPJ Webof Conferences 164, 07044 (2017)Цитируемая литература7. U. Frisch, Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov (Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1995).8. А.С. Монин, А.М. Яглом, Статистическая гидромеханика, том 2, второеиздание, СПб, Гидрометеоиздат, 1996, 744 стр.9. L. Ts.

Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasiliev,The Field TheoreticRenormalization Group in Fully Developed Turbulence(Gordon & Breach,London, 1999).10. N. V. Antonov, M. Yu. Nalimov, and A. A. Udalov, Theor. Math. Phys. 110,305 (1997).11. J. Zinn-Justin, QuantumClarendon, 1989).12. A. N. Vasil’ev,TheField Theory and Critical PhenomenaFieldTheoreticRenormalizationBehavior Theory and Stochastic Dynamics92,inCritical(Boca Raton, Chapman Hall/CRC,2004)13. N.

V. Antonov, Phys. Rev. Lett.Group(Oxford,161101 (2004).