Диссертация (Моделирование оценок погрешностей аппроксимации сплайнами в различных нормах)
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Моделирование оценок погрешностей аппроксимации сплайнами в различных нормах". PDF-файл из архива "Моделирование оценок погрешностей аппроксимации сплайнами в различных нормах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве СПбГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с СПбГУ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÏîëóÿíîâ Ñåðãåé Âèêòîðîâè÷Ìîäåëèðîâàíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåéàïïðîêñèìàöèè ñïëàéíàìè â ðàçëè÷íûõ íîðìàõÑïåöèàëüíîñòü 01.01.07 Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàòåìàòèêàÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷¼íîé ñòåïåíèêàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:ïðîôåññîð, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÁóðîâà Èðèíà ÃåðàñèìîâíàÑàíêò-Ïåòåðáóðã 2016ÑîäåðæàíèåÂâåäåíèå14Ìîäåëèðîâàíèå ïðèáëèæåíèé èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìèñïëàéíàìè ïÿòîãî ïîðÿäêà ïåðâîé âûñîòû101.1Ïîñòðîåíèå áàçèñíûõ ñïëàéíîâ .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2Ìîäåëèðîâàíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè âL2äëÿöåíòðàëüíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñïëàéíîâ . . . . . . . . . . . . . . .1.3Ìîäåëèðîâàíèå äâàæäû íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ïðèáëèæåíèé1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . .3Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå2.1Ôîðìèðîâàíèå è õðàíåíèå ýëåìåíòîâ ìàòðèöû Ãðàìà2.2Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé2929. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Ïðèáëèæåíèÿ ëåâîñòîðîííèìè èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìèñïëàéíàìè ïÿòîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïåðâîé âûñîòû373.1Ïîñòðîåíèå áàçèñíûõ ñïëàéíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.2Ñðàâíåíèå ïðèáëèæåíèé ëåâîñòîðîííèìè è öåíòðàëüíûìè èíòåãðî-3.3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .40Äèñêðåòíûé âàðèàíò ïîëèíîìèàëüíûõ ëåâîñòîðîííèõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ526. . . . . . .äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè422Äèñêðåòíûé âàðèàíò ïîëèíîìèàëüíûõ èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .220. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû äâóõ ïåðåìåííûõ474.1Ìîäåëèðîâàíèå ïðèáëèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.2Íåïðåðûâíîå ïðèáëèæåíèå56. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèáëèæåíèÿ ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìèèíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ615.1Ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû îäíîé ïåðåìåííîé . .
. . . . . . . . . .615.1.1705.2Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñïëàéíû îäíîé ïåðåìåííîé . . . . . .Ìåòîä 25.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75Ëåâîñòîðîííèå ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû îäíîé ïåðåìåííîé 7525.2.25.3Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñïëàéíû îäíîé ïåðåìåííîé . . . . . .79Äèñêðåòíàÿ âåðñèÿ ïîëèíîìèàëüíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõñïëàéíîâ . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñïèñîê ëèòåðàòóðû8490Ïðèëîæåíèå1013ÂâåäåíèåÀêòóàëüíîñòü ðàáîòûÑïëàéíû øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ.Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðâûì óïîìèíàíèåì î ñïëàéíå êàê î ãëàäêîé, êóñî÷íîçàäàííîé ôóíêöèè, ÿâëÿåòñÿ ñòàòüÿ Èñààêà ؼíáåðãà 1946 ãîäà [99].
Òàêæåèì áûë ââåä¼í òåðìèí B-ñïëàéíà, èëè áàçèñíîãî ñïëàéíà, òî åñòü èìåþùåãîìèíèìàëüíûé íîñèòåëü äëÿ çàäàííûõ ñòåïåíè, ïîðÿäêà ãëàäêîñòè è ðàçáèåíèÿîáëàñòè îïðåäåëåíèÿ [100]. 50-õ 70-õ ãîäàõ ïðîèñõîäèëî áóðíîå ðàçâèòèå òåîðèè ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè, âî ìíîãîì áëàãîäàðÿ ïðèìåíåíèþ ñïëàéíîâ â àâòîìîáèëüíîé ïðîìûøëåííîñòè. Òàê, çíà÷èòåëüíûé âêëàä âíåñëè Ïîëü äå Êàñòåëüæî, ðàçðàáîòàâøèéâî âðåìÿ ðàáîòû â Ñèòðîåí â 1959 ãîäó àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ è äåëåíèÿ êðèâîéÁåçüå [92], Ïüåð Áåçüå, ðàáîòàâøèé â Ðåíî, Ãàðåòò Áèðêãîô, Êàðë äå Áîð è ÏîëÃàðàáåäèàí â Äæåíåðàë Ìîòîðñ [66], [77], [78], [79].Ñïëàéíû íàøëè ïðèìåíåíèå â òåîðèè âåéâëåòîâ [87].
Èíòåðïîëÿöèîííûåñïëàéí-âåéâëåòû, îñíîâàííûå íà ñïëàéí-èíòåðïîëÿöèè, ââåäåíû ×àðëüçîì ×óèè Äæèàí-äçîí Âîíãîì [81], [82]. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ìåòîäàì ïîñòðîåíèÿèçîáðàæåíèé [61, 83, 84, 89, 95, 97, 98, 103, 107, 110].Ëîêàëüíûå ñïëàéíû òðåáóþò ïàðàìåòðîâ òîëüêî íåñêîëüêèõ, à íå âñåõ, ñîñåäíèõ ñ ðàññìàòðèâàåìûì çâåíüåâ. Îäíèì èç ñëåäñòâèé ýòîãî ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ïðîñòîòà ïî ñðàâíåíèþ ñ ãëîáàëüíûìè, êîòîðûå, êàê ïðàâèëî,òðåáóþò ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äèàãîíàëüíîãîâèäà.
Ïðè ýòîì ãëîáàëüíûé ñïîñîá â ñðàâíåíèè ñ ëîêàëüíûì äà¼ò ìèíèìàëüíûéäåôåêò ñïëàéíà [28] [25].Ïîìèìî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñïëàéíîâ, èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íåïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû. Êâàñîâ Á.È. ïðåäëàãàåò èçîãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïîëÿöèþ è àïïðîêñèìàöèþ, ñîõðàíÿþùèå ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôîðìû èñõîäíûõ êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé [27]. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñïëàéíû ðàññìàòðèâàëèñü Áóðîâîé È.Ã.
â [5]. íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøîå êîëè÷åñòâî èññëåäîâàíèé ïîñâÿùåíî èíòåãðàëüíûì ñïëàéíàì [64], [65] , [68], [90], [105], [106], [108], [111], [112], [113].Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ïðåäëîæåíû Êèðååâûì Â.È. [28], [29],[30], [31], [32].  ðÿäå ïðèëîæåíèé, ñâÿçàííûõ ñ îáðàáîòêîé äàííûõ, ïîëó÷åííûõ4ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóò¼ì, èíòåðïîëÿöèîííûå ñïëàéíû íå ïîäõîäÿò, ïîñêîëüêóâ èñõîäíûõ äàííûõ åñòü íåêàÿ ïîãðåøíîñòü.  òàêèõ ñëó÷àÿõ õîðîøî ïîäõîäÿòñãëàæèâàþùèå ñïëàéíû. Ó ïðåäëîæåííûõ Êèðååâûì ñãëàæèâàþùèõ èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ âàæåí êðèòåðèé èíòåãðàëüíîãî ñîîòâåòñòâèÿ àïïðîêñèìèðóåìîé è àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèé, ÿâëÿþùèéñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàíèÿ.Öåëè è çàäà÷è äèññåðòàöèîííîé ðàáîòûÖåëüþ äàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâûõ àïïðîêñèìàöèé ôóíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèé, ñîñòàâëåíèå è îòëàäêà ïðîãðàìì íà ÿçûêå MAPLE äëÿïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, è âèçóàëèçàöèè ïîëó÷åííûõïðèáëèæåíèé. äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå ðåøàëèñü ñëåäóþùèå çàäà÷è:1.
Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ öåíòðàëüíûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõ àïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.2. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ ëîêàëüíûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ëåâîñòîðîííèõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ, îáåñïå÷èâàþùèõàïïðîêñèìàöèþ ïÿòîãî ïîðÿäêà, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.3. Ïîñòðîåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñ ïðèìåíåíèåì áàçèñíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãî ïîðÿäêàïåðâîé âûñîòû, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèéñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.4.
Ïîñòðîåíèå è èññëåäîâàíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ïðèìåíåíèåì ïîñòðîåííûõ áàçèñíûõ ñïëàéíîâ.55. Ñîñòàâëåíèå ïðîãðàìì è ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, à òàêæåâèçóàëèçàöèè ïðèáëèæåíèé è ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé îäíîéïåðåìåííîé.6. Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, ðàçðûâíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ,à òàêæå íåïðåðûâíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷åíèå îöåíîê ïîãðåøíîñòåé, ïðîâåäåíèå ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ ñðàâíåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ïðèáëèæåíèé.7.
Ïîñòðîåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé öåíòðàëüíûìè è ëåâîñòîðîííèìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïðîâåäåíèå÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ñðàâíåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé, ðàçðàáîòêà ïðîãðàìì äëÿ âèçóàëèçàöèè ðåçóëüòàòîâ.Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó1. Ëåâîñòîðîííèå è öåíòðàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ïåðâîé âûñîòû, îáåñïå÷èâàþùèå ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïÿòîãî ïîðÿäêà è ñîõðàíÿþùèå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû).
Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñòðîÿòñÿ îòäåëüíî íà êàæäîì ñåòî÷íîì èíòåðâàëå. Äëÿïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåíèé èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è å¼ ïåðâîéïðîèçâîäíîé â óçëàõ ñåòêè, à òàêæå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèè ïîñåòî÷íûì èíòåðâàëàì.2. Òåîðåìû îá îöåíêàõ ïîãðåøíîñòåé ñïëàéíîâûõ ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé èèõ ïåðâûõ äâóõ ïðîèçâîäíûõ íà îòäåëüíîì ñåòî÷íîì ïðîìåæóòêå è íàâñåì ïðîìåæóòêå[a, b].3. Ïðèìåíåíèå ïîñòðîåííûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ïÿòîãîïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ.64. Äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ñïëàéíàìè ïÿòîãî ïîðÿäêà ïåðâîé âûñîòû è îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.5.
Áàçèñíûå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå ñïëàéíû ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ. Ìåòîäèêà ïîñòðîåíèÿ íåïðåðûâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ íà îñíîâå ýòèõ áàçèñíûõñïëàéíîâ, îöåíêè ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæåíèÿ.6. Ïðèáëèæåíèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè ïîëèíîìèàëüíûìè è òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñïëàéíàìè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Íàó÷íàÿ íîâèçíà ðàáîòå ïîñòðîåíû ëîêàëüíûå ïîëèíîìèàëüíûå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå ñïëàéíû, òàêèå, ÷òî èñõîäíàÿ ôóíêöèÿ è ïîñòðîåííîå ïðèáëèæåíèå äàþò îäèíàêîâûå êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ïðîñòðàíñòâà (ïëîùàäè è îáúåìû).
