Автореферат (Неантагонистические дифференциальные игры со случайными моментами выхода игроков из игры)

На правах рукописиКостюнин Сергей ЮрьевичНЕАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕИГРЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ МОМЕНТАМИ ВЫХОДАИГРОКОВ ИЗ ИГРЫ01.01.09 – Дискретная математика и математическая кибернетикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2014Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор, Петросян Леон АганесовичОфициальные оппоненты:Клейменов Анатолий Федорович,доктор физико-математических наук,профессор,Институт математики и механи­ки им.

Н.Н. Красовского Уральского отделенияРАН, ведущий научный сотрудникСандомирская Марина Сергеевна,кандидат физико-математических наук, Санкт­Петербургский экономико-математический ин­ститут РАН, младший научный сотрудникВедущая организация:Институт прикладных математических иссле­дований Карельского научного центра РАНЗащита состоится «»2014 г. вчасов на заседании дис­сертационного совета Д 212.232.29 на базе Санкт-Петербургского государствен­ного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35,ауд.

74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. ГорькогоСанкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199304, Санкт­Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан «»2014 г.Ученый секретарьдиссертационного совета,доктор физ.-мат. наук, профессорНежинский В. М.3Общая характеристика работыАктуальность темы. Теория дифференциальных игр в настоящее вре­мя является одним из наиболее бурно развивающихся разделов математиче­ской теории игр.

Главным образом это связано с тем, что математический аппа­рат дифференциальных игр позволяет реалистично моделировать конфликтно­управляемые процессы, непрерывно развивающиеся во времени.Теория дифференциальных игр сформировалась как отдельный раздел ма­тематической теории игр в пятидесятых годах двадцатого века. Одними из пер­вых интересные результаты в этой области получили Р. Айзекс, Л. Берковитц,В. Флеминг.Долгое время исследования были посвящены в основном антагонистиче­ским дифференциальным играм.

Значительные успехи в данной области связа­ны с представителями отечественной научной школы Н. Н. Красовским,Л. А. Петросяном, Л. С. Понтрягиным.Толчком для развития теории неантагонистических дифференциальныхигр послужили задачи конфликтного управления со многими участниками изразличных практических областей.

В качестве принципа оптимальности в неан­тагонистических дифференциальных играх чаще всего рассматривается равно­весие по Нэшу в программных или позиционных стратегиях. Основные результа­ты, посвященные исследованию вопроса существования и проблемы построенияравновесия по Нэшу, получены в работах А. Ф. Клейменова, А. Ф. Кононенко,С. В. Чистякова.Для многих математических моделей возникает проблема неопределенно­сти времени существования исследуемого процесса.

Такие проблемы особеннохарактерны для процессов, происходящих в экономике, менеджменте, экологии.Подобные задачи необходимо рассматривать на временном отрезке случайнойдлительности, т. е. полагать, что момент окончания процесса не задан заранее,а является реализацией некоторой случайной величины.4Впервые задача со случайной продолжительностью в игровой постановкебыла рассмотрена Л. А.

Петросяном и Н. В. Мурзовым в работе «Теоретико­игровые задачи механики». В данной работе исследовалась дифференциальнаяигра преследования двух лиц, продолжительность которой задавалась некото­рой случайной величиной с абсолютно непрерывной функцией распределения.Для заданной таким образом игры авторами было получено уравнение типаАйзекса-Беллмана.Дифференциальные игры со случайной продолжительностью в общей по­становке были введены в совместной работе Л.

А. Петросяна и Е. В. Шевкопляс.В работах Е. В. Шевкопляс были продолжены исследования кооперативныхдифференциальных игр со случайной продолжительностью, получены важныерезультаты, относящиеся к проблеме динамической устойчивости кооператив­ных принципов оптимальности.В диссертационной работе вводится новый класс дифференциальных игрдвух лиц со случайной продолжительностью, в которых продолжительность иг­ры для каждого игрока задается независимыми случайными величинами. По­лагается, что после выхода из игры первого по очереди игрока, оставшийсяигрок продолжает получать доход, действуя в отсутствии конкуренции.

Такимобразом, при построении оптимальных (в том или ином смысле) стратегий вдифференциальной игре необходимо учитывать возможный доход игрока по­сле выхода из игры его соперника.Целью диссертационной работы является изучение дифференциаль­ных игр со случайными моментами выхода из игры ее участников, при этоммоменты выхода игроков из игры могут задаваться независимыми случайнымивеличинами.Методика исследования. Основными методами исследования являютсяметоды теории дифференциальных игр, теории управления и теории вероятно­стей.Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретиче­5ский характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальней­шей разработки теории дифференциальных игр со случайной продолжительно­стью. Также результаты могут быть применены при математическом модели­ровании конфликтно-управляемых процессов в экономике, менеджменте, эколо­гии и других сферах человеческой деятельности. Рассмотрение таких процессовна интервале времени случайной длительности позволяет наиболее адекватноописывать их в динамике, учитывая, например, выход из строя оборудования(в задачах совместной разработки недр или совместного управления вреднымивыбросами).Основные результаты, выносимые на защиту:1.

Построена формализация дифференциальной игры двух лиц со случайнойпродолжительностью, в которой продолжительность игры для каждогоигрока является случайной величиной, имеющей свою функцию распре­деления. При некоторых ограничениях проведены преобразования, при­водящие функционал выигрыша игрока к стандартному интегральномуфункционалу.2. Для введенного класса дифференциальных игр двух лиц со случайнойпродолжительностью получена система уравнений Гамильтона-Якоби-Белл­мана и теорема, дающая достаточные условия существования состоятель­ного позиционного равновесия по Нэшу.3. В дифференциальной игре совместной разработки невозобновляемого ре­сурса, в которой моменты окончания разработки ресурса для игроков яв­ляются независимыми случайными величинами, найдено в явном анали­тическом виде и исследовано состоятельное позиционное равновесие поНэшу.4.

Исследована дифференциальная игра управления вредными выбросами.В условиях случайной продолжительности получены необходимые усло­6вия существования равновесия по Нэшу. Найдено в явном виде и исследо­вано решение, удовлетворяющее необходимым условиям.5. На основе игры управления вредными выбросами построена кооператив­ная дифференциальная игра, в которой найдены вектор Шепли, выбран­ный в качестве принципа оптимальности, и процедура распределения де­лежа, гарантирующая динамическую устойчивость вектора Шепли.Научная новизна работы. Все основные результаты, представленные вдиссертации, являются новыми.Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы бы­ли представлены на IV – VII Международных конференциях «Теория игр именеджмент» (Санкт-Петербург, 2010 – 2013), на Всероссийской конференции«Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2010), на междуна­родной научной конференции «Математика, экономика, менеджмент: 100 летсо дня рождения Л.В. Канторовича» (Санкт-Петербург 2012), на Международ­ной конференции «Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics» (Санкт­Петербург, 2012), на XLI – XLIII международных научных конференциях аспи­рантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург,2010 – 2012), а также на семинарах кафедры математической теории игр и ста­тистических решений и центра теории игр факультета Прикладной математики– процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.Публикации.

По материалам диссертации опубликованы работы [1–10].Из них статьи [1, 2] опубликованы в журнале, входящем в список ведущих рос­сийских рецензируемых научных журналов ВАК РФ. Cтатьи [7, 10] опублико­ваны в высокорейтинговых журналах, входящих в базу данных Scopus. Работы[3–6, 8, 9] опубликованы в материалах конференций.Работы [1–4, 6–10] написаны в соавторстве. В работах [1, 6, 7] диссертантомбыла предложена постановка задачи в виде дифференциальной игры со случай­ными моментами выхода игроков из игры, получен упрощенный вид функцио­7налов выигрыша, выведена система уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана. Вработах [2, 3, 8] диссертанту принадлежат формулировки и доказательства тео­рем, построение контрпримера, а соавтору – постановка задачи и выбор методоврешения.

В статье [4] диссертантом получены основные результаты, а соавто­ром предложены для исследования различные функции полезности. В работах[9, 10] диссертантом предложена математическая модель управления вреднымивыбросами, получено решение кооперативной версии игры.Структура и объем. Диссертация изложена на 101 странице, состоитиз введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 64наименования.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.Первая глава посвящена построению функционала выигрыша в диффе­ренциальных играх со случайной продолжительностью.В параграфе 1.1 вводится определение дифференциальной игры со случай­ной продолжительностью.

Выигрыш игрока определяется как математическоеожидание интегрального функционала. Параграф 1.2 посвящен вопросу упро­щения функционала выигрыша в виде математического ожидания. Рассматри­вается случай неотрицательной функции плотности выигрыша. Доказываетсятеорема 1.1, гарантирующая существование выигрыша в упрощенной формев этом случае. Далее проводится упрощение функционала выигрыша в слу­чае, когда на функцию плотности выигрыша дополнительных ограничений ненакладывается.

К сожалению, в общем случае не всегда удается представитьфункционал выигрыша в упрощенной форме. В теореме 1.2 даются достаточ­8ные условия представления выигрыша в упрощенном виде. В параграфе 1.3приводится пример, когда достаточные условия, полученные в теореме 1.2, невыполняются. Показывается, что выигрыш в виде математического ожиданияв этом случае не может быть упрощен.Вторая глава посвящена исследованию дифференциальной игры управ­ления вредными выбросами, обобщенной на случай случайной продолжитель­ности игры.В параграфе 2.1 строится теоретико-игровая модель управления вредны­ми выбросами. Рассматриваются игроков, каждый из которых имеет про­мышленное производство на своей территории.