Автореферат (Измерение поляризационных угловых коэффициентов в процессах лептонного распада Z-бозона в эксперименте ATLAS на LHC), страница 5

Угловые коэффициенты извлекались16из данных путем подгонки измеренных двумерных угловых распределений в пространстве (cosθCS , φCS ) девятью шаблонными гармоническими полиномами, которые соответствуют полиномам в формуле дифференциального сечения. Каждое шаблонное распределение имело один свободный параметр (параметр подгонки), который определяетизмеряемый коэффициент Ai . Дополнительно вводился еще один, общий для всех шаблонных распределений параметр, который соответствует величине неполяризованногодифференциального сечения, проинтегрированного по переменным cosθCS и φCS .

Параметры подгонки определялись в каждом интервале поперечного импульса Z-бозона интегрально для всего диапазона быстрот или для каждого измеряемого интервала быстроты.Построение шаблонных гармонических полиномов начинается с вычисления методом моментов референсных поляризационных угловых коэффициентов ARef. Для этогоiиспользуются моделированные выбранным Монте-Карло генератором сигнальные события. Очевидно, что вычисленные таким образом значения референсных коэффициентов зависят от физической модели заложенной в генератор, который используетсядля моделирования событий.

Референсные коэффициенты ARefвычисляются в каждомiZZизмеряемом интервале по pT интегрально по быстроте y или в выбранных интервалахбыстрот y Z . Для того чтобы шаблонные распределения не зависели от физической модели, используемой в конкретном Монте-Карло генераторе, для каждого события вводил1ся вес, который определяется следующей формулой: wk = Pi=8 Refkk ,>Pi (cos θCS ,φCS )i=0 <Aiгде k = 1, ..., N — номер события, cosθk и φk — значения угловых переменных лептона для события k. После применения к событиям весов, определенных таким образом,угловые распределения в полном фазовом пространстве на генераторном уровне становятся равномерными по переменным cos θCS и φCS .

Таким образом из моделированныхсобытий эффективно удаляется вся информация о поляризации Z-бозона или другимисловами, удаляется физическая модель, заложенная в конкретный генератор, используемый для генерации событий сигнала, которая воспроизводит угловые распределенияпо переменным cos θCS и φCS . Очевидно, что если для каждого события ввести дополнительный вес wk · Pi (cos θCS k , φCS k ), то равномерные угловые распределения приобретуттакую же форму, как и сам полином Pi (cos θCS , φCS ).

Если из событий, которые распределены равномерно по угловым переменным, сделать выборку, соответствующуюаксептансу детектора и эффективности регистрации лептонов, то в результате получимискаженные детектором угловые распределения. Для построения шаблонных распределений используются моделированные сигнальные события с дополнительным весомwk , которые имеют равномерное распределение по угловым переменным cos θCS и φCS ,прошедшие отбор в соответствии с выработанными критериями. К отобранным событиям применяются все необходимые поправки в виде дополнительных весов для корректировки эффективностей реконструкции и идентификации лептонов и энергетических17калибровок.

В результате определяются девять (i = 0, ...8) шаблонных распределенийв виде гистограмм tij для каждого измеряемого интервала j по переменным pZT и y Zна генераторном уровне путем применения к отобранным событиям дополнительныхвесов Pi (cos θCS , φCS ). Шаблонные распределения создаются в трехмерном пространстве переменных cos θCS , φCS и p``T . При построении гистограмм по переменным cos θCSи φCS используется по 8 одинаковых интервалов, а для переменной p``T используется 23неравнозначных интервала. Если просуммировать все шаблонные распределения, предварительно умножив каждое из них на свой референсный угловой коэффициент и навеличину неполяризованного сечения, то в результате получится в точности трехмерное распределение моделированных событий после их реконструкции.

Число ожидаемых событий в измеряемом интервале n = (m, k, l) реконструированных переменныхZ,RecoReco(cos θCS, φReco), где m = 0, .., 7, k = 0, .., 7 , l = 0, ..22, может быть определено пуCS , pTтем суммирования шаблонных распределений для событий сигнала и фона следующимобразом:( 23"# bkgs )7XXXnNexp(A, σ) =σj × L × tn8j +Aij × tnij +TBn ,(2)j=1i=0Bгде Aij — параметр определяющий угловой коэффициент i для интервала j по переменruthной pZ,T, A — набор параметров для всех угловых коэффициентов Aij , σj — параметр,Tопределяющий неполяризованное сечение, проинтегрированное по угловым переменнымruthcos θCS и φCS для интервала j по переменной pZ,T, σ — набор параметров для всехTσj , tij — шаблонное распределение для полинома Pi , TB — шаблонное распределениедля фоновых процессов, L — интегральная светимость данных, используемых для измерения угловых коэффициентов.

Суммирование по индексу j учитывает вклад всехruthинтервалов по переменной pZ,Tв измеряемый интервал pZ,Reco. Это позволяет учестьTTZ,Recoмиграцию событий в измеряемый интервал pT. Функция правдоподобия определяnется как произведение плотностей вероятности Пуассона наблюдать Nobsсобытий приnожидаемом числе событий Nexp (A, σ) по всем измеряемым интервалам n:L(A, σ|Nobs ) =NbinsYnn|Nexp(A, σ)) .P (Nobs(3)nПараметры подгонки A и σ функции плотности распределения вероятности находятсяиз условия максимума функции правдоподобия:∂L=0∂σ∂L=0,∂AДля учета систематических и статистических ошибок вводится набор мешающихпараметров θ = {β, γ}, где β — мешающие параметры для учета экспериментальных18и теоретических систематических ошибок, плотности вероятности которых являютсяединичной функцией Гаусса, γ — несущественные параметры для учета статистическихошибок, возникающих из-за ограниченной статистики моделированных событий, плотности вероятности которых описываются распределением Пуассона.Функцию правдоподобия (3) с учетом несущественных параметров можно записатьв следующем виде:L(A, σ, θ|Nobs ) =NbinsYnnnnP (Nobs|Nexp(A, σ, θ))P (Neff|γ n Neff)n×MYG(0|β m , 1).(4)mЗначения мешающих параметров θ определяются исходя из условия максимума функции правдоподобия L(A, σ, θ|Nobs ) по переменным θ:∂L = 0.∂γ γ=γ0Для оценки ошибок параметров, то есть измеряемых коэффициентов A, выполняетсясканирование функции правдоподобия.

Для каждого параметра Aij строится отношениефункций правдоподобия:Λ(Aij ) =L(Aij , Â(Aij ), θ̂(Aij ))L(Â, θ̂).(5)Для функции правдоподобия, которая стоит в знаменателе формулы (5), ищется глобальный максимум для всех измеряемых и мешающих параметров, то есть:∂L ∂L == 0.∂A γ=γ̂,A=Â∂θ γ=γ̂,A=ÂДля функции правдоподобия, которая стоит в числителе формулы (5), ищется максимумтолько для одного параметра Aij .

Максимум функции правдоподобия для остальныхпараметров Â и γ̂ в общем случае является функцией, зависящей от Aij . Для выполнениячисленной минимизации использовался набор программ MINUIT. Используя отношениефункций правдоподобия, можно построить новую переменную (статистику):qAij = −2 log Λ(Aij ).(6)По определению qAij ≥ 0. Функция плотности вероятности для этой переменной ассимптотически имеет распределение такое же, как χ2 — распределение с одной степенью свободы. В этом случае интервал достоверности в одно стандартное отклонение ±1σ для±коэффициента Aij определяется пересечением с функцией qA±ij = 1, где A±ij ≡ Âij ± σ .19Миграция событий между интервалами по переменной p``T приводит к антикорреляциям между коэффициентами Ai в соседних интервалах, которая приводит к усилениюстатистических флуктуаций.

Для того чтобы уменьшить влияние этого эффекта, и темсамым выделить структуру зависимости коэффициентов Ai от pZT , выполнялась регуляризация измеренных зависимостей. Регуляризация выполняется путем умножения нерегуляризованной функции правдоподобия на штрафную функцию (англ., penalty term)Гаусса, которая является функцией статистической значимости производных более высокого порядка функции зависимости углового коэффициента Ai от переменной pZT .Измерения угловых коэффициентов Aij выполнялось для трех независимых каналов— eeCC, µµCC и eeCF . Как известно, в случае независимых измерений функция правдоподобия есть произведение функций правдоподобия для каждого измерения.

Поэтому,объединенный результат для нескольких измерений получается простым перемножением функций правдоподобия.Объединение результатов выполнялось для каналов eeCC и µµCC при интегральныхизмерениях по быстроте y Z и в двух первых интервалах 0 < |y Z | < 1, 1, 0 < |y Z | <2, 0. Для оценки совместимости измерений, выполненных в канале eeCF при большихзначениях быстроты 2, 0 < |y Z | < 3, 5, эти результаты объединялись с измерениями вканале µµCC.В пятой главе рассматриваются ожидаемые статистические и систематические ошибки измеряемых угловых коэффициентов Ai . Статистические ошибки возникают из-заограниченной статистики как для данных, так и для моделированных событий . Систематические ошибки можно разделить на экспериментальные, теоретические и ошибкисвязанные с методикой измерений угловых коэффициентов. Некоторые систематическиеошибки влияют на шаблонные распределения, которые используются для построенияфункции правдоподобия.