Операция матан-все серьезно ч2 (Матан для СМ)

Cвойства пределов:., где.. Еслисуществует, то.Пособие состоит из двух частей. В первой из них рассматриваются способы избавления отнеопределенностей типа:, а также элементарные способы приведения кнеопределенностям этого типа других вариантов неопределенностей, например,.Во второй части разбирается вычисление пределов с помощью правила Лопиталя (для работыс этой частью требуется умение дифференцировать функции).Алгоритм решения.1. Подставить в выражение предельное значение аргумента.2. Определить есть или нет неопределенность.

Если нет, дать ответ.3. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этойнеопределенности.4. Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме пределаприменить данный алгоритм, начиная с п.1.Правило 1.В числителе и знаменателе вынести x в максимальной степени, если этовозможно. Заметим, что,а, где c - любое число.Правило 2.Числитель и знаменатель разделить одновременно навозможно. Необходимо иметь в виду, чточисло, отличное от нуля.Правило 3.,а, если это, где c -При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущиеправила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность.

Возможны следующиеспособы:3.1. замена переменной, позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность;3.2. дополнение до формулы, позволяющей возвести корень в соответствующую ему степень;здесь используются формулы:;.Например,разделили на сопряженное выражение., т.е. умножили иПравило 4.При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрическиефункции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел:(1);.(2);(3);(4)(5)Правило 5.Вычисление предела сложнопоказательной функции..Если рассматриваемый предел содержит неопределенностьзамечательному пределу:(1) или ., то он сводится ко второму(2)Правило 6.Предел сложной функции:..В частности,, еслиНеобходимо помнить свойства логарифмов :.

Есть пределы, которыми,,,можно пользоваться как "табличными":,(1),(2),(3).(4)Правило 7.Правило Лопиталя-Бернулли:, т.е. предел отношенияфункций, стремящихся одновременно к бесконечности или к нулю (являющихсяодновременно бесконечно большими или бесконечно малыми), равен пределу отношения ихпроизводных.Правило 8.Если при вычисленииполучается неопределенность типа, то можноиспользовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение следующимобразом:или.Правило 9.Если при вычисленииполучается неопределенность одного из следующихтипов,,, то можно использовать правило Лопиталя, преобразовавпредварительно выражение следующимобразом:, гдевычисляетсяпо Правилам 7, 8 . В некоторых случаях полезно комбинировать правило Лопиталя-Бернуллис элементарными тождественными преобразованиями, рассмотренными в части I..