Диссертация (Асимптотическая теория головной волны интерференционного типа)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиМацковский Андрей АлександровичАсимптотическая теория головной волныинтерференционного типаСпециальность 01.01.03 – «Математическая физика»ДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м. н., проф.Бабич Василий МихайловичСанкт-Петербург – 20162СодержаниеВведение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 1.4Головная волна интерференционного типа (волна Бул­дырева) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .71.2. Классическая головная волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.3. Эталонная задача – дифракция на границе двух полуплоскостей111.4. Единственность решения эталонной задачи . . . . . . . . . . . . .161.5. Волны шепчущей галереи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.6. Волновые фронты волн шепчущей галереи и волны Булдырева вэталонной задачеГлава 2..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25Асимптотический анализ волны Булдырева . . . . . . .292.1. Подход В. С. Булдырева в задаче дифракции на неоднородномцилиндре произвольного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.2. Парадоксальность асимптотической формулы Булдырева . . . .332.3. Вывод коротковолновой асимптотики волны Булдырева комби­нированным методом Филиппова . . . . . . .

. . . . . . . . . . .342.4. Сравнение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51Глава 3.Амплитудный множитель волны шепчущей галереи иэнергетические соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.1. Исходные соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.533.2. Вычисление потока энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563.3. Вывод формулы для волны Булдырева . . . . . . . . . . . . . . .583.4. Применимость формулы В. С. Булдырева для 0 в случае пре­ломляющей границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .603Заключение . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .674ВведениеАктуальность темы исследования. Исследования, которым посвященадиссертация, связаны с работами 1960-х годов В.С. Булдырева и его учеников(см. публикации [9], [10] и [11]), в которых теоретически изучались волны, со­средоточенные в окрестности границ разделяющих различные среды.

Развитиеэтой тематики привело В.С. Булдырева к формулам, описывающим так назы­ваемую головную волну интерференционного типа. Она действительно имеетряд черт, роднящих её с классической головной волной (для краткости мы бу­дем называть далее головную волную волну интерференционного типа “волнойБулдырева”).Исследованиям свойств волны Булдырева при помощи метода погранич­ного слоя посвящены работы В. М. Бабича [22] и [3].

Сравнение теории В.С.Булдырева (см. работы [9], [10]) с результатами экспериментальных исследова­ний (см. [1]) приводится в работе [25].В отличие от классической головной волны волна Булдырева структурноустойчива, то есть при малых изменениях скорости или параметров границыраздела сред аналитический характер формул, её описывающих, сохраняется.Изучение структурно устойчивых волн представляется важным и актуальным.Цели и задачи диссертационной работы: Построенная В.С.

Булды­ревым теория скалярных головных волн интерференционного типа имеет эври­стический характер. Цель работы – проверка общих формул В.С. Булдыревана частном примере точно решаемой задачи, а также исследование структурыи взаимного расположения волновых фронтов волн шепчущей галереи и волныБулдырева.Научная новизна. Все результаты диссертации – новые.Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертацииподтверждают эвристические формулы Булдырева теории головной волны ин­терференционного типа.

Это позволяет с большой уверенностью утверждать,5что многие реально наблюдаемые акустические и упругие волны являются го­ловными волнами интерференционного типа.Положения, выносимые на защиту: Поставлена эталонная точно ре­шаемая задача дифракции волн точечного источника на границе двух полу­плоскостей. Найдено точное решение этой задачи и его высокочастотная асимп­тотика.На примере эталонной задачи выполнена проверка существующей теорииголовной волны интерференционного типа. Дан вывод важных формул этойтеории на основе элементарных соображений локальности изучаемого волново­го процесса.Исследована структура волновых фронтов волн шепчущей галереи, волныБулдырева и их взаимное расположение.Степень достоверности и апробация результатов.

Уровень строго­сти изложения соответствует современному уровню строгости работ по матема­тической физике. Основные результаты работы обсуждались на Санкт-Петер­бургском семинаре по теории дифракции и распространения волн в ПОМИ им.В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском акустическом семинаре им. Д.П.Коузова, а также докладывались на международных конференциях “Days onDiffraction” (Санкт-Петербург, 2013, 2015).Публикации. Материалы диссертации опубликованы в пяти печатных ра­ботах, из них четыре публикации в журналах, входящих в список ВАК [7], [16],[17], [18], и одна публикация в сборнике трудов международной конференции[23].Личный вклад автора. Первая и вторая главы диссертации основыва­ются на работах диссертанта [16], [17] и [18].

Третья глава основывается насовместных работах диссертанта с В.М. Бабичем [7], [23], результаты которыхпринадлежат соавторам в равной степени.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составля­6ет 69 страниц текста с 19 иллюстрациями. Список литературы содержит 26наименований на 3 страницах.В первой главе в разделе 1.1 поставлена задача дифракции волны задан­ной своим геометро-оптическим разложением на гладкой границе раздела двухсред.

В разделе 1.2 перечислены основные свойства классической головной вол­ны. В разделе 1.3 сформулирована эталонная задача дифракции волн точечно­го источника излучения на двух полуплоскостях. В разделе 1.4 доказана един­ственность решения эталонной задачи. Раздел 1.5 посвящен описанию свойствволн шепчущей галереи, а также сформулированы основные результаты рабо­ты [17].

В разделе 1.6, статьей [18], описывается структура волновых фронтовволн шепчущей галереи и волны Булдырева в эталонной задаче.Во второй главе в разделе 2.1 описывается эвристический подход В.С. Бул­дырева в решении задачи дифракции волн точечного источника на неоднород­ном цилиндре.

В разделе 2.2 анализируется полученная в работе В.С. Булдыре­ва асимптотика головной волны интерференционного типа, при удалении источ­ника излучения от границы сред. Раздел 2.3 содержит вывод коротковолновойасимптотики волны Булдырева с помощью основ теории функций комплекс­ного переменного и комбинированного метода В.Б. Филиппова.

В разделе 2.4сравниваются результаты описанные в разделах 2.1 и 2.3.Третья глава посвящена исследованию высокочастотной асимптотики вол­ны Булдырева в дифракционной задаче, сформулированной в разделе 1.1 пер­вой главы. Исходя из энергетических соображений, доказывается отсутствиепротиворечия между формулами В.С. Булдырева, полученными в работе [9]и принципом локальности. Доказывается применимость формулы В.С. Булды­рева, определяющей 0 – условную границу значений предельного луча (см.параграфы 3.1 и 3.4) в случае преломляющей границы.В заключении сформулированы основные результаты диссертационной ра­боты.7Глава 1Головная волна интерференционного типа(волна Булдырева)1.1.

Постановка задачиПусть гладкая кривая разделяет две среды Ω1 и Ω2 (см. рис. 1.1).Рассматривается плоская скалярная задача. Скорость волн в среде Ω1 пусть1 = > 0, в среде Ω2 - гладкая положительная функция 2 (, ). Мыпредполагаем, что колебания гармонические ( - частота колебаний, соответ­ствующий множитель − мы всюду опускаем) и волновой процесс в областяхΩ1 и Ω2 описывается уравнениями(︃2Δ+ 2)︃ = 0; = 1, 2;(1.1)22Δ = 2 + 2,(1.2)где 1 и 2 – волновые поля в областях Ω1 и Ω2 соответственно. Пусть из средыΩ1 на границу падает волна, заданная своим геометро-оптическим разложе­нием:∼ (,)∞∑︁ (, )=0(−)+,(1.3) – гладкие в области Ω1 функции, – произвольная вещественная постоян­ная.

Обозначим =1– большой параметр задачи, имеющий смысл волновогочисла в среде Ω1 .На границе раздела выполнены следующие краевые условия:⃒⃒1 1 ⃒⃒1 2 ⃒⃒1 | = 2 | ,=,κ1 ⃒κ2 ⃒(1.4)κ - гладкие положительные функции, заданные на , - нормаль к , направ­ленная вглубь среды Ω1 .8Рис. 1.1. Дифракция волны заданной своим геометро-оптическим разложением на гладкойгранице раздела двух плоских сред.Предположим, что вблизи 2 (, ) > 1 ,(1.5)а также выполняется неравенство:111 2 (, )≡−> 0, (, ) ∈ (, ) (, ) 2 (, ) (1.6)где - эффективный радиус кривизны границы раздела (термин введен В.С.Булдыревым, см. [9], [5]),При → ∞, где =1√- кривизна границы раздела.2 + 2 , потребуем выполнения принципа предельно­го поглощения, состоящего в следующем: частоту в формулах (1.1) заменимна ′ = + ′ , где ′ = > 0 достаточно мало. Решение поставленной за­дачи будем искать в классе функций экспоненциально убывающих при → ∞.В качестве решений при вещественном параметре примем пределы: 1,2 (, , ) = lim 1,2 ( ′ , , ).′ →0Предел здесь понимаем как равномерное стремление 1,2 ( ′ , , ) к 1,2 (, , )на каждом компакте в 2 , не содержащем точку = 0 , = 0 .1.2.

Классическая головная волнаТеория классической головной волны (в литературе также встречаются идругие названия этой волны, например боковая волна) изложена Л.М. Брехов­9Рис. 1.2. Рассеяние волн точечного источника на границе двух однородных полуплоскостей.ских (см. [8]). Для полноты изложения, базируясь на монографии [8], мы дадимкраткое описание этой волны.Пусть области Ω1 и Ω2 представляют собой полуплоскости, а – прямо­линейная граница раздела сред. Предположим, что скорость распространенияволн в нижней полуплоскости 2 постоянна, тогда 2 =2- соответствующееволновое число.