Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 5

то ka    n , где n = 1; 2; 3 …Значение n = 0 не удовлетворяет условию задачи т.к. при этом   0 ,а это означает, что частица в яме отсутствует.Таким образомk 2 2 2 2 2Еn n ,22m0 2m0 aВидно, что частица, находящаясяв потенциальной яме, может иметьтолько дискретные, квантовые значенияэнергии.Число n называют квантовымчислом, а соответствующее ему значениеЕn – уровнем энергии. Уровень Е1называется основным состоянием, а всеостальные – возбуждёнными ( n = 2 - первое возбуждённое состояние).где n = 1; 2; 3 …3Энергетическое расстояние между соседними уровнямиE n  E n1  E n  2 22m0 a 22n  1Для молекулы газа с т0 ~ 10-27 кг в сосуде размером а = 0,1 м и n > 1получаемЕn  7  10 20 n эВ ,т.е.

E n намного меньше энергии теплового хаотического движениямолекулы ( kT  2,6  10 2 эВ ) и дискретностью энергетического спектрадвижущейся молекулы можно пренебречь.Для свободного электрона в атоме ( a  10 10 м ) получаем En  75n эВ иэто сравнимо с энергией связи электрона в атоме ЕСВ ~ 10 эВ.Волновая функцияпотенциальной ямечастицывn ( x)  A  sinодномернойпрямоугольнойnxaМножитель А находим из условия нормировки Ψ-функции:1 n x  dx  A2a22 sin0nxadx  A 2a2A2aи тогдаокончательноn ( x) 2nxsinaa при ( 0 < x < a ).В основном состоянии частица с наибольшей вероятностью находитсяв середине ямы, а в 1-ом возбуждённом состоянии ( n = 2) вероятностьнахождения частицы в центре ямы равна нулю, хотя пребывание частицы влевой и правой половинах ямы равновероятно.4Плотность вероятности нахождения частицы в основном состоянии:w1 x   1 22 2 sin  x  ,aa в первом возбуждённом состоянии:w2 x   222 2  2 sin x .a a Вероятность нахождения частицы в областив основном состоянии:x1 < x < x2 , где x2 < a2 2 2 xР1 х1  x  x2    sindx ,a x1axв первом возбуждённом состоянии:2 2 2 2xP2 x1  x  x2    sindx .a x1axДвумерная потенциальная ямаРассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками.Где Ώ = х, у  : 0  x  a1, 0  y  a2- прямоугольная область наплоскости (х,у).Вне потенциальной ямы х, у   0 .Поскольку движение частицы в яме вдоль осей ох и оу происходитнезависимо, тох, у   1 х   2  у  ,а уравнение Шрёдингера имеет вид 2 х, у  2т0Е  х, у   0 или22  у 2т0 1 х  2  у хЕ  1 х 2  у 1х 2у 22252Разделив левую и правую часть на1 х   2  у  получаем2т0 2 1 х  2 2  у 1Е1 х  х 22  у у 221Поскольку в правой части уравнения стоит постоянная величина, то ислева оба слагаемых должны быть постоянными величинами, и представивэнергию Е в виде двух слагаемых Е = Е1 + Е2 можно разделитьуравнение Шрёдингера для двумерной задачи на два одномерных уравнения: 2 1 х  2т0 2 Е1  1 х   0х 2и 2 2  у  2т0 2 Е 2  2  у   0у 2,решения которых такие же как и для одномерного случая:1,n1 x  n x2sin 1a1a12,n 2  y  иn y2sin 2, где n1; n2 = 1, 2, 3,a2a2…В результате нормированная волновая функция частицы, находящейсяв двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокимистенками:n x n y4n1,n 2 x, y  sin 1 sin 2 .

а энергияa1a 2a1a2Е n1,n 22 2  2  n1 n    22m0  a1   a 22 .Если потенциальная яма квадратная ( а1 = а2 = а) тоE n1,n 2  2 22m0 a2n21 n22 , где n1; n2 = 1, 2, 3, …Видно, что одному и тому же энергетическому уровнюЕn1,n2 ,определяемому квантовыми числами n1 и n2 при n1  n2 соответствуютдва различных состояния частицы, описываемых волновыми функциямиΨn1,n2 и Ψn2,n1.6Энергетический уровень, которому соответствует несколькосостояний частицы называется вырожденным энергетическим уровнем.Энергетический уровень, которому соответствует только односостояние частицы, называется невырожденным. Для квадратнойпотенциальной ямы невырожденными являются энергетические уровни, длякоторых n1 = n2 .Трёхмерная потенциальная яма (потенциальный ящик)Здесь G = x, y, z  : 0  x  a1 ,0  y  a2 ,0  z  a3  - внутренняяобласть прямоугольного параллелепипеда.Вне ящика x, y, z   0 , а внутри x, y, z   1 x  2  y   3 z  .Используя тот же метод, что и для двумерной ямы получаем 2 1 х  2т0 2 Е1  1 х   0 ;х 2 2 2  у  2т0 2 Е 2  2  у   0 ;у 2n1,n 2,n3 x, y, z  En1,n 2,n3  2 3 z  2m0 2 E3  3 z   0z 2n zn xn y8sin 1  sin 2  sin 3a1a 2 a3a1a2a3222 2  2  n1   n2   n3           , где2m0  a1   a2   a3  n1, n2, n3 = 1, 2, 3, … - квантовые числа.В кубическом потенциальном ящике ( а1 = а2 = а3 = а ) получаемEn1,n 2,n3  2 22m0 a2n21 n22  n32 .Энергетические уровни в кубической потенциальной яме, для которыхn1 = n2 = n3 , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены.7Число вырожденных состояний определённого энергетическогоуровня называется кратностью вырождения уровня.

Вопрос о кратностивырождения энергетических уровней в кубической яме рассматривается взадаче на семинарском занятии.Плотность вероятности нахождения частицы в единице объёма дляосновного состояния в кубической яме:w1,1,1 x, y, z  82  x 2  y 2  z sinsinsin .a3a aaВероятность нахождения частицы в основном состоянии в некоторойобласти x1  x  x2 ,  y1  y  y2 , z1  z  z 2  , где x2, y2, z2 < a8P 3a2  x 2  y 2  z sinsinsinx y z  a   a   a dxdydz .1 1 1x2 y 2 z 2Cферически-симметричная потенциальная яма радиусом аU( r ) = 0 при r < aи U( r ) = при r > a .Уравнение Шрёдингера для области r < a :2 2т0Е  02В сферически-симметричной яме Ψ-функция не зависит от угловыхкоординатθиφи можно использовать только радиальнуюсоставляющую оператора Лапласа82 2   2  r r , т.е.r2r 2  2  2m0 2 E  0r 2 r r 2  2  k 2  0 ,2r rrилигдеk2 Для решения этого уравнения используют подстановкуТогда2 m0E2 r  u r .r 1 u 1 u r r r r r 221 u 1  2 u 21 u 2 3 u r   222rr r r rrr rПосле подстановки получаем 2u k 2  u r   02rРешение этого уравнения имеет видur   A sinkr   0 r  Asin kr   0 rТак как Ψ( r )   при r = 0 то получаем φ0 = 0 .Используя условие непрерывности Ψ –функции, имеемAa   sin ka  0ka  n , где n = 1, 2, 3, …aEn  2 22 m0 a2n 2 ( c учётом того, что k 2  2m0 E ) .2Коэффициент А находим из условия нормировки:1 r V 2adV   r  4r dr  4A22a20 sin0Таким образомn r  2 nr 2dr  2aA  a A12a nr sin.r 2a  a 1Плотность вероятности (вероятность нахождения частицы в шаровомслое единичной толщины) в основном состоянии:wШ1  1  4r 2 22 2  r  1 2r 122  r rsin1cossin4.aa r 2 2a a  aa9Лекция 6Квантовый гармонический осциллятор( параболическая потенциальная яма)Гармоническим осциллятором называется система, способнаясовершать гармонические колебания.

Примером таких колебаний вквантовой механике являются колебания атомов в твёрдых телах, молекулахи т.д.На рисунке слева изображена потенциальная энергияUвзаимодействия атомов в двухатомной молекуле ( типаNaCl )взависимости от расстояния r между ядрами атомов. Из вида кривой U( r )следует, что атомы в молекуле могут совершать колебания относительноравновесного расстояния r0 между ядрами.Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводитсяк задаче о движении частицы вдоль оси охв параболическойпотенциальной яме под действием возвращающей квазиупругой силы(рисунок справа) Fx = – kx .Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет видkx2 m0 2 2U x  x , где22km0-собственная частота классического гармоническогоосциллятора.Графиком этой функции U( x ) является парабола.Точки х = – а0 и х = а0 , в которых полная энергияявляются для классической частицы точками поворота.Амплитуду колебаний находим из выраженият0 2 а02Е2а0 2Е.т0  2E = U( x ) ,10Уравнение Шрёдингера в данном случае имеет вид 2  2т0 2х 2т0 2 х 2  Е   0 .2Это уравнение имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкиерешения (собственные функции) при собственных значениях Е , равных,1E n    n  2где n = 0, 1, 2, 3, …Энергетические уровни расположены на одинаковом расстоянии другот друга Е   .Минимальная энергия ( её называют нулевой энергией)Е0 2Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно длявсех квантовых систем и является следствием принципа неопределённостей.Для квантового осциллятора возможны переходы лишь междусоседними «стационарными» уровнями , при которых квантовое числоn изменяется на единицу ∆n =  1 ( правило отбора ) .

При каждом изэтих переходов испускается или поглощается фотон с энергией , где   его циклическая частота.На следующем рисунке приведены графики распределения плотностивероятности Ψ2( х ) месторасположения частицы при n = 0 , 1, 2, 9.n=0n=1n=2n=9Жирными отрезками на оси ох показаны интервалы, на концахкоторыхE = U.Классическая частица при колебаниях за пределыинтервала заходить не может. Квантовая частица может бытьобнаружена и вне пределов этих интервалов.11Одномерный потенциальный порог и барьерДвижение частицы в области потенциального порогаПотенциальным порогом ( потенциальной стенкой ) называют силовоеполе, в котором потенциальная энергия частицы имеет видПусть слева на порог налетает частица с полной энергиейЕ .

Наязыке квантовой теории это означает, что на порог слева «падает»дебройлевская волнаx, t   A  e i kx t  .Чтобы удовлетворить граничным условиям для Ψ ихпри х = 0,должны существовать как прошедшая волна, так и отражённая. Так какω вЕэтих волнах одна и та же     , то в расчётах можно ограничиться толькокоординатной частью этих волн, а именно Ψ( х ).Задача состоит в том, чтобы сначала найти амплитуды отражённой ипадающей волн, а затем коэффициенты отражения R и пропускания D .Уравнение Шрёдингера для частицы в данном силовом поле имеет вид: 2 1 2т0 2 Е  1  0в области I ( x < 0 )х 2 2 2 2т0 2 Е  U 0 2  0в области II ( x > 0 )х 21).Низкий порог ( Е > U0 )Общее решение уравнения Шрёдингера имеет вид:1 ( x  0)  A1  eik1x  B1  eik1x ,2 ( x  0)  A2  e ik2 x  B2  e ik2 xгде, гдеk1 k2 2 m0 E22 m0  E  U 2Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой А1 ,причём вещественной, а отражённая – амплитудой В1 .