Физика лекции (понятные) (Физика лекции 4 сем (PDF)), страница 4

Тогда rmev2 0  2r 0,13  10 10 м2me eи25Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е. радиус атома не может бытьменьше найденного значения. В свою очередь это означает, что электрон неможет упасть на ядро, т.е. атом является устойчивым образованием.Кроме координат и проекций импульса существуют другие парыфизических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно.Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношениемнеопределённостей для энергии и времениE tСистема, имеющая среднее время жизни∆t , не может бытьохарактеризована определённым значением энергии. Разброс энергииЕ tвозрастает с уменьшением времени жизни системы и частотаизлучения также должна иметь неопределённость Е, т.е.спектральные линии должны иметь конечную ширину (уширение).Следствия из соотношений неопределённостей:1) Первым следствием из соотношения неопределённостей являетсяотсутствие траектории у микрочастиц (для частиц с высокой энергией и∆х  10-6м неопределённость импульса∆рх =~ 10-28 кг.м/с ,что2хзначительно меньше значения самого импульса р.

Это означает, что дляэтих частиц λБ оказывается очень малой и для описания поведения такихчастиц должна применяться классическая механика и можно говорить отраектории частицы ).2) Отсутствие состояния покоя. Если ∆х = а , то ∆рх.2аПолагая рх мин  ∆рх мин находим минимальную (не равную нулю) энергиюмикрочастицы2рхмин2Емин ,2m 8ma226т.е. в квантовой механике микрочастица не может находится всостоянии полного покоя.3) Теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую ипотенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, апотенциальная энергия от её координаты.

Но координата и импульс не могутодновременно иметь определённые значения. Равенство Е = К + U длямгновенных значений невозможно (в квантовой механике принятопотенциальную энергию обозначать буквойU ). Такое равенствосправедливо лишь для средних значений энергии<E> = <K> + <U>.Статистический смысл волновой пси-функцииДля микрочастиц из-за соотношения неопределённостей теряет смыслклассическое определение состояния частицы (координаты и импульса).В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовойтеории состояние частицы задаётсяпси-функциейΨ( r , t) , котораяявляется комплексной величиной и формально обладает волновымисвойствами.Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняетсявероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее этодвижение, проявляется в регистрации достаточно большого числа частиц.

Этораспределение оказывается таким же, как распределение интенсивностиволны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большеечисло частиц.В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точномпредсказании событий, а в определении вероятностей этих событий, покоторым по определённым правилам рассчитывают средние значенияфизических величин.rΨ( , t )Пси-функцияи является той величиной, которая позволяетнаходить эти вероятности.Квантовая механика базируется на нескольких постулатах.Правильность этих постулатов может быть подтверждена сравнениемпредсказаний квантовой механики с результатами экспериментов.Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы вr,tквантовой механике описываетсяволновой функциейΨ(),являющейся функцией пространственных координат и времени и имеющей27вероятностный смысл т.е.

определяющей вероятность нахождения частицыв различных областях пространства.r,tВолновая функция Ψ () в нерелятивистском случае находится изуравнения Шрёдингера .Остальные постулаты будут приведены позже.dPЕслиw=- плотность вероятности того, что в момент времениdVt  0 частица может быть обнаружена в точке пространства М = М(х,y,z)тоw = Ψ Ψ* = .2, гдеΨ* - функция, комплексно сопряжённая с функциейобщем случае комплекснозначной функцией.Ψ, являющейся вВероятность того, что частица будет обнаружена в любой областипространства конечного объёма V можно рассчитатьР   dP   wdV    dV2VVТак как вероятность нахождения частицы во всём пространствеV   равна единице, то  dV  12V Иногда интеграл берётся не по всему пространству, а по той области, вкоторой Ψ-функция отлична от нуля.Данное соотношение называют условием нормировки волновойфункции, которое означает, что во всей области, гденаходится с достоверностью.0, частицаНа волновую Ψ-функцию накладываются определённые ограничения –так называемые условия регулярности волновой функции:волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывнойфункцией пространственных координат, за исключением, быть можетотдельных точек.

Непрерывными должны быть также частные производные х ; у и z .28Принцип суперпозиции квантовых состояний: если частица можетнаходится в квантовом состоянии Ψ1 , а также в другом квантовомсостоянииΨ2 , то эта частица может также находится в квантовомсостоянии, описываемом волновой функциейΨ = С1Ψ1 + С2Ψ2 , гдеС1 и С2 - в общем случае комплексные числа.Для нормированных функцийС1  С2221Уравнение ШрёдингераВ классической механике волновым уравнением называют уравнениевида1  2 2 2 .v tНапример, для электромагнитной волны имеем22Е Е   0 0  2 .tВ квантовой механикеобщее временное уравнение Шредингерапозволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для2F =  gradU ,частицы массойт0 , движущейся в силовом полеописываемом скалярной потенциальной функцией U(x, y, z, t)2 2т02m U   0 i t .В большей части учебников это уравнение записывается в следующемтрадиционном виде:2 2i  U  t2т0 1 - мнимая единица;2222  2  2  2 - оператор Лапласа в декартовых координатах;хуzi =292 2 11 ctg     2 2  2 2  2 22r  r r sin  rr r222-оператор Лапласа всферических координатах.Уравнение Шредингера, как и законы классической механики Ньютона,законы термодинамики, уравнения Максвелла для электродинамики не можетбыть выведено.

Его следует рассматривать как некоторое научное положение,справедливость которого подтверждается данными экспериментов в атомнойи ядерной физике.В квантовой механике существует класс задач о движении в силовыхполях, для которых силовая функция не зависит от времени, т.е.U (r , t )  U (r ) .Такие силовые поля называют стационарными силовыми полями. В этомU(r) имеет смысл потенциальной энергиислучае силовая функциячастицы.В стационарных полях квантовая система может находится в состоянияхс определённым значением энергииЕ. Эти состояния называютстацоинарными состояниями, а задачи о движении частиц, находящихся втаких состояниях – стационарными задачами квантовой механики.Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид2 2m0E  U   0 .21КВАНТОВАЯ 2Лекция 5Стационарные задачи квантовой механикиИтак – уравнение Шрёдингера для стационарных состояний2 2т0( Е  U )  0 ,2а волновая функция частицы, находящейся в стационарном квантовомсостоянии, имеет видЕ( х, у, z, t )  ( x, y, z)  e it , где   .Плотность вероятности обнаружения частицы при этомw  ( x, y, z, t )  ( x, y, z)  e22it 2 ( x, y, z)  e it  e it  ( x, y, z)22т.е.

не зависит от времени.В стационарных состояниях от времени также не зависят векторплотности потока вероятности j и средние значения физическихвеличин.Условие нормировкипринимает видволновойфункциидлятаких состояний2 ( x, y, z) dV  1Частица в потенциальной яме с непроницаемыми стенками.Одномерная потенциальная ямаПотенциальная энергия частицы внутри ямы ( 0 < x < a ) постоянна иравна нулю, а вне ямы обращается в бесконечность.2Уравнение Шредингера для одномерного движения частицы вдоль осиОХ:d 2  2m0 2 E  U ( x)    0dx 2U (x)   , то для выполнения этого условияТак как вне ямынеобходимо, чтобы ( х)  0 . В силу непрерывности функция Ψ(х) должнаобращаться в нуль и на границах ямы.Таким образом, задача о движении частицы в одномернойпрямоугольной потенциальной яме с непроницаемыми стенками сводится крешению уравненияd 2  2m0 2 E  0dx 2при 0 < x < aс граничными условиями Ψ(0) = 0 и Ψ(а) = 0 .d 2 k 2  0Введя обозначение k получаем.2dxИз теории колебаний известно, что решением этого уравнения являетсявыражение2 m0Е2( х)  А  sin(kx   0 ) .илиИспользуя граничное условие Ψ(0) = 0 получаем В = 0 (или  0  0 ) и( х)  А  sin kx  B  cos kx( x)  A  sin kx .Используя граничное условие Ψ(а) = 0 получаемA  sin ka  0и еслиA  0 .