Диссертация (Неупругие процессы при взаимодействии полей тяжёлых ионов и ультракоротких импульсов электромагнитного поля с атомными системами), страница 54

Кроме того такая запись будет нужна в Приложении 2.Б.Аналогично рассчитываются 2,1 , 2,2 используя тот же порядок в преобразованиях и те же замены переменных. Поэтому в итоге результат будет равенформуле (П.2.3) с другими коэффициентами 1 , 2 , которые представим в видеинтегралов√︂ ∫︁ ∫︁(︀)︀ (︀)︀2 2 /2 − 2 2 + 1 ,(П.2.5)1 = lim√→∞ 3 0/2(1−/)√︂ ∫︁ ∫︁ √/2(︀ 2 )︀ (︀ 4)︀1 222 = lim−4+4+7 .→∞ 12 0 √/2(1−/)(П.2.6)Эти коэфициенты можно найти в аналитическом виде, для этого будемискать предел в общем виде√︂ ∫︁ ∫︁ √/2(︀ 2 )︀2 = lim− () ,→∞ 0 √/2(1−/)(П.2.7)где () - функция определяющая переход из |⟩ состояния. Сделаем заменыпеременных = 1 − /, тогда√√√ ∫︁ 1 ∫︁ 1− /2(︀ 2 )︀ = lim 2− () ,(П.2.8)√√→∞01−/2316выражение (П.2.8) везде равно нулю, кроме области интегрирования по вбли√зи нуля поэтому 1 − = 1, тогда∫︁ 1 ∫︁ (︀)︀ = √lim2 − 2 () .(П.2.9)=/2→∞0Рассчитаем предел (П.2.9) используя правило Лопиталя, тогда:∫︁ ∫︁ 1(︀)︀2 = −2 lim − 2 () =→∞0 ∫︁ 1(︀)︀2= 2 lim −()2 () .→∞(П.2.10)0После чего сделам замену переменных = получим:∫︁ ∞2− () .

= 2(П.2.11)0В итоге 0 = 1, 1 = 4/3, 2 = 19/12.Б. К разделу "Предельные случаи В."Рассчитаем 4, , но для этого рассмотрим сначала 4,0 в выражении(2.140), после чего обобщим полученный результат на 4, . Можно увидеть, чтовыражение (2.140) при ≫ 1 имеет значение при ∼ , отсюда ≫ 1. Тогдасумму по можно заменить на интеграл, причём нам нужны ≫ 1, отсюда нужно воспользоваться асимптотикой !, в итоге после замены переменной√ = , получим:√4,0 3/4= √ 2∫︁ ∫︁2 √0(︂[︂]︂)︂}︂ (︁ )︁√−1 − √ − ln √(П.2.12).{︂0Выражение в фигурных скобках всюду отрицательное, а при ≫[︁ 1 стремится]︁в ноль.

Поэтому выражение (П.2.12) имеет значение при √ − ln √ − 1 → 0,{︃(︁)︁[︁ ]︁√(︀)︀√ отсюда → , тогда нужно заменить на , а √ − ln √ −}︃⃒⃒(︁)︁2⃒11 ⃒= 2 1 − √ . Далее сделав замены переменных при интегрировании⃒ √→ (︁ √ )︁1/2 (︁)︁√√по на =1−ипона=, в итоге получим 4,0 =23174(︀ )︀24,0 , где4,01 (︁ )︁2 (︁ )︁ 1√ 0 ,=(2)1/2 (П.2.13)где 0 равно выражению (П.2.4). Расчитывая аналогично 4,1 , 4,2 , получитсявыражение равное (П.2.13), но сдругими коэфициентами, для 4,1 - 1 из (П.2.5),а для 4,2 - 2 из (П.2.6), которые были расчитаны в предыдущем пункте.Далее рассчитаем 2, , но для этого рассмотрим сначала 4,0 в выражении(П.7.6), после чего обобщим полученный результат на 2, . Из (П.7.6) видно,что сумма начинается с ≫ 1, поэтому воспользуемся асимптотикой для !,тогда получится выражение (заменим = ):2,0 1= √ 2∫︁∞ ∫︁√{︂(︂ −[︂ ]︂)︂}︂ (︁ )︁ .

(П.2.14)− ln−10Поскольку интегрирование начинается[︁ ]︁ с = ≫ 1, то выражение(︀ )︀(П.2.14)имеет значение при − ln − 1 → 0, отсюда → , тогда {︃}︃⃒⃒[︁ ]︁(︁)︁2(︀ )︀⃒1нужно заменить на , а − ln − 1 ⃒= 2 1 − . Далее сделав⃒→√︀замены переменных при интегрировании по на = 2 (1 − /) получим2,0 1 (︁ )︁2 (︁ )︁= √Ω, 2 √︂ ∫︁∞2Ω= √Сделав замену переменных =Ω=√∫︁120√∫︁ /22− .(П.2.15)(П.2.16)/2(1−/)1−получим√ ∫︁2(1−)1(1 − )2 √2(1−)2− .(П.2.17)318Видно что выражение (П.2.17) имеет значение при ≫ 1 вблизи ≪ 1, тогдаэто выражение при ≫ 1 можно представить как∫︁ 1 ∫︁ (︀)︀Ω = √lim2 − 2 () ,=/2→∞0(П.2.18)которое совпадает с (П.2.9) и рассчитано. В итоге рассчитывая аналогично2,1 , 2,2 , получится выражение равное (П.2.13), но сдругими коэфициентами,для 2,1 - 1 из (П.2.5), а для 2,2 - 2 из (П.2.6), которые были рассчитаны в(︀ )︀2предыдущем пункте.

Тогда 2, = 4, = 4 Δ , где1 (︁ )︁2 (︁ )︁ 1√ .Δ =(2)1/2 (П.2.19)319Приложение 32Найдем асимптотическое значение интеграла =∫︀1 () при больших0значениях параметра 1 . Перейдём обратно к переменной используя (2.121),)︀∫︀∞ (︀ 2тогда получится =1 () + 02 () , похожий интеграл нами уже был0рассмотрен тогда = 0 0 (0 )1 (0 ), где 0 решение уравнения(︂11)︂2(︀)︀12 (0 ) + 02 (0 ) = 1 ,(П.3.1)при 1 → ∞, 0 → 0. Воспользовавшись асимптотиками для 1 (0 ), 0 (0 )описанными в Приложении 1., получим)︀(︀|1 →∞ = ln 2− 1 ,где - постоянная Эйлера.(П.3.2)320Приложение 4Рассмотрим детали вывода формулы (3.25) для Ω22,1 и интегралов (3.26) и(3.27).Рассмотрим Ω22,1 представленное формулой (3.23) и вычислим сначала ∇2 используя явный вид для амплитуды (3.7)∫︁12(∇ ) =−qb 2 ∇2 |b − s|2 2 .2|b|(П.4.1)С тем чтобы корректно выполнить операцию дифференцирования представимдифференцируемую функцию так|b − s|21=(2)2∫︁2 p(b−s) (p) ,(П.4.2)где∫︁(p) =2 −px |x|2 = 2∫︁0 ()2 .(П.4.3)Этот Фурье-образ можно корректно вычислить, путем введения затухания прибольших :∫︁(p) = lim 2 0 ()2 − =(П.4.4)→0= lim 2→0−2−232Γ(2 + 2)2 1 (1 + ; + , 1; − 2 ) .2(П.4.5)Это выражение справедливо при любых больших или равных нулю.

однаков нем можно перейти к пределу → 0 лишь при ̸= 0 поскольку интеграл(П.4.4) расходится при = 0 и = 0 Таким образом при > 0 и = 0(p) = 221+2−2 Γ(1 + ).2 Γ(−)(П.4.6)321Очевидно22∇ |b − s|1=(2)2∫︁2 p(b−s) (−2 )(p) .(П.4.7)Таким образом, в (П.4.7) функция (p) входит умноженной на 2 поэтому еезначение в точке = 0 несущественно и мы можем использовать выражение(П.4.6). Поэтому∫︁221+2 1 Γ(1 + )2 p(b−s) −2 .(П.4.8)∇ |b − s| = 22 Γ(−)Точно также как в (П.4.4) интеграл Фурье в (П.4.8) следует вычислять вводязатухание:∫︁221+2 Γ(1 + )∇ |b − s| = 2lim 0 (|b − s|)−2 − =Γ(−) →0Γ(1 + )= 21+2lim −2+2 Γ(2 − 2) ×Γ(−) →03|b − s|2×2 1 (1 − ; − , 1; −).

(П.4.9)22Предел этого выражения при → 0 и |b − s| ≠ 0 такой21+221 Γ(1 + )Γ(1 − )1−2 |b − s|22.2 Γ(−)|b − s|2 Γ()(П.4.10)Однако, при вычислении (∇2 ) по формуле (П.4.1) с использованием предельного значения (П.4.10) для ∇2 |b − s|2 приводит к расходимости при |b − s| = 0и переход к пределу → 0 следует выполнять после некоторых преобразований и интегрирования. Подставим ∇2 |b − s|2 из формулы (П.4.9) в формулу(П.4.1), тогда∫︁2(∇ ) =lim 2 −qb −2 =2 →0∫︁lim 2 −qb (−2 − −2 + −2 ) = 1 + 2 ,(П.4.11)2 →0322где через обозначено выражение:Γ(1 + ) −2+2Γ(2 − 2) ×Γ(−)|b − s|23),×2 1 (1 − ; − , 1; −22 = 21+2(П.4.12)здесь1 =lim2 →0∫︁2 −qb (−2 − −2 ) ,(П.4.13)иlim2 =2 →0∫︁2 −qb (−2 ) .(П.4.14)В интеграле 1 особенность (в точке |b − s| = 0) является интегрируемой идопустим переход к пределу → 0 под знаком интеграла.

В результате∫︁22 −qb −2−22 |b − s| (−)4.(П.4.15)1 =2|b − s|2В интеграле 2 такой предельный переход невозможен и необходимо интегрировать при конечных с последующим переходом к пределу → 0, в результате2 = 221+2Γ(1 + ) −qs −2 −2.Γ(−) 2(П.4.16)Подставляя (∇2 ) = 1 + 2 и (∇2 * ) = 1* + 2* в формулу (3.23) (при 0 ≪1 = 2) получим формулу (3.25).323Приложение 5Здесь приведены выражения для расчитываемых численно интегралов,входящих в формулу (3.66).(︂ )︂)︂∫︁′ (︂*′(−)bb11−qb qb1+<0|×=1^ > (2)3 *2 ′ 2< 0| 23 |0(︂(︂ ′ )︂)︂ (︁′)︁ 2′( − * )−(b,s) (b ,s)^ > 2 b2 b′ 2 q,× 1+−1|0(П.5.1)1 *3где (b, s) - эйкональная фаза (3.61);∫︁∫︁1122 2q+=|| q,121228 *16 *интегралы же 1 и 2 выражаются через вспомогательную функцию{︂(︁ )︁)︁}︂(︁2 (, * , ) = − * ln() − ( − * )0,(П.5.2)(П.5.3)и равны:1 = −2∫︁ [︃2 − *0 2(︂ )︂ (︂ )︂2 (︂ *(︂ )︂)︂2 ]︃2 − *−+1××qb (, * , ) ( (−, − * , |b + s| − (−, − * , ))) 2 b,(П.5.4)2 = −qb (−, − * , )∫︀ ∞0(1 − (, * , /))0 ().324Приложение 6Используя формулу (5.86), можно нетрудно представить среднее (5.89) ввиде< (pd) >=∑︁ ∑︁−pd(−) ×,(̸=) ×⟨ | ∏︁− | ⟩,(П.6.1),где√︂2pi(() − ()),√︂2 =pi(() − ()), =(П.6.2)здесь i - единичный вектор направленный вдоль цепочки.

Далее, подставляя явный вид волновых функций (5.88) в формулу (П.6.1) можно проинтегрироватьполученное выражение по переменным . В результате< (pd) >=∑︁ ∑︁−pd(−) ×,(̸=) ×∏︁,(︂ 22)︂2− 4,(П.6.3)где ()-полином Легерра. Далее проведем суммирование по , где∏︀,∞∑︀∑︀≡. Для этого воспользуемся известной формулой [93](стр.705,ф.5) =0∞∑︁(︂)︂1 () =.1−−1=0(П.6.4)325В итоге получим (pd) =∑︁−pd(−) ×,(̸=)(︂)︂∏︁ 2 −×(2 < > +1) ,4(П.6.5),где < > = (( / ) − 1)−1 .

Далее необходимо подставить выражения∑︀∑︀∑︀(П.6.2) в (П.6.5) , представить суммирование так ,(̸=) = ,(<) + ,(>)и обозначить | − | = , в результате получим формулу (5.90).326Приложение 7Рассмотрим интеграл (5.179), где Ψk,, определяется выражением (5.181).Следует сказать, что подобный интеграл не сводится к табличным, поэтомурассмотрим его подробно. Для его расчёта представим Ψk,, в видеΨk,, = k kr∑︁,,, Ψ,,1 ,2 ,(П.7.1),где Ψ,,1 ,2 - волновая функция 2 модового электромагнитного поля при упругом рассеянии)︁(︁ (︀√)︀2Ψ,,1 ,2 = − (2 + 1 ) (2 + 1 ))︁(︁ 2(︀√)︀2 (1 − 2 ) ,(П.7.2)× − (1 − 2 ) 2где , нормировочные постоянные (5.166). Далее найдём коэффициент разложения ,,, .

Для этого домножим выражение (П.7.1) на волновую функцию (П.7.2) и проинтегрируем воспользовавшись условием ортогональности′′⟨Ψ,,1 ,2 |Ψ ′ ,′ ,1 ,2 ⟩ = , , (, -символ Кронекера). Поученный интегралрасчитывается достаточно просто если его свести к табличному [93]∫︁ ∞√22(П.7.3)− ( + Ω) ( − Ω) = 2 !(−Ω)− − (2Ω ),−∞где () - обобщенный полином Лагерра, а интеграл справедлив при > .Если < , то в выражении надо заменить на , а заменить на , при этомнадо заменить Ω на −Ω. В итоге получим выражение (5.184). Далее рассчитаем1 ,2 ,0интеграл (5.179) подставив в него разложение (П.7.1), в итоге получим ,,k=∑︀∞ k,0 , ,,, (k),,1 ,2 , где∫︁(︀√)︀2,,1 ,2 = 1 2 (− 2 (2 +1 ) ) (2 + 1 )(︀√)︀ 1 2 1 22×(− 2 (1 −2 ) ) (1 − 2 ) − 2 1 − 2 2 1 (1 )2 (2 )1 2 . (П.7.4)327Выражение (П.7.4)не является табличным интегралом.

Рассчитаем его используя определение полиномов Эрмитта. Получим, что этот интеграл можно представить в виде −2 −2= 1 2 (−1) ∫︁ ∞∫︁ ∞1√√222×−2 1 (+) 1 −1 1−2 2 (−) 2 −2 2 .12−∞−∞,,1 ,21 +2 ++(П.7.5)В выражении (П.7.5) после взятия производных по , следует считать = = 0. Рассчитать интегралы в выражении (П.7.5) не сложно получим в итоге(︂ )︂⃒⃒√ 1 +2 ⃒(П.7.6).( + )1 ( − )2 ⃒,,1 ,2 = 1 2 (2 )⃒ =0,=0В итоге у нас получился полином. Можно увидеть из выражения (П.7.6), чтовыполняется условие 1 + 2 = + , которое говорит о том, что число частицпри упругом рассеянии сохраняется. Используя свойства полиномов Якоби несложно показать, что ,,1 ,2 получится в виде (5.183)..