Автореферат (Измерение границ объектов по оптическим изображениям в условиях дифракционного размытия), страница 3

Вотличие от ранее известных аппроксимационных методов, основанных на моделяходномерных сигналов, разработанный метод основан на модели двумерногораспределения яркости изображения. Для этого предлагается аппроксимироватьформируемое оптической системой непрерывное изображение следующей моделью:I ( x, y ) =  I OB ( x, y )M ( x, y ) + I BG ( x, y ) (1 − M ( x, y ) )   h( x, y ),(1)где I – яркость изображения, (x, y) – декартовы координаты точки изображения, h –двумерный импульсный отклик оптической системы, функция M(x, y) – бинарныйиндикатор принадлежности точки (x, y) ограничивающей объект фигуре (предложеноназвать эту функцию бинарной маской объекта), IOB и IBG – распределения яркостиобъекта и фона соответственно, «  » – оператор свертки. Графическая интерпретациямодели (1) приведена на рис.

2.M1-Mℎ××+I*Рис. 2 Графическая интерпретация математической модели непрерывного изображения10Для построения алгоритмической реализации предложенного метода потребовалось:1. определить вектор параметров математической модели изображения, задав приэтом способы представлений распределений яркости объекта и фона;2. разработать алгоритм вычисления дискретного изображения по заданному векторупараметров модели (прямая задача);3.

разработать алгоритм оценки параметров математической модели изображения позаданному дискретному изображению (обратная задача).Моделирование распределений яркости объекта и фона. В диссертационнойработе рассмотрено две модели распределений яркости. Первая модель основана напредставлении распределений яркости в виде линейной комбинации полиномов,определенных на декартовой плоскости, при этом вектор параметров модели состоит изкоэффициентов при полиномах (предложено называть такую модель полиномиальной).Вторая модель основана на представлении распределения яркости в виде сверткиматрицы отсчетов яркости с импульсным откликом, определяемым априорнымисведениями о пространственно-частотных характеристиках текстуры объекта или фона,при этом вектор параметров модели состоит из отсчетов матриц яркости объекта и фона(предложено называть такую модель сверточной).

Предварительные экспериментыпоказали, что для реальных изображений достаточно трудно сформировать адекватныйполиномиальный базис, и на практике предпочтительно использование сверточноймодели. Полиномиальная модель использовалась в работе при моделировании тестовыхизображений для вычислительных экспериментов.Алгоритм вычисления модели дискретного изображения (прямая задача).

Сучетом предложенной модели непрерывного изображения (1), отсчеты дискретногоизображения могут быть представлены выражением:+ +I[i, j ] =   I− −OB( x, y ) M ( x, y ) + I BG ( x, y ) (1 − M ( x, y ) )  h ( x j − x, yi − y ) dxdy,(2)где I – матрица дискретного изображения, (i, j) – индексы пикселя по вертикали игоризонтали соответственно, (xj, yi) – координаты центра пикселя с индексами (i, j) вплоскости изображения, h – комбинированный импульсный отклик системы (сверткаимпульсных откликов оптической системы и датчика изображения). Посколькуаналитическое решение (2) возможно лишь для частных случаев, в диссертационнойисследовании рассматриваются численные методы моделирования изображений.Первый рассмотренный метод моделирования основан на аппроксимации (2)интегральной суммой, что является вычислительно неэффективным, но обеспечиваетвысокую гибкость в выборе моделей границы объекта и распределений яркости.Показано, что при допущении постоянства яркости объекта и фона в пределах пикселяизображения, объем вычислений может быть сокращен приблизительно на порядок.11Второй рассмотренный метод моделирования (вычислительно-эффективный)основан на свойстве финитности пространственно-частотного спектра изображений,обусловленногодействиемдифракционногоразмытия.Соответствующаяматематическая модель дискретного изображения (I) при данном способе описываетсявыражением:I =  IOB  M + I BG  ( U − M )   h,(3)M = F−1 ( FM ),где IOB и IBG – матрицы распределений яркости объекта и фона соответственно, U –матрица, все элементы которой равны единице, M – матрица дискретного частотноограниченного изображения бинарной маски объекта, произведение матриц –поэлементное, F-1 – обратное дискретное преобразование Фурье, ↓FM – результатдискретизации фурье-образа непрерывной бинарной маски M, определенной в (1),произведение матриц – поэлементное.

Основные этапы алгоритма вычисления моделиизображения (3) приведены на рис. 3.1. ТриангуляцияГраницаобъекта2. Расчет фурье-образаМножествотреугольников5. Свертка с имп. откликом3. Обратноепреобразование ФурьеОграниченныйфурье-образ маскиЧастотно-ограниченноеизображение маски4.

Перемножение сраспределениями яркостиРаспределения яркостиобъекта и фонаСинтезированноеизображениеРис. 3 Основные этапы вычислительно-эффективного алгоритма моделированияизображения в фурье-областиВычислительная эффективность разработанного алгоритма при одновременномобеспечении высокой точности моделирования достигается путем разбиенияограничивающей объект фигуры на множество непересекающихся треугольников ипоследующего аналитического расчета фурье-образа каждого из полученныхтреугольников.Соответствующиеаналитическиевыраженияфурье-образатреугольника были получены в процессе исследования и представлены в работе. Пусть12треугольник равномерной единичной яркости задан точками (ABC), а пространственнаячастота искомого фурье-коэффициента задана в полярных координатах (ω, α).

Повернемтреугольник относительно начала координат на угол α и обозначим точки повернутоготреугольника (A΄B΄C΄). Также определим точку (D΄) пересечения линии (A΄B΄) и линии,параллельной оси абсцисс, проходящей через точку C΄. Обозначим абсциссы точек(A΄B΄C΄D΄) как (a, b, c, d), а высоты треугольников (A΄B΄D΄) и (B΄C΄D΄) как hA на hC. Вработе показано, что искомый фурье-коэффициент может быть вычислен как суммаF=F1+F2, где: hA ( a − b exp( −id ) + b − d  exp( −ia ) +  d − a  exp( −ib) ) 2,  ( d − a )( a − b)  0, 2 (d − a )( a − b) h ( exp( −id ) − exp( −ib) +  d − b  i exp( −ib) )AF1 = ,  2 (d − b)  0,2 ( d − b) hA (b − d ) 2,  ( d − b) = 0,2а F2 вычисляется аналогично путем замены a на с и hA на hC.Теоретический анализ показывает, что разработанный эффективный алгоритммоделирования позволяет более чем на два порядка сократить объем вычислений посравнению с известным алгоритмом моделирования на основе субпиксельнойдискретизации изображения при шаге 10-2 пикселя.

При этом вычислительнаясложность разработанного алгоритма не зависит от чувствительности модели кизменениям координат точек границы объекта, поскольку количество вычисляемых впроцессе моделирования изображения фурье-коэффициентов определяется лишьразмерностью моделируемого изображения и предельной частотой изображения.Алгоритм оценки параметров модели (обратная задача) основан на численнойоптимизации функционала невязки моделируемого и регистрируемого изображений:ˆ ,Kˆ ,Kˆ ) = arg min ( E ) : E = 1  I [ x, y ]2 ,( Xˆ , YOBBGD2 ( x. y )μX ,Y ,K OB ,K BG(4)ID = IMX ,Y ,K OB ,K BG− IE ,где X и Y – искомые параметры границы (векторы значений абсцисс и ординат точекграницы соответственно), KOB и KBG – матрицы параметров яркости объекта и фонасоответственно, IM и IE – матрицы моделируемого и сформированного датчикомизображений соответственно, µ – анализируемая область пикселей изображения.Решение задачи (4) предлагается искать путем применения методов численнойградиентной оптимизации.

Для этого потребовалось определить способ вычислениячастных производных оптимизируемого функционала (E) по параметрамматематической модели дискретного изображения (3).13В работе получены аналитические выражения для вычисления частныхпроизводных по яркостным параметрам предложенной модели.

При этом показано, чтопри представлении распределений яркости объекта и фона в виде свертки IOB=KOB* QOBи IBG=KBG*QBG, где QOB и QBG – матрицы, определяемые априорными сведениями опространственно-частотных характеристиках текстур объекта и фона, расчет частныхпроизводных по всем яркостным параметрам модели изображения может бытьвыполнен вычислительно-эффективно, а именно:()E= ( ( I D  С ) h )  M   QOB [ x, y ], ( K OB [ x, y ]) 1,(i, j )  μ, символ «∘» обозначает дискретную корреляцию.0,(i, j )  μгде C[i, j ] = Аналогичное выражение получено для частных производных по параметрам яркостифона.Частные производные по координатам точек границы предложено вычислятьприближенно. Однако при этом удается достичь многократного уменьшения объемавычислений по сравнению с общими методами численного дифференцирования за счетучета структуры дифференцируемого функционала.

Искомая производная вычисляетсяс помощью следующей аппроксимации (на примере абсциссы i-й точки): ( I M [ x, y ] ) E=   I D [ x, y ],xi ( x. y )μ xiI M M 1=   IOB − I BG  h xi xi xi(IOB − I BG   M )  h,где M – изменение матрицы M при изменении абсциссы i-й точки на xi . В работепредложен алгоритм для быстрого вычисления указанной аппроксимации какрезультата взвешенного суммирования множества изображений импульсного откликасистемы h.Предварительныевычислительныеэкспериментыпоказали,чтонепосредственное применение методов градиентной оптимизации для решенияоптимизационной задачи (4) является малоэффективным.

Вместо этого, следуетпровести декомпозицию задачи на два уровня, при этом оптимизацию по параметрамяркости следует выполнять на вложенном уровне, а по координатам точек границы – навнешнем уровне. Кроме того, установлено, что даже в отсутствии шума обратная задача(4) является математически некорректной. Для стабилизации решения воптимизируемый функционал предложено внести стабилизирующее слагаемое,основанное на гипотезе плавности оцениваемого контура:11 π − αi E =  I D [ x, y ]2 + λ  tan 2 (5),2 ( x .