Автореферат диссертации (Усовершенствование моделей и методов расчета турбулентных течений в недеформируемых границах), страница 3

Автором были получены зависимости,rучитывающие изменение локальных значений κ и С по поперечному сечениюпотока для гладких труб:1,15− 2,4228z λ0 , 25−κ = 0,9λ 1 + 1,2 − 0,4   ;C1 =(4)2λr z0,9λ0,.25 1 + 1,2 − 0,4  r и для шероховатых труб:1,15− 3,528z 0, 25λκ = 0,9λ 1 + 2,25 − 0,4   ; C2 =−(5)2rλz0,9λ0, 25 1 + 2,25 − 0,4  r Полученные зависимости качественно согласуются с ранее найденнымисредними по сечению значениями параметров κ и С, однако являются болееточными, поскольку учитывают не только влияние λ, но также зависимость отz.

В диссертации приведены материалы, подтверждающие полученные завиrсимости.До настоящего времени отсутствуют соотношения, описывающие распределение скоростей для любого режима гидравлического сопротивления, что10связано с отсутствием единого подхода к рассмотрению турбулентных теченийв трубах.В диссертации получен единый логарифмический профиль скорости длятечения в трубах с использованием логарифмических профилей для гладких (1)и шероховатых труб (2) и соответствующих закономерностей сопротивления ввиде:u 1 z 1,58= ln ++(6)u* κ r0 κλПроверка полученной зависимости опытными данными при различныхрежимах гидравлического сопротивления в трубах показала хорошую сходимость полученного профиля (6) с данными измерений (рисунок 1).-5zlnr-4,5-4-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,5010-1-2-3-4 u 1 .58 −−u * κ -5 λгладкие трубы экспериментгладкие трубы расчетквадратичная область экспериментпереходная область расчетгладкие трубы расчетквадратичная область экспериментквадратичная область расчетпереходная область экспериментгладкие трубы экспериментквадратичная область расчетпереходная область экспериментпереходная область расчетРисунок 1 – Сопоставление расчета по зависимости (6) с экспериментальными даннымиВо второй главе рассмотрены физические особенности течения в вязкомподслое в непосредственной близости от стенки (u* zν< 10 ÷ 15 ), поскольку эта об-ласть потока является зоной максимального трения и генерации турбулентности.

Многочисленными исследованиями установлено, что течение в этой области носит нестационарный перемежающийся характер, при котором вязкое ламинарное течение сменяется периодами турбулентного течения. Это течениеносит трехмерный характер и его аналитическое описание вызывает серьезныезатруднения. Динамическое уравнение Навье – Стокса в проекции на продольную ось х для вязкого плоского течения в поле силы тяжести записывается ввиде: ∂ 2u ∂ 2u ∂u x∂u∂u1 ∂p+ u x x + u z x = gi −+ ν  2x + 2x (7)∂t∂x∂zρ ∂x  ∂x∂z κ11Предполагая движение всего потока равномерным и нестационарным притечении со скоростью ux, изменяющейся во времени только вдоль вертикальнойкоординаты z, уравнение (7) упрощается к виду:∂u x∂ 2u x= gi + ν(8)∂t∂z 2Для течения над горизонтальным дном, уравнение (8) приобретает следующий вид:∂u x∂ 2u x=ν(9)∂t∂z 2Для решения уравнения (9) в квадратурах Г.

Эйнштейном и Ли были приняты следующие начальные и граничные условия:z >0u x = u0t = 0z =0ux = 0(10)t > 0t > 0z → ∞ u x = u0Принятая запись граничных условий предполагает постоянство скоростиu0 на границе вязкого подслоя во все моменты времени t>0 при росте толщиныподслоя δ, что отличается от реальной картины течения.Решение уравнения (9) при условиях (10) при ux=u имеет вид:2u H 2u = 0 ∫ e − h dh ,(11)πгдеH=0z; Н – мгновенное значение толщины подслоя; h – переменная2 νtинтегрирования.С использованием полученного распределения скоростей можно записатьследующее выражение для касательного напряженияz2−u∂uτ = µ = µ 0 e 4νt ,∂zπνt(12)При этом продолжительность нарастания вязкого подслоя Т определитсяследующим образом:4 u02νT=π u*4Приведенной расчетной схемой предполагается, что период турбулентноготечения, возникающего при разрушении вязкого подслоя, считается малым посравнению с периодом нарастания Т.Выполняя интегрирование по времени от 0 до Т и по переменной z от 0 доz, получим осредненное по времени значение скорости для точки z в пре2 νtделах вязкого подслояu2=u0π1z 2 νt∫∫t T =0 h =02te − h dh d  T (13)12Существенным недостатком расчетной модели течения в вязком подслое,предложенной Эйнштейном и Ли, является гипотеза о постоянстве скорости u0на внешней границе вязкого подслоя.

Для исключения этого недостатка и определения скорости на внешней границе подслоя использовался логарифмическийпрофиль скорости для течения на гладкой границе при κ=0,4, тогда скорость навнешней границе вязкого подслоя:u0u z= 5,75 lg * в + 4,9(14)u*νИз условия размерности следует, что толщина вязкого подслоя zв зависитот времени его нарастания tс и вязкости жидкости:z в = α νt c ,(15)где α – коэффициент пропорциональности; tc – время, отвечающее рассматриваемому состоянию вязкого подслоя в процессе его развития и определяемоекак часть периода развития подслоя.Подставляя (15) в (14), запишем:7αu* t cu0= 5,75 lg(16)u*νВ момент разрушения подслоя происходит выброс массы жидкости изпристенной зоны в толщу потока и замещение её массой из верхних слоёв,движущихся турбулентно.

Это позволяет считать, что логарифмическое распределение скоростей становится справедливым вплоть до твердой границы.При этом граничные и начальные условия для нестационарного течения в вязком подслое можно записать следующим образом:z>0u x = u0 ( z )t = 0(17)z=0ux = 0t0 ≥ t ≥ 0t > t > 0z = zвu x = u0 ( z )0где t0 – продолжительность периода нарастания вязкого подслоя.При этих граничных и начальных условиях решение уравнения (9), выполненное методом интегральных преобразований Лапласа, может быть представлено в виде ряда при ux=u:∞2nz в − z2(n − 1)z в + zu,(18)= 1 − ∑ erf− erfu02 νt2 νtn =12 x − n2где erf ( x ) =∫ e dn - интеграл вероятности (здесь х – аргумент функции); nπ0– переменная интегрирования.При n>1 члены ряда приближаются к единице и при разных знаках взаимно компенсируются, и выражение (18) упрощается к виду:2z − zuz= 1 − erf в+ erf(19)u02 νt2 νtПолученное решение позволяет определить мгновенное значение скоростив точке z вязкого подслоя в момент времени t для уточненных граничных усло-13вий.

Интегрирование уравнения (9) с учетом изменения скорости u0 по координате z затруднительно, поэтому процесс развития вязкого подслоя рассматривался как последовательная смена состояний с постоянными, но разными повеличине значениями скорости u0. Таким образом, для вычисления скорости u0на внешней границе подслоя по уравнению (16) необходимо определить двенеизвестные величины – коэффициент α и период t0.При подстановке уравнения (16) в (19) решение будет содержать также дванеизвестных. Эти неизвестные были найдены с использованием условия о гладкости профиля скорости на верхней границе вязкого подслоя и осредненногозначения касательных напряжений на твердой границе.

При этом коэффициентu tα и безразмерный параметр * 0 , характеризующий продолжительность пе-νриода нарастания вязкого подслоя, принимают значения:α=3,5u* t 0u*2 t 0=13,7или= 188νν(20)(21)Поскольку полученное значение периодичности вязкого течения в виде(21) близко к среднему измеренному значению, для дополнительной проверкииспользовалась зависимость К. Раоu*2 t 0= 0,65 Re*0,75 ,(22)где Re* =u* δ 2ννС учетом связи между толщиной потери импульса δ2 и толщиной пограничного слоя δ с использованием формулы А.Д.

Альтшуля для λ при гладкомрежиме сопротивления зависимость (22) может быть приведена к видуVt 0≈ 15 λ1 3(23)δРассчитывая по этой зависимости при средних значениях λ=0,03÷0,04, получаutем 0 ≈ 5 , что согласуется с данными измерений разных авторов (рисунок 2).δПолученное расчетное значение периода возмущений вязкого подслояудовлетворительно согласуется с экспериментальными данными. Подставляяполученные значения в (19), получим распределение скоростей в вязком подслое для каждого фиксированного момента времени tc:t u z t0u z t 0 u= 5,75 lg 335 c 1 + erf *− erf  3,5 − *(24)u*t 0 27,5ν t c27,5νtc Используя выражения (15), (21) и (24), получим предельную безразмернуютолщину вязкого подслоя:u* z в max= 48(25)ν14ut 0δu maxδ 2νРисунок 2 – Безразмерная периодичность течения в вязком подслое.Данные: 1 – К.

Рао; 2 – Г. Ким; 3 – Ф. Шрауб и С. Клайн; 4 – Ф. Рунштадлер и др.; 5 – Б. Тьюи В. Вилмарт; 6 – Дж. ЛауферС использованием полученных данных определим наибольшее значениескорости на внешней границе вязкого подслоя в момент его разрушения, т.е.uпри t=t0: 0 max ≈ 14,5 . Рассчитанные характеристики толщины вязкого подслояu*и наибольшей скорости на его внешней границе совпадают с общепринятымизначениями этих параметров, установленными экспериментально.Предложенная расчетная модель нестационарного течения в вязком подслое, учитывающая изменяющуюся скорость u0 на внешней границе подслоя,является более точной по сравнению с моделью Эйнштейна – Ли.

Поэтому экспериментальной проверке подвергались расчетные зависимости, полученные наоснове уточненной расчетной модели. Численное интегрирование расчетногопрофиля скорости (24) по переменной tc/t0 от 0 до 1 позволило получить осредненный профиль скорости в вязком подслое (рисунок 3), который сопоставляется с данными Д. Коулса и С.

Клайна.Рисунок 3 - 1 – расчет по (14); 2 – расчет по (24); 3 –u u* z=; 4 – данные Д. Коулса;νu*5 – данные С. Клайна15Таким образом, выполненное уточнение расчетной модели нестационарного вязкого подслоя подтверждается данными измерений распределения скоростей в пристенной зоне, а также результатами исследований турбулентности,которые обнаруживают присутствие длиннопериодических структур, периодичность прохождения которых согласуется с периодами разрушения вязкогоподслоя. Это указывает на важную генетическую связь между крупномасштабной турбулентностью в потоке и неустойчивостью вязкого подслоя.В третьей главе рассмотрены результаты расчетов турбулентных пульсаций скорости, вертикального переноса количества движения крупномасштабными турбулентными структурами с использованием различных расчетныхсхем.Используя диффузионную модель переноса субстанции F (в данном случае– вертикальной составляющей мгновенной скорости), ее изменение во временизапишем в виде:dF= −n( F − F ) ,(26)dtгде n — имеет размерность частоты; F - осредненное по времени значениепульсирующей величины F.Полученное соотношение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, решение которого имеет вид− nt  nFF (t ) = e(27) ∫ − nt dt + C  , eгде С — константа интегрирования.Введем вместо переменной t некоторую новую переменную (t -τ), где τ —промежуток времени между данным t и некоторым предыдущим моментом времени, при которой С обращается в 0.При фиксированном t и постоянном n выражение (27) приводится к виду:∞F (t ) = n ∫ F (t − τ) e− nτdτ .(28)0Рассматривая в качестве субстанции F вертикальную скорость uz и предполагая вертикальные перемещения частиц жидкости малыми, запишемt −τtu ′ (t − τ )∆z (t − τ ) = ∫ u ′z (τ ) dτ = − ∫ u ′z (τ ) dτ = − z(29)ntt −τПодставляя в (28) выражение (29), запишем∂F ∞F (t ) = F (t ) −u′z (t − τ )e − nτ dτ .(30)∫∂z 0Домножая (30) на величину u′z (t ) и осредняя при F (t )u′z (t ) = 0 , получимF (t ) u′z (t ) = −∂F ∞u′z (t ) u′z (t − τ ) e− nτ dτ .∫∂z 0(31)16Выражая левую часть равенства (31) с использованием закона Фурье – Фи∂Fка F (t )u ′z (t ) = εи подинтегральное выражение через коэффициент корреля∂zu′ (t ) u′z (t − τ )ции R(τ ) = z, находим коэффициент вертикального турбулентногоu′z2переноса∞ε = u ′z2 ∫ R(τ ) e − nτ dτ .(32)0Учитывая размерность величины ε, ее зависимость от пространственногомасштаба Лагранжа, можно записатьu ′2 ∞ϕL2n = z ∫ R (nτ ) e − nτ dτ .(33)n 0Откуда стандарт вертикальных пульсаций скоростиu ′z2 = ϕ 0 Ln = ϕ 0 u Tn ,(34)где ϕ0 — коэффициент, включающий ϕ и значение интеграла; L, T - соответственно пространственный и временной Лагранжев масштаб турбулентности.При расчетах изменение u принимаем по степенному профилю скоростиП z u = u max   , П = f (λ ) .H Для определения частоты n, входящей в (34), дифференцируем (26), используя условие z = 0, n = n0 и вводя глубину потока Н, получим:z n = n0 exp − k2  ,(35)HHгде k 2 = ; m – коэффициент пропорциональности с размерностью длины.mПодставляя полученные величины в (34), запишем:Пz  2z 2u ′z = ϕ 0Tn0 u max   exp − k 2  .(36)HH Вводя динамическую скорость в правую и левую часть равенства, получаем окончательно:Пu ′z2z  z  2= A  exp − k 2  ,u*HH (37)u max, безразмерная величина.u*Аналогично могут быть получены стандарты пульсаций в продольном ипоперечном направлении.