Резюме диссертации (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 5

Исследование нелинейных уравнений релятивистского движениячастиц под действием юкавского и кулоновского потенциалов3.1. Классические уравнения движения релятивистских частиц под действиемскалярного и векторного полейПусть релятивистская незаряженная частица с массой покоя m0 движется поддействием скалярного поля с потенциалом  . Будем ее рассматривать в классическом25приближении и для описания ее движения использовать принцип наименьшегодействия. С этой целью применим следующее выражение для действия S:t2S  m0 c  ( )ds, (0)  0 ,(160)t1где ds 2  dxn dx n , x 0  ct , x1 , x 2 , x 3 - пространственные координаты, t – время, c –скорость света, ( ) -некоторая функция потенциала  и t1 , t 2 - моменты времени,отвечающие фиксированным значениям координат частицы. Действие (160) являетсярелятивистски-инвариантным и при   0 совпадает с хорошо известнымклассическим выражением5.Варьируя (160) по траекториям x n (s) , из принципа наименьшего действия: S  0находим, что в инерциальной системе координат ( )xndx d  ( ) n   0 .ds ds (161)Эти уравнения могут быть представлены в рассматриваемой инерциальной системекак( )d 2 xnds 2 d dx n   ( )dsdsx n 0,(162)где d / ds   / x n dx n / ds .Рассмотрим нерелятивистский случай.

Тогда уравнения (162) даютd 2 xk  k , k  1, 2, 3,   c 2 ln ( ) ,2dtxdx k / dt  c .(163)С другой стороны, классические нерелятивистские уравнения для незаряженнойчастицы, движущейся под действием скалярного потенциала  , должны иметь видd 2 xk k .2dtx(164)Из (163) и (164) находим, что функция  должна быть отождествлена спотенциалом  :  c 2 ln ( )   .(165)Так как (0)  1 , как указано в (160), из (166) находим  exp( / c 2 ) .5Ландау Л.

Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – М.: Наука, 1967.(166)26сРассмотрим теперь движение частицы с зарядом q под действием скалярного поляпотенциалом  и векторного электромагнитного поля с потенциаламиAn , n  0, 1, 2, 3 . В этом случае вместо действия (160), будем иметь действие:t2tq 2S  m0 c  ( )ds   An dx n ,ctt1( )  exp( / c 2 ) .(167)1Варьируя теперь действие S по траекториямx n (s) и используя принципнаименьшего действия, приходим к следующим уравнениям в инерциальной системеотсчета: d 2 x n d dx n m0 exp( / c 2 ) c 2ds ds xnds 2dx m  qF nm 0,ds(168)где Fnm  Am / x n  An / x m - тензор напряженностей векторного поля.Умножим левую часть (168) на dx n / ds и просуммируем по n.

Тогда, как несложноубедиться, получаем тождественный нуль. Это означает, что первое уравнение (n=0) всистеме динамических уравнений (168) является следствием остальных трехуравнений (n=1,2,3).3.2. Движение релятивистской частицы в юкавском и кулоновском поляхОбратимся к движению релятивистской частицы с массой покоя m0 и зарядом qпод действием юкавского потенциала  и кулоновского потенциала A0 , создаваемыхпокоящимся сферическим источником с центром в начале пространственныхкоординат.Для данных потенциалов имеемfexp( r ),   0,rA0 h,rA1  A2  A3  0 ,.(169)Здесь f , h,   const и r - расстояние от начала пространственных координат.Пусть частица движется в плоскости x 3  0 .

Перейдем теперь к полярнымкоординатам: r и  :x1  r cos  , x 2  r sin  , x 3  0.(170)Тогда левая часть последнего уравнения в (168) (n=3) тождественно равна нулю, как иего правая часть, а при n=1,2 уравнения (168) с учетом (169), приобретают, какпоказывают вычисления, следующий вид:f exp( r ) hqm0 exp( / c 2 ) r  r 2  2(1  r )(r 2  c 2 )  2 1  (r 2  r 2 2 ) / c 2 , (171)2cr r27f exp(  r )r 2r  r  2 (1  r )  0 ,rc(172)где r  dr / d ,   d / d и  - собственное время для движущейся частицы:d  ds / c .Как было сказано выше, первое уравнение в (168) (n=0) является следствиемостальных трех уравнений (n=1,2,3), то есть уравнений (171) и (172).Из уравнения (172) находим первый интеграл f  (1  r )D  2 exp  2 exp(r)dr,2r c r rD  const .Как показывают вычисления, эту формулу можно представить в видеDf  2 exp   (r ) / c 2 ,  (r )   exp( r ) .rrПерейдем теперь к функции r  r ( ) и положим 1.r(173)(174)(175)Тогда получим после ряда вычислений, используя первый интеграл (174), что уравнение (171)приобретает форму    f(1   /  ) exp(   /   2 / c 2 ) 2Dhq 2exp( / c 2 ) 1  ( D 2 / c 2 ) exp( 2 / c 2 )(  2   2 )  0,D mp(176)где    ( ),    d / d ,    d 2 / d 2 и    f exp( /  ) .Перейдем к безразмерной форме данного уравнения, полагаяUfhqf, a, b, g 2.22Dm0 Dc(177)Тогда из уравнения (176) получаем следующее уравнение относительно функцииU  U ( ) :U   U  b exp(  gU exp( 1 / U ))  1  ( g / a)(U  2  U 2 ) exp( 2 gU exp( 1 / U )) (178) a(1  1 / U ) exp( 1 / U  2 gU exp( 1 / U )),3.3.

Численное исследование периодических орбит релятивистских частиц вюкавском и кулоновском полях28Для уравнения (178) проводилась серия численных расчетов методом Рунге-Куттачетвертого порядка. Они осуществлялись при различных значениях параметров a, b, gи U 0  U (0) . При этом полагалось U (0)  0 .

Тогда угол   0 соответствует точкеэкстремума функции r ( ) . Эти расчеты показали, что при определенных значенияхпараметров становится возможным движение релятивистских частиц в поле юкавскихи кулоновских сил по замкнутым орбитам.Ниже приведены некоторые из полученных численных результатов.На рис.

1-3 изображены графики, показывающие зависимость безразмерногорадиуса орбиты частицы r  1 / U от полярного угла  в следующих трех случаях:1) U 0  0.1 , a  0.015 , b  0.1 и g  0.9 .2)U 0  0.2 , a  0.05 , b  0.15 и g  0.1 .3)U 0  0.3 , a  0.015 , b  0.1 и g  0.9 .Рис. 1. Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла в случае 129Рис. 2.

Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла в случае 2Рис. 3. Зависимость радиальной координаты частицы от полярного угла в случае 330ВЫВОДЫ1.2.3.4.5.6.Найдены новые классы осесимметричных решений уравнений НавьеСтокса, представимых в виде степенных рядов по радиальной координате ипроведено их исследование.НайденоосесимметричноерешениеуравненийНавье-Стокса,экспоненциально затухающее при больших значениях радиальной координаты.Проведено его исследование при больших значениях числа Рейнольдса, когдастановится возможным возникновение турбулентного течения вязкойжидкости.Найдено осесимметричное решение уравнений Навье-Стокса, описывающееслучай возникновения кавитации в вязкой жидкости.Рассмотрены нелинейные дифференциальные уравнения классическойтеории Янга-Миллса.

В случае SU(2) симметрии для них найдены новые типыстационарных и нестационарных сферически-симметричных решений.Найдены новые классы волновых решений уравнений Янга-Миллса. Онивключают некоторые типы осесимметричных неабелевых решений инеабелевых решений в виде расходящихся волн.Проведено исследование динамических уравнений релятивистских частиц,движущихся в юкавском и кулоновском полях.

Данная задача приведена к двумнелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям 2-го и 1-гопорядков. Проведено численное исследование этих уравнений при различныхпараметрах. Продемонстрирована возможность существования замкнутыхорбит для движущихся в рассматриваемых полях релятивистских частиц.СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИСтатьи в рецензируемых журналах, индексируемых в базах данных Web ofScience и Scopus1. Rabinowitch A. S. On a particular solution to the 3D Navier-Stokes equations forliquids with cavitation // Journal of Mathematical Physics, 2016, Vol.

57, No. 8, p.083103-1 – 083103-6.2. Rabinowitch A.S. On a particular analytical solution to the 3D Navier-Stokesequations for high Reynolds numbers // Journal of Mathematical Physics, 2015, Vol.56, No. 9, p. 093101-1 – 093101-8.3.Rabinowitch A.S. On some classes of nonstationary axially symmetric solutions tothe Navier-Stokes equations // Journal of Mathematical Physics, 2014, Vol.

55, No. 9,p. 093102-1 – 093102-11.314. Rabinowitch A.S. On a generalization of the Dirac equation for a description of thequark structure of nucleons // Russian Physics Journal, 2008, Vol. 51, No. 8 . p. 822830.5. Rabinowitch A.S. On a new class of non-Abelian expanding waves // Physics LettersB, 2008, Vol. 664, No. 5, p. 295–300.6. Rabinowitch A.S.