Резюме диссертации (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью), страница 4

Это приводит кследующим уравнениям:(1 / c)j 0 / t  rj / r  3 j  0,j 0  0  r 2 j  0, j 0 0  r 2 j  0.(117)Рассматриваемые источники поля инвариантны относительно их калибровочноговращения относительно первой оси. Поэтому выбором калибровки можно обеспечитьтакже выполнение условияj 0 0  r 2 j  0 .(118)Умножим уравнения в (115) на j и сложим с соответствующими уравнениями из(116), умноженными на j 0 . Тогда применяя соотношения (117) и (118) дляпотенциалов, придем к следующим уравнениям:(1 / c) j 0 u / t  j (ru / r  3u )  0,(1 / c) j 0 v / t  j (rv / r  3v)  0,(119)(1 / c) j w / t  j (rw / r  3w)  0.0Умножая три уравнения в (115) соответственно на u, v, w и затем складывая их,найдемu(ru / r  3u)  v(rv / r  3v)  w(rw / r  3w)   j 0 u .(120)20Применение уравнений (107)-(108) дает соотношение(ru / r  3u ) 2  (rv / r  3v) 2  (rw / r  3w) 2 (121) (r / c) 2 [(u / t ) 2  (v / t ) 2  (w / t ) 2 ]  ( j 0 ) 2  r 2 j 2 .Анализ уравнений (119) показывает, что они имеют точное решение видаru  P(q) / r 3 , v  Q(q) / r 3 , w  S (q) / r 3 , q   r 2 j 0 (t , r )dr ,(122)0где P, Q, S - дифференцируемые функции аргумента q , представляющего собой зарядсферической области радиуса r в момент t .Подстановка (122) в уравнения (120) и (121) даетPdP / dq  QdQ / dq  SdS / dq  P .(123)(dP / dq) 2  (dQ / dq) 2  (dS / dq) 2  1 .(124)Для уравнений (123) и (124) находим следующее решение, учитывающееравноправие второй и третьей оси в калибровочном пространстве:P(q)  K sin(q / K ), Q(q)  S (q)  2 1/ 2 K[1  cos(q / K )] ,(125)где K - константа, введенная в предыдущем разделе.Полученные формулы позволяют обобщить найденное выше стационарноерешение со сферической симметрией на нестационарный сферически-симметричныйслучай.2.3.

Осесимметричные волновые решения уравнений Янга–МиллсаОбратимся к осесимметричным волновым решениям уравнений Янга–Миллса(96)-(97) вне источников поля, где J k ,  0 . Они ищутся в видеA k ,0   k ,0 ,A k ,1  ( k ,1 x   k , 2 y ) /  ,A k , 2  ( k ,1 y   k , 2 x) /  , A k ,3   k ,3 ,(126) k ,   k , ( ,  , z),   x 0 ,   ( x 2  y 2 )1/2 ,x  x1 , y  x 2 , z  x 3 .Тогда для напряженностей поля находимF k ,01  ( fF k ,12  fk ,1k ,4x fk ,2y ) /  , F k ,02  ( f, F k ,13  ( ffk ,qk ,5 fx fk ,qk ,6k ,1y fk ,2x) /  , F k ,03  fy ) /  , F k , 23  ( fk ,5y fk ,6k ,3,x) /  ,(127)( ,  , z ), q  1, 2, ..., 6,гдеfk ,1  k ,1   k ,0  g klm l ,0 m,1 , ffk ,3  k ,3   zk ,0  g klm l ,0 m,3 , ffk ,5  zk ,1   k ,3  g klm l ,1 m,3 , fk ,2k ,4k ,6  k , 2  g klm l .0 m, 2 ,  k , 2   k , 2 /   g klm l ,1 m, 2 ,  zk , 2  g klm l , 2 m,3 ,k ,   k , /  ,  k ,   k , /  ,  zk ,   k , / z.(128)21В рассматриваемом случае J k ,  0 уравнение (96) Янга–Миллса даетf k ,1  fk ,1/   f zk ,3  g klm ( f l ,1 m,1  f l , 2 m, 2  f l ,3 m,3 )  0,fk ,1  f zk ,5  g klm ( f l ,1 m,0  f l , 4 m, 2  f l ,5 m,3 )  0,fk , 2  f k , 4  f zk ,6  g klm ( f l , 2 m,0  f l , 4 m,1  f l ,6 m,3 )  0,fk ,3  f k ,5  fk ,5(129)/   g klm ( f l ,5 m,1  f l ,6 m, 2  f l ,3 m,0 ).Компоненты потенциалов  k , , удовлетворяющие системе уравнений (129),ищутся в виде 1,0  0,  2,0  P( ,  ),  3,0  Q( ,  ),     z, 1, 2   (  ) / g ,  2,2   3,2  0,  k ,1  0,  k ,3   k ,0 ,(130)где P( ,  ), Q( ,  ) и  (  ) - некоторые дифференцируемые функции.Тогда из (128) находимf 1,1  0,f 2,1  P ,f 3,1  Q ,f 1, 2  0,f 2, 2  Q,f k ,3  0, f 1, 4  (    /  ) / g , f 2, 4  f 3, 4  0, f k ,5   ff 3, 2  P,k ,1, f k ,6   f k , 2 .(131)Подставляя (130) и (131) в уравнения (129), находимP  P /    2 P  0, Q  Q /    2 Q  0, (    /  )  0.(132)Уравнения (132) имеют следующие решения, стремящиеся к нулю при    :  b /  , P  G(  z ) /  b , Q  H (  z) /  b ,   x 0 ,(133)где G и H - произвольные дифференцируемые функции и b - произвольная ненулеваяконстанта.В результате получаем класс осесимметричных волновых решений уравненийЯнга-Миллса, описываемый формулами (130), (131) и (133).2.4.

Неабелевые расходящиеся волныВ диссертации исследуются неабелевые расходящиеся волны, излучаемыекосмическими источниками полей Янга-Миллса в случае N-параметрическойкалибровочной группы. Вне своих источников поля Янга-Миллса описываютсяуравнениями4где  F a,  f abc Ab F c,  0 ,(134)F a,    Aa,   Aa,  f abc Ab, Ac, ,(135) ,  0,1,2,3, a, b, c  1,2,..., N , Aa, и F a, -соответственнопотенциалыинапряженности поля Янга-Миллса, f abc - структурные константы N-параметрической4Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. – М.: Наука, 1988.22калибровочной группы и     / x  , где x  - прямоугольные пространственновременные координаты геометрии Минковского.Волновые решения уравнений (134)-(135) ищутся в видеA a ,0  u a ( y 0 , y1 , y 2 , y3 ),A a ,l  ( x l / r ) A a , 0 ,y 0  x 0  r , yl  x l ,l  1, 2, 3, a  1,2,..., N , r  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2 ,(136)где u a - некоторые функции волновой фазы y0  x 0  r и пространственныхкоординат yl  x l .В дальнейшем изучается наиболее интересный с точки зрения физическихприложений случай калибровочных групп с компактной полупростой алгеброй Ли,которому соответствуют полностью антисимметричные структурные константы f abc .Тогда после подстановки выражений (136) в формулу (135) для напряженностей поляЯнга-Миллса находимF a,0n  u a / yn , F a,in  (1 / r )( yi u a / yn  y n u a / yi ), i, n  1,2,3.

(137)Подставим формулы (136) и (137) в уравнение (134) и введем обозначения3p a   yii 13u a 2u a, qa  .2yii 1 y i(138)Тогда в результате вычислений придем к следующим уравнениям:1  p aq a   f abc u b p c , r r  y 0yny12  y 22  y32 ,(139)p a p a 0, n  1,2,3.r 2 y n(140)p a  s a ( y0 ) / r ,(141)Уравнения (140) имеют решениягде s a - произвольные дифференцируемые функции аргумента y 0 .Из (138), (139) и (141) приходим к следующим уравнениям:u a s a ( y 0 ) yi y  r ,ii 1(142)(143)3 2u a1 ads ab cas(y)fus(y),s(y). y 2 r 20abc00dy 0i 1i3Уравнение (142), как нетрудно проверить, имеет решениеu a  s a ( y0 ) / r  g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 ),  i  yi / r,где g a - произвольные дифференцируемые функции.Используя (144), уравнения (143) могут быть представлены в виде(144)232 ag a  32g a2  g12 s a ( y 0 )  f abc g b s c ( y 0 ), (145)  i  2ii ki iki 1 i i 13ikгде  i  yi / r удовлетворяют соотношению12   22   32  1.(146)Учитывая это соотношение, аргументы  i функций g a можно выразить через дванезависимых аргумента.

В качестве них удобно выбрать следующие величины  и  :g a ( y0 , 1 ,  2 ,  3 )  h a ( y 0 , ,  ),   1  1  1 ,   arctg 2 . (147)ln 2  1  1  3 Тогда уравнения (145), как показывают вычисления, приобретают вид 2ha  2ha 1  th 2 s a ( y0 )  f abc h b s c ( y0 ) .22(148)h a  v a ( y0 , ,  )   ( y0 )s a ( y0 ) ln(ch )  d a ( y0 )(149)Положими выберем (N+1) функцию  ( y0 ) и d a ( y0 ) так, чтобы выполнялись N равенствs a ( y0 )   ( y0 )s a ( y0 )  f abc d b ( y0 )s c ( y0 )  0 .(150)Умножая равенства (150) на s a и суммируя по индексу a , имеемN  s / s, s 2   ( s a ) 2 , s  ds / dy 0 .(151)a 1Из уравнений (148)-(150) получим 2v a  2v a 1  th 2 f abc v b ( y0 ) s c ( y0 ), v a  v a ( y0 , ,  ).(152)22Рассмотрим эти уравнения.

Их решения будем искать в виде действительной частиследующей суммы:Mv a ( y 0 , ,  )  ReVna ( y 0 , ) exp  n(  i )  ,(153)n 0где Vna ( y0 , ) - некоторые комплексные функции и n, M - неотрицательные целыечисла. Тогда подставляя (153) в уравнения (152), придем к уравнениям 2VnaVna 2n 1  th 2 f abcVnb s c ( y 0 ) . 2Решение уравнений (154) представим в видеVna  Vna ( y0 , ),   12 (1  th ) .(154)(155)Тогда из (154) получим (  1) 2Vna 2 (n  1  2 )Vna f abcVnb s c ( y 0 )  0 .(156)24Решение уравнений (156) будем искать в виде следующего ряда по степеням  :Vna   aj ,n ( y 0 ) j ,(157)j 0где aj ,n ( y 0 ) - некоторые комплексные функции.Тогда находим, что функции aj,n ( y 0 ) удовлетворяют рекуррентным соотношениямaj 1,n j ( j  1)aj ,n  f abcbj ,n s c( j  1)( j  1  n),j  0, 1, 2,...

,(158)где комплексные функции a0,n  a0,n ( y0 ) могут быть выбраны произвольно.Нетрудноубедиться,последовательностьисходяaj ,n ( y 0 )изрекуррентногосоотношения(158),чтоявляется ограниченной для любых y 0 . Отсюдавытекает абсолютная сходимость ряда (157) при   1 (  ) .В результате применения формул (153), (155), (157) и (158) находим функцииv a ( y0 , ,  ) , которые позволяют определить и функции u a ( y0 , y1 , y 2 , y3 ), гдеy0  x 0  r , yl  x l , l  1, 2, 3 .

После этого формулы (136) и (137) дают искомыевыражения для потенциалов и напряженностей неабелевых волновых решений. Ониопределяются N произвольными комплексными функциями a0,n ( y 0 ) .Приs a ( y0 )  0эти неабелевые волновые решения содержат продольныекомпоненты. Данное обстоятельство может быть использовано для поискакосмических источников полей Янга-Миллса.Подставим теперь ряд (157) в формулу (153) и учтем выражения (147) и (155) для ,  и  . Тогда приходим к формуле(r  x1 ) j ( x 2  ix 3 ) nv  Re   ( x  r ),( 2r ) j ( r  x 1 ) nm 0 j 0Maaj ,n0(159)где aj.n удовлетворяют рекуррентному соотношению (158).3.