Резюме диссертации (Исследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильной нелинейностью)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МИРЭА – РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»На правах рукописиРабинович Александр СоломоновичИсследование некоторых типов дифференциальных уравнений с сильнойнелинейностьюРЕЗЮМЕ ДИССЕРТАЦИИна соискание ученой степени доктора наукпо прикладной математике НИУ ВШЭМосква – 20182ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы связана с той большой ролью, которую играет разработкановых математических подходов для исследования недостаточно изученных задачмеханики и физики, описываемых нелинейными системами дифференциальныхуравнений.Хотя существует значительное число математических методов в теориидифференциальных уравнений, все же в этой области остается немало проблем,требующих для своего решения привлечения ряда новых методов.

В первую очередьэто касается задач механики и физики, сводящихся к анализу системдифференциальных уравнений с сильной нелинейностью. Исследованию ряда такихпроблем и посвящена диссертация. В ней изучаются следующие вопросы:1) Исследование нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса,описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости.Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениями гидродинамики и импосвящено большое число работ. Однако ввиду их существенной нелинейности в ихизучении превалируют численные подходы, а число полученных аналитическихрешений весьма мало. По этой причине в диссертационной работе большое вниманиеуделяется поиску частных аналитических решений, которые могли бы датькачественное представление об особенностях течения вязкой несжимаемой жидкости.При этом особый интерес может представить случай больших чисел Рейнольдса, прикоторых течение жидкости может стать турбулентным, а также случаи проявления вней явления кавитации.В диссертации исследуются следующие классы решений уравнений Навье-Стокса,имеющих осевую симметрию:a) Исследование классов решений уравнений Навье-Стокса, представимых в видестепенных рядов по радиальной координате с коэффициентами, зависящими отвремени и осевой координаты.

Изучение случаев, при которых может быть определенявный вид этих коэффициентов и найдены условия сходимости данных рядов, а такжеслучаев, при которых они приводят к решениям в замкнутой форме.б) Исследование специальных форм для скоростей и давления в вязкойнесжимаемой жидкости и приводящих к частным аналитическим решениямтрехмерных уравнений Навье-Стокса.

Изучение особенностей этих решений прибольших числах Рейнольдса, когда становится возможным турбулентное течениевязкой жидкости. Изучение случаев течения жидкости при возникновениикавитационных явлений.2) Исследование нелинейных уравнений Янга-Миллса для описания интенсивныхнеабелевых полей3Как известно, уравнения Янга-Миллса занимают центральное место при описанииэлектрослабых и сильных взаимодействий и им посвящено большое число работ.Важную роль в их изучении сыграли неабелевые сферически-симметричные решенияТ.

Ву и Ч. Янга, Г. „т Хоофта и А. Полякова, решение в виде неабелевых плоских волнС. Коулмена, оказавшее влияние на последующие работы в этой области и, в томчисле, на данную диссертацию, нестационарные неабелевые решения С. Матиняна и Г.Саввиди, исследования Р. Гласси и В. Штрауса задачи Коши для уравнений ЯнгаМиллса и целый ряд других работ.В диссертационной работе ищутся новые классы решений уравнений Янга–Миллса.

В ней получены следующие типы решений:а) Стационарные и нестационарные сферически-симметричные решения уравненийЯнга–Миллса для классических источников поля, представляющие собой нелинейныеобобщения классических максвелловских решений.б) Осесимметричные решения уравнений Янга-Миллса в виде неабелевых волн,распространяющихся со скоростью света вдоль некоторого направления.в) Решения уравнений Янга-Миллса в виде неабелевых расходящихся волн,распространяющихся со скоростью света.Данные решения могут быть важны в изучении нелинейных процессов,происходящих в космических источниках полей Янга-Миллса.3) Исследование нелинейных динамических уравнений для релятивистскихчастиц, движущихся под действием юкавского и кулоновского потенциаловРассматривается движение релятивистской частицы в классическом приближении,находящейся под действием двух центральных сил юкавского и кулоновского типов.Для его описания используется классический лагранжиан для частицы, находящейся вэлектрическом поле, в который вводится также потенциал Юкавы.Данный лагранжиан приводит к системе нелинейных динамических уравненийвторого порядка.

Эта система уравнений применяется к релятивистской частице,движущейся в некоторой плоскости под действием центральных сил. Проводитсяисследование рассматриваемых уравнений в полярных координатах и определяется ихпервый интеграл. Показывается, что при определенных условиях возможно движениечастиц по замкнутым орбитам.Цель работы состояла в изучении нелинейных дифференциальных уравнений,возникающих в ряде физических задач.Для этого в работе было- проведено исследование осесимметричных решений уравнений Навье-Стокса длявязкой несжимаемой жидкости, представимых в виде степенных рядов по радиальнойкоординате с коэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты;4- найдено частное решение трехмерных уравнений Навье-Стокса специальноговида и рассмотрены его особенности при больших числах Рейнольдса, когдастановится возможным турбулентное течение вязкой жидкости;- найдено частное решение трехмерных уравнений Навье-Стокса, описывающееслучай течения жидкости при появлении кавитации.- получены и исследованы стационарные и нестационарные сферическисимметричные решения уравнений Янга–Миллса с SU(2) симметрией дляклассических источников специального типа;- найдены неабелевые волновые решения для описания излучений космическихисточников полей Янга-Миллса;- получена и исследована нелинейная система дифференциальных уравнений,описывающая движение релятивистской частицы в центральном поле юкавского икулоновского потенциалов.Научная новизна состоит в математическом анализе нелинейныхдифференциальных уравнений, возникающих в ряде физических проблем.Найдены некоторые осесимметричные решения уравнений Навье-Стокса длявязкой несжимаемой жидкости в виде степенных рядов по радиальной координате скоэффициентами, зависящими от времени и осевой координаты.Найдены частные решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, позволяющееисследовать некоторые особенности течения вязкой жидкости при больших числахРейнольдса, когда может появляться турбулентность, а также при возникновениикавитации.Получены некоторые новые типы стационарных и нестационарных сферическисимметричных решений уравнений Янга-Миллса.Найдены некоторые осесимметричные неабелевые волновые решения уравненийЯнга-Миллса и их решения в виде неабелевых расходящихся волн.Рассмотрена и исследована система нелинейных дифференциальных уравнений,описывающая движение релятивистской частицы под действием центральных полейюкавского и кулоновского типов.Теоретическая и практическая значимость работы:Полученные в диссертационной работе некоторые новые решения уравненийНавье-Стокса могут быть применены для анализа течений вязкой несжимаемойжидкости при больших числах Рейнольдса, когда становится возможным появлениетурбулентности, а также при возникновении кавитации.Найденные в работе новые решения уравнений Янга–Миллса для сферическисимметричных источников специального типа и для распространяющихся неабелевыхволн могут быть применены для изучения нелинейных физических процессов,происходящих в звездах.5Проведенное в ней исследование системы нелинейных дифференциальныхуравнений для релятивистских частиц, движущихся под действием центральных полейюкавского и кулоновского типа, важно для изучения динамики нуклонов иантинуклонов в полях атомных ядер.Научные положения, выносимые на защиту:1) Новые классы осесимметричных решений уравнений Навье-Стокса в видестепенных рядов по радиальной координате с коэффициентами, зависящими отвремени и осевой координаты.2) Новые частные решения специального вида для трехмерных уравнений НавьеСтокса и их особенности при больших числах Рейнольдса, когда становитсявозможным турбулентное течение вязкой жидкости, а также при возникновениикавитационных явлений.3) Новые классы стационарных и нестационарных сферически-симметричныхрешений уравнений Янга–Миллса.4) Новые типы осесимметричных неабелевых волновых решений уравнений ЯнгаМиллса и их решений в виде неабелевых расходящихся волн.5) Исследование системы нелинейных дифференциальных уравнений для описаниядвижения релятивистской частицы под действием центральных сил юкавского икулоновского типов.Достоверность полученных результатов.

Проведенные в диссертационнойработе исследования опираются на строгий математический анализ изучаемыхнелинейных дифференциальных уравнений и найденных для них решений.Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах в МГУим. М.В. Ломоносова (2000, 2009, 2012, 2017), в РУДН (1998, 2003, 2005, 2012, 2017), вИнституте ядерных исследований РАН (2004), в Математическом институте им.

В.А.Стеклова РАН (2009, 2010), в Институте общей физики им. А.М. Прохорова РАН(2009), в Институте космических исследований РАН (2009), в Институте прикладнойматематики им. М.В. Келдыша РАН (2010, 2012), на 10-ой, 11-ой, 12-ой, 16-ой и 17-ойМеждународных школах – семинарах по теоретической и математической физике(Казань, 1998, 1999, 2000, 2004, 2005), на 11-ой Международной конференцииевропейского физического общества (Лондон, 1999), на 13-ой Ломоносовскойконференции по физике элементарных частиц (Москва, 2007), на 1-ой Международнойконференции по теоретической физике в МГОУ (Москва, 2011), на 48-ой, 49-ой, 50-ой,51-ой и 52-ой Всероссийских конференциях по проблемам физики частиц, физикиплазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники в Российском университетедружбы народов (Москва, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016) и на семинаре Я.

Г. Синая вИнституте проблем передачи информации РАН им. А. А. Харкевича (2016).Личный вклад автора. Результаты теоретических исследований, включенные вдиссертационную работу, полностью выполнены лично автором.6Публикации. По теме диссертации опубликованы 35 основных работ, в том числе14 статей в рецензируемых журналах, индексируемых в базах данных Web of Science иScopus, 8 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВысшейАттестационной Комиссией Министерства образования и науки РФ, и 2 монографии.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ1.

Некоторые новые типы осесимметричных решений уравнений НавьеСтокса1.1. Исследование осесимметричных течений однородной несжимаемой вязкойжидкостиРассмотрим уравнения Навье-Стокса, описывающие однородную несжимаемуювязкую жидкость. Они имеют вид1vvvv1(1) v1 v2 v3  grad p  f  v ,txyzdiv v  0,  const,   const ,(2)где v=v(t,x,y,z) - вектор скорости, p=p(t,x,y,z) - давление, v1, v2 , v3 - проекции вектораскорости на ортогональные оси x, y, z, t -время, f=f(t,x,y,z) - сила, действующая наединицу массы рассматриваемой жидкости,  - ее плотность и  - ее кинематическаявязкость.Уравнения Навье-Стокса являются основными уравнениями механики жидкости игаза и им посвящено большое число аналитических и численных исследований.Однако ввиду существенной нелинейности данных уравнений, было найдено лишьнебольшое число классов их точных решений.