Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова)

Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образованияНациональный исследовательский университет “Высшая школа экономики”Факультет математикиНа правах рукописиКириченко Валентина АлексеевнаГеометрия сферических многообразий имногогранники Ньютона–Окунькова–РЕЗЮМЕ ДИССЕРТАЦИИна соискание ученой степени доктора математических наук НИУ ВШЭМосква – 20182ВведениеТорическая геометрия и теория многогранников Ньютона–Окунькова вы­явили плодотворную связь между алгебраической геометрией и выпуклой гео­метрией.

После доказательства теорем Кушниренко и Бернштейна–Хованскогов 1970-х (см. напоминание в разделе 1), Аскольд Георгиевич Хованский поста­вил вопрос, как перенести эти результаты на случай, когда вместо комплексноготора рассматривается произвольная связная редуктивная группа. В частности,он привлёк внимание к задаче поиска правильных аналогов многогранниковНьютона для сферических многообразий. Последние являются естественнымиобобщениями торических многообразий и включают такие классические приме­ры, как грассманианы, многообразия флагов и полные коники (см.

напоминаниев разделе 2). Понятие многогранника Ньютона было перенесено на сферическиемногообразия Андреем Окуньковым в 1990-х [O97, O98]. Позднее его конструк­ция была систематически развита в работах [KaKh, LM], и полученная теориявыпуклых тел Ньютона–Окунькова сейчас является активной областью алгеб­раической геометрии.Хотя выпуклые тела Ньютона–Окунькова можно определить для линей­ных расслоений на произвольных многообразиях (без действия группы), с ни­ми проще работать в случае сферических многообразий благодаря связям стеорией представлений. Например, многогранники Гельфанда–Цетлина (ГЦ) имногогранники Винберга–Литтельманна–Фейгина–Фурье (ВЛФФ) возникаютестественным образом как многогранники Ньютона–Окунькова многообразийфлагов. Мои исследования посвящены явному описанию геометрических и то­пологических инвариантов сферических многообразий через геометрические икомбинаторные инварианты их многогранников Ньютона-Окунькова.

Цель —перенести торическую картину на более общий класс многообразий с действиемредуктивной группы. Раздел 3 — обзор моих результатов в этом направлении.Раздел 4 содержит точные формулировки основных результатов.31. Выпуклые тела Ньютона–ОкуньковаВ этом разделе мы напомним конструкцию выпуклых тел Ньютона–Окунь­кова для широкой математической аудитории. Начнём с определения много­гранника Ньютона.Определение 1.1.

Пусть =∑︀∈Z — многочлен Лорана от переменных(здесь мультииндексное обозначение для = (1 , . . . , ) и = (1 , . . . , ) ∈Z следует понимать как 1 1 · · · ). Многогранник Ньютона ∆ ⊂ R — этовыпуклая оболочка всех таких ∈ Z , что ̸= 0.По определению многогранник Ньютона — это целочисленный многогран­ник, то есть его вершины лежат в Z .Пример 1.2.

Для = 2 и = 1 + 21 + 2 + 31 2 многогранник Ньютона ∆ —это квадрат с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1) и (1, 1).Заметим, что значения многочленов Лорана с комплексными коэффици­ентами определены во всех таких точках (1 , . . . , ) ∈ C , что 1 , . . . , ̸= 0.Тем самым многочлены Лорана — регулярные функции на комплексном торе(C* ) := C ∖⋃︀=1 {= 0}.Теорема 1.3.

[Kou] Для данного целочисленного многогранника ∆ ⊂ R рас­смотрим общий набор многочленов Лорана 1 (1 , . . . , ),. . . , (1 , . . . , ) смногогранником Ньютона ∆. Тогда система 1 = . . . = = 0 имеет !Volume(∆)решений в комплексном торе.Теорему Кушниренко можно воспринимать как обобщение классическойтеоремы Безу. Многогранники Ньютона служат уточнением понятия степенимногочлена. Это позволяет применять теорему Кушниренко к наборам много­членов, которые не являются общими среди всех многочленов данной степени, атолько среди всех многочленов с данным многогранником Ньютона. Например,теорема Кушниренко, применённая к паре общих многочленов с многогранни­ком Ньютона из примера 1.2 даст правильный ответ 2, тогда как теорема Безу4даст неправильный ответ 4 (из-за двух лишних решений на бесконечности).Более геометрическая точка зрения на теорему Безу и её обобщения проис­текает из исчислительной геометрии и будет обсуждаться в следующем раз­деле.

Теорему Кушниренко обобщили на системы многочленов Лорана с раз­личными многогранниками Ньютона Давид Бернштейн и Хованский, исполь­зуя смешанные объёмы многогранников [B75]. Дальнейшие обобщения включа­ют явные формулы для рода и эйлеровой характеристики полных пересечений{1 = 0} ∩ . .

. ∩ { = 0} в (C* ) для < [Kh78].Мы теперь рассмотрим немного более общую ситуацию. Зафиксируем ко­нечномерное векторное пространство ⊂ C(1 , . . . , ) рациональных функ­ций на C . Пусть 1 ,. . . , — общий набор функций из , а 0 ⊂ C — откры­тое всюду плотное подмножество, полученное как дополнение к полюсам этихфункций. Сколько решений система 1 = . . . = = 0 имеет в 0 ? Например,если совпадает с пространством, порождённым всеми многочленами Лоранас данным многогранником Ньютона, а 0 = (C* ) , то ответ даётся теоремойКушниренко. Ниже простой неторический пример из теории представлений.Пример 1.4. Пусть = 3. Рассмотрим присоединённое представление группы3 (C) на пространстве End(C3 ) всех линейных операторов на C3 .

То есть ∈ 3 (C) действует на операторе ∈ End(C3 ) таким образом:Ad() : ↦→ −1 .Пусть − ⊂ 3 (C) — подгруппа нижнетреугольных унипотентных матриц:⎧⎛⎫⎞⎪⎪⎪⎪1 0 0⎪⎪⎨⎜⎟⎬⎜⎟−3 = ⎜1 1 0 ⎟ | (1 , 2 , 3 ) ∈ C .⎪⎪⎝⎠⎪⎪⎪⎪⎩ 2 3 1⎭Чтобы определить подпространство ⊂ C(1 , 2 , 3 ), мы ограничим функциииз двойственного пространства End* (C3 ) на − -орбиту Ad( − )13 оператора13 := 1 ⊗ *3 ∈ End(C3 ) (здесь 1 , 2 , 3 стандартный базис в C3 ). Более точно,5линейная функция ∈ End* (C3 ) даёт многочлен ˆ(1 , 2 , 3 ) таким образом:⎞−1 ⎞⎜⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎟⎟ˆ(1 , 2 , 3 ) := ⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎝1 1 0 ⎠ ⎝0 0 0 ⎠ ⎝1 1 0 ⎟⎠ ⎟⎠⎝2 3 10 0 02 3 1⎛⎛⎞⎛⎞⎛Легко проверить, что пространство порождено 8-ю многочленами: 1, 1 , 2 ,3 , 1 2 − 21 3 , 1 3 , 2 3 , 22 − 1 2 3 .

Из следующего раздела будет видно, чтотеорема Кушниренко неприменима к пространству , то есть нормализованныйобъём многогранника Ньютона общего многочлена из больше, чем числорешений общей системы 1 = 2 = 3 = 0 с ∈ .Чтобы связать с выпуклое тело Ньютона–Окунькова, нам понадобит­ся дополнительный ингредиент. Выберем инвариантный относительно сдвиговполный порядок на решётке Z (например, можно взять лексикографическийпорядок).

Рассмотрим отображение : C(1 , . . . , ) ∖ {0} → Z ,которое ведёт себя как взятие монома минимальной степени у многочлена, аименно: ( + ) ≥ min{( ), ()} и ( ) = ( ) + () для всех ненулевых, . Напомним, что отображения с такими свойствами называются нормирова­ниями. Простая конструкция нормирования приводится в примере 1.7 ниже.Определение 1.5. Выпуклое тело Ньютона–Окунькова ∆ ( ) — это замыканиевыпуклой оболочки множества∞ {︂⋃︁( )=1| ∈}︂⊂ R .Через мы обозначаем подпространство, порождённое -тыми степенями функ­ций из .Разные нормирования дают разные выпуклые тела Ньютона–Окунькова.Важное приложение тел Ньютона–Окунькова — это аналог теоремы Кушнирен­6Рис. 1ко.

Напомним, что через 0 ⊂ C мы обозначили открытое плотное подмноже­ство, на котором все функции из регулярны (то есть не имеют полюсов).Теорема 1.6. [KaKh, LM] Если достаточно большое, то общая система1 = . . . = = 0 с ∈ имеет !Volume(∆ ( )) решений в 0 .В частности, все тела Ньютона–Окунькова для имеют один и тот же объ­ём. Подробности (в частности, точный смысл понятия “достаточно большое”)можно найти в [KaKh, Theorem 4.9].Пример 1.7. Пусть — пространство из примера 1.4. Определим нормирова­ние , сопоставив каждому многочлену ∈ C[1 , 2 , 3 ] его моном наименьшейстепени относительно лексикографического порядка на мономах.

Более точно,мы скажем, что 11 22 33 ≻ 11 22 33 тогда и только тогда, когда существуеттакое ≤ 3, что = при < , и > . Легко проверить, что ( ) состоитиз 8-ми целых точек (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),(0, 2, 0). Их выпуклая оболочка изображена на рисунке 1. Это ВЛФФ много­гранник (1, 1) для присоединённого представления группы 3 (в этомслучае, он оказывается унимодулярно эквивалентным многограннику ГЦ).

Вчастности, (1, 1) ⊂ ∆ ( ).72. Сферические многообразияВ этом разделе содержится краткое введение в геометрию сферическихмногообразий для широкой математической аудитории. Сферические многооб­разия естественным образом возникают в исчислительной геометрии. Напом­ним две классические задачи исчислительной геометрии в XIX веке.Задача 2.1 (Шуберт). Сколько прямых в трёхмерном пространстве пересекаютчетыре данные прямые в общем положении?Можно отождествить прямые в CP3 с векторными плоскостями в C4 , тоесть прямую можно рассматривать как точку на грассманиане (2, 4). Усло­вие, что прямая ∈ (2, 4) пересекает фиксированную прямую 1 определяетгиперповерхность 1 ⊂ (2, 4).

Следовательно, задача сводится к вычислениючисла точек пересечения четырёх гиперповерхностей в (2, 4). Несложно про­верить, что гиперповерхность 1 совпадает с гиперплоским сечением грассма­ниана при вложении Плюккера (2, 4) ˓→ P(Λ2 C4 ) ≃ CP5 . Образ грассманианабудет квадрикой в CP5 . Число точек пересечения квадрики в CP5 с четырьмягиперплоскостями в общем положении равно 2 по теореме Безу. Следовательно,ответ в задаче Шуберта 2.Задача 2.2 (Штейнер). Сколько гладких коник касается пяти данных коник?По аналогии с задачей Шуберта мы можем отождествить коники с точкамив CP5 , а именно: коника, заданная уравнением 2 ++ 2 +++ 2 = 0соответствует точке ( : : : : : ) ∈ CP5 .