Автореферат (Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры), страница 3

Согласно предыдущей главе требу­ется вычислить tr( )Ω+0 , где Ω+0 — подпространство gl -инвариантов в .()()4.1. Определим оператор «сдвига» следующим образом: ( ) = −при ≤ 0, а на остальных и * действует тождественно. Положим Ω′ =′(Ω+0 ). Доказывается, что Ω инвариантно относительно , причём⃒⃒tr( )⃒Ω+0⃒⃒= tr()⃒ ′ .Ω()()4.2. Рассмотрим алгебру Θ с образующими , * , = 0 .

. . − 1, =1 . . . и соотношениями()()()()()()[ , ] = [* , * ] = 0, [ , * ] = −−, , .(16)Построим представление этой алгебры. Выберем порождающий вектор и по­()ложим * = 0 при всех , , а остальные элементы действуют свободно сучётом соотношений алгебры. Обозначим = Θ, ⊂ — подпростран­()ство, порождённое из действием множителей . Очевидно имеет месторазложение=⨁︁ ,(17)≥0На представлении формулируется двойственность Хау для пары (gl , gl ):=⨁︁1 ,..., ,0,...,0 ⊗ 1 ,..., .(18)k∈Z+↓При этом градуировка (17) согласована с разложением (18): =⨁︁1 ,..., ,0,...,0 ⊗ 1 ,..., .(19)k∈Z+↓1 +···+ =Далее рассматривается тензорное произведение Φ ⊗ Θ и его представление ⊗ .

Действие алгебры Ли gl и оператора (определённых на пространстве ∼ ⊗ 0 ) определяется на всём ⊗ , причём так, что каждое ⊗ инвариантно относительно обоих операторов.124.3. Обозначим () – подпространство gl -инвариантов в ⊗ . Опре­−1∑︀ ∑︀ *делим оператор d =− . В диссертации доказываются следующие=0 =1утверждения:∙ d(()) ⊂ ( − 1),∙ последовательность отображенийdddd0 ←− (0) ←− (1) ←− (2) ←− .

. .образует комплекс k′ ,∙ гомологии этого комплекса (k′ ) = 0 при > 0, и 0 (k′ ) = Ω′ .Отсюда следует⃒⃒tr()⃒Ω′=∑︁⃒⃒(−1) tr()⃒≥0(20)()4.4. Для нахождения () мы используем следующее утверждение:Теорема 3. Пусть 1 и 2 - представления gl(), каждое из которых рас­кладывается в прямую сумму неприводимых. Тогда подпространство инвари­антов gl() в тензорном произведении 1 ⊗ 2 изоморфно прямой сумме ∼=⨁︁Hom(, 1 ) ⊗ Hom(* , 2 ),(21)где сумма берётся по всем конечномерным неприводимым представлениям алгебры gl(), * - представление, двойственное к . Hom(, ) - простран­ство гомоморфизмов из в .Из этого утверждения и из разложений (15), (19) следует явный вид (),после чего получаем окончательный результат.В главе 5 получена формула (6).5.1.

В этом параграфе мы формулируем и доказываем вспомогательнуютеорему, выражающую размерность подпространства старших векторов веса kв конечномерном представлении алгебры gl .13Пусть – конечномерное представление алгебры Ли gl , раскладывающе­еся в прямую сумму неприводимых:=⨁︁k ⊗ k .k∈Z↓Здесь k можно рассматривать как множество старших векторов веса k в (являющееся подпространством в ). Пусть ∀ ∈ Z : - размерность весовогопространства веса в представлении .

Иначе говоря, — коэффициентыхарактера представления :⃒∑︁⃒ , = tr()⃒ ==∈Z∏︁ , ==1∏︁ .(22)=1Теорема 4. Размерность dim k выражается как сумма по группе Вейля коэффициентов :dim k =∑︁(−1)() ^(k) .(23)∈Здесь ˆ – оператор симметрии относительно точки −, т.е. ˆ(k) = (k +) − , где – полусумма положительных корней.5.2. Согласно теореме 2, пространство Ω+k есть пространство старших век­торов gl с весом k, следовательно можно для нахождения характера tr( )Ω+применить теорему 4 (где вместо размерности ищется -размерность). Для это­го запишем характер∑︁tr( )| = () ,(24)∈Zгде оператор определён по формуле (22), а оператор — по формуле (11).Согласно формуле (23)⃒⃒tr( )⃒Ω+k=∑︁sgn()^(k) ().(25)∈SДалее мы вычисляем . Вначале мы доказываем, что при = 0 и = 1:tr(0 )| =∏︁∏︁(1 + ) (1 + −1 ) =≥0>01 ∑︁ 1 ( 2 −) 2 .(∞ )∈Z14Формула для произвольного получается путём умножения этого выра­жения на1−1∏︀(1 + )=∑︁(−1)≥0[︂+−1]︂ ,=0после чего ответ для произвольного получается путём перемножения полу­чившихся выражений, в которых вместо стоят 1 , 2 , ..., .()В главе 6 получена формула (5).

При = функция kможет бытьсразу (без комбинаторных преобразований) выражена как характер некоторогопредставления gl∞ , после чего рассуждения аналогичны главе 5.В Заключении подводятся итоги и обсуждаются возможные направлениядальнейших исследований.Для удобства читателя в диссертации приводится список сокращенийи условных обозначений.Приложение А содержит подробные примеры применения алгоритмаRSK и является дополнением к главе 2.Приложение Б содержит комбинаторное доказательств формулы (4) (неиспользующее теорию представлений) в частном случае = 1. Как сказано вы­ше, такое доказательство в общем виде позволило бы лучше понять структурупредставления. Случай = 1 даёт надежду, что такое доказательство можетбыть найдено.БлагодарностиАвтор выражает благодарность научному руководителю Борису Львови­чу Фейгину за неоценимую поддержку и помощь в выполнении работы, а также факультету математики НИУ ВШЭ за поддержку и создание творческойатмосферы, способствовавшей научной работе.Работа была выполнена при поддержке Лаборатории алгебраической гео­метрии НИУ-ВШЭ, грант правительства РФ дог.

11.G34.31.0023.15Список литературы1. Замолодчиков А. Б. Бесконечные дополнительные симметрии в двумернойконформной квантовой теории поля // ТМФ 1985. Т. 65(3). С. 347-359.2. Fateev V. A., Lukyanov S. L. The models of two-dimensional conformal quantumfield theory with symmetry // Int. J. Mod. Phys. A. 1988. Vol. 3. P. 507–520.3. Feigin B. L., Frenkel E. Quantum W-algebras and elliptic algebras // Comm.Math. Phys. 1996. Vol. 178. P.

653–678.4. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa T., Mukhin E. Quantum toroidal gl1 algebra:plane partitions // Kyoto Journal of Mathematics. 2012. Vol. 52. P. 621–659.5. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa T., Mukhin E. Representations of quantumtoroidal gl // J. Algebra. 2013. Vol. 380. P. 78–108.6. Schiffmann O., Vasserot E. The elliptic Hall algebra and the K-theory of theHilbert scheme of A2 // Duke Mathematical Journal. 2013. Vol. 162.

P. 279–366.7. Schiffmann O., Vasserot E. Cherednik algebras and the equivariant cohomologyof the moduli space of instantons on A2 // arXiv:1202.2756v2.8. Negut A. An isomorphism between the quantum toroidal and shuffle algebras,and a conjecture of Kuznetsov // arXiv:1302.6202.9. Nakajima H. Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody alge­bras // Duke Math. J. 1994.

Vol. 76. P. 365–416.10. Nakajima H. Quiver varieties and Kac-Moody algebras // Duke Math. J. 1998.Vol. 91. P. 515–560.11. Feigin B. L., Tsymbaliuk A. Equivariant K-theory of hilbert schemes via shufflealgebra // Kyoto J. Math. 2011. Vol. 51. P. 831–854.1612. Carlsson E., Nekrasov N., Okounkov A. Five dimensional gauge theories andVertex operators // arXiv:1308.2465.13. Nekrasov N., Okounkov A. Seiberg-Witten Theory and Random Partitions //arxiv.org/abs/hep-th/0306238.14. Nekrasov N., Shatashvili S.

Quantization of Integrable Systems and Four Di­mensional Gauge Theories // arXiv: 0908.4052.̂︁̂︁1 :15. Мутафян Г. С., Фейгин Б. Л. Квантовая тороидальная алгебра glвычисление характеров некоторых представлений как производящихфункций плоских разбиений // Функц. анализ и его прил. 2013. Т. 47:1.С. 62–76.16. Мутафян Г. С., Фейгин Б. Л. Характеры представлений квантовой торои­̂︁̂︁1 : плоские разбиения с трибуной // Функц. анализ и егодальной алгебры glприл.

2014. Т. 48:1. С. 46–60.17. Стэнли Р. Перечислительная комбинаторика, том 2. М.: Мир, 2005.18. Kac V., Radul A. Representation theory of the vertex algebra 1+∞ // Transf.Groups. 1996. Vol. 1. P. 41–70.17.