Автореферат (Усиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросы)

На правах рукописиРуденко Даниил ГлебовичУсиленный закон взаимности Суслина и смежные вопросыСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАвтореферат диссертации на соискание учёной степени кандидатафизико-математических наукМосква— 2016Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательского университета «Высшая Школа Экономики».Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор факультета математикиНационального исследовательскогоуниверситета «Высшая Школа Экономики»Сергей Константинович Ландо.Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,член-корреспондент РАН,главный научный сотрудник ПОМИ РАНПанин Иван Александрович;кандидат физико-математическихнаук, старший научный сотрудникМатематического институтаим.

В.А. Стеклова РАНГорчинский Сергей Олегович.Ведущая организация:Санкт-Петербургскийгосударственный университет.Защита состоится 13 сентября 2016 г. в 15:00на заседании диссертационного совета Д 002.077.03на базе ФГБУН ИППИ им. А.А. Харкевича РАН по адресу:Москва, Большой Каретный пер., д. 19, стр. 1.С диссертацией можно ознакомитьсяв библиотеке ИППИ РАН им.

А. А. Харкевича.Автореферат разослан «» июня 2016 г.Учёный секретарьдиссертационного советадоктор физико-математических наукА. Н. Соболевский1Общая характеристика работыАктуальность и степень разработанности темы. Диссертацияпосвящена изучению двух открытых вопросов, поставленных А. Б.Гончаровым1 и Ш. Штайном2 .Первый вопрос связан с теорией смешанных мотивов Тейта и гипотезами Гончарова. В работах А. Гротендика, П. Делиня, Ю. И.Манина, А. А. Бейлинсона и многих других ведущих математиковсовременности разработана гипотетическая теория смешанных мотивов алгебраических многообразий. В соответствии с этой теорией,каждому многообразию должен соответствовать комплекс объектовнекоторой (пока не построенной) абелевой категории смешанных мотивов.

При этом, такие инварианты многообразий, как числа Бетти игруппы этальных когомологий, должны вычисляться по одним лишьмотивным данным.В гипотетической категории смешанных мотивов над некоторым полем F можно выделить ее самую простую часть: подкатегорию смешанных мотивов Тейта, порожденную мотивом проективной прямой.А.

А. Бейлинсоном и П. Делинем3 был предложен способ построения обрамленных смешанных мотивов Тейта, связанных с классической полилогарифмической функцией Lin (z), для которых должныбыть справедливы функциональные уравнения, которым удовлетворяет полилогарифмическая функция. Позднее Гончаров сформулировал набор гипотез, дающих внутреннее описание смешанных мотивов Тейта, получающихся с помощью конструкции Делиня и Бейлинсона. Это дало возможность явно определить комплексы абелевых групп, когомологии которых должны совпадать с мотивнымиp,qкогомологиями поля с рациональными коэффициентами HM(F, Q).Такие комплексы называют полилогарифмическими из-за их связис классическими полилогарифмами, особенно явной для случая чис1A.

B. Goncharov, Polylogarithms, Regulators, and Arakelov Motivic Complexes, Journal of theAmerican Mathematical Society 18:1 (2005), 1–60. .2S. Stein, A generalized conjecture about cutting a polygon into triangles of equal areas, DiscreteComput. Geom. 24 (2000), 141–145.3A. A. Beilinson, P. Deligne, Interpretation motivique de la conjecture de Zagier, Symp. in PureMath. 55:2 (1994), 97–121.2лового поля.Гипотезы о том, что когомологии полилогарифмических комплексов совпадают с мотивными когомологиями, представляются оченьсложными.

В частности, из этих гипотез можно вывести гипотезы Д. Загье о специальных значениях дзета-функций числовых полей. Другим их следствием являлось бы явное описание высшейK−теории поля с точностью до кручения, обобщающее символьноеопределение K−теории Милнора.Одной из главных трудностей теории полилогарифмических комплексов является отсутствие естественного отображения нормы, связанного с расширением полей конечной степени4 . Это отображениеопределено для мотивных когомологий, следовательно, должно бытьопределено и для полилогарифмических комплексов, по крайней мере, на уровне производной категории. Старшие когомологии полилогарифмических комплексов совпадают с K−теорией Милнора.

Ужев этом случае построение отображения нормы — непростая задача,элегантно решенная, в частности, А. А. Суслиным5 .В настоящей работе это построение продолжено на вторые с концагруппы когомологий полилогарифмических комплексов. Из этого результата выводится усиление закона взаимности Суслина, сформулированного как гипотеза А. Б. Гончаровым, а также некоторые теоремы о равносоставленности гиперболических многогранников. Заметим, что полученные результаты служат косвенным подтверждениемсправедливости общих гипотез Гончарова, Бейлинсона и Делиня.Второй вопрос, изучаемый в диссертации, связан с разрезаниямимногоугольников на треугольники равной площади.

Под разрезанием мы понимаем представление многоугольника в виде объединенияконечного числа треугольников, непересекающихся по внутреннимточкам. П. Монски6 было доказано, что квадрат нельзя разрезатьна нечетное число треугольников равной площади.

Доказательство4A.B. Goncharov, Polylogarithms and motivic Galois groups, Symposium in pure mathematics55:2 (1994), 43–96.5А. А. Суслин, Законы взаимности и стабильный ранг колец многочленов, Изв. АН СССР.Сер. матем., 43:6 (1979), 1394–1429.6P. Monsky, On dividing a square into triangles, Amer. Math. Monthly 77(1970) 161–164.3представляет из себя комбинацию двух идей: раскраски плоскости втри цвета, построение которой использует дискретное 2−адическоенормирование, и леммы Шпернера.Известно несколько различных обобщений теоремы Монски. В 1990году П. Монски доказал предположение, высказанное ранее Ш. Штайном, утверждающее, что центрально-симметричный многоугольникне может быть разрезан на нечетное число треугольников равнойплощади7 .

Далее, будем называть полимино фигуру, являющуюсяобъединением конечного числа клеток прямоугольной целочисленной решётки. В 1999 году Ш. Штайн доказал, что полимино нечетнойплощади нельзя разрезать на нечетное число треугольников равнойплощади8 . Позже И. Пратон доказал то же самое утверждение дляполимино произвольной площади9 .

В 2000 году Ш. Штайн сформулировал гипотезу, обобщающую все вышеперечисленные результаты.Пусть B — многоугольник на плоскости, про который мы не предполагаем ни выпуклости, ни связности границы. Мы будем называть Bсбалансированным, если его рёбра можно разбить на пары равныхпо длине и параллельных между собой.

Гипотеза Штайна утверждает, что сбалансированный многоугольник не может быть разрезан нанечетное число треугольников равной площади.В диссертации разрабатывается новый подход к задачам о разрезании на треугольники равной площади, и доказывается гипотезаШтайна при некоторых дополнительных предположениях целочисленности. Случай многоугольника нечетной площади опубликован,а общий случай готовится к публикации.Цель работы. У этой работы было три основных цели. Первая цель— доказать теорему гомотопической инвариантности для некоторыхкогомологий полилогарифмических комплексов.

Вторая — использовать эти результаты для построения интересных классов равносо7P. Monsky, A conjecture of Stein on plane dissections, Math. Z. 205, (1990) 583–592.S. Stein, Cutting a polyomino into triangles of equal areas, Amer. Math. Monthly 106 (1999),255–257.9I. Praton, Cutting Polyominos into Equal-Area Triangles, Amer. Math. Monthly 109 (2002),818–826.84ставленности гиперболических многогранников по данным алгебраической геометрии. Наконец, третьей целью было разработать новыеметоды доказательства невозможности разрезания многоугольниковна треугольники равной площади.Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми.Основные результаты диссертации заключаются в следующем.• Доказана теорема гомотопической инвариантности для предпоследних групп когомологий полилогарифмических комплексов.• В качестве следствия этой теоремы получено доказательствогипотезы А.

Б. Гончарова об усиленном законе взаимности Суслина.• Придумана конструкция классов равносоставленности гиперболических многогранников по тройкам мероморфных функций на гладких проективных кривых. Вычислены объемы иинварианты Дена этих многогранников.• Определены сбалансированные графы и доказана теорема о минимальном индексе вершин у таких графов.• В качестве следствия этой теоремы получено доказательствогипотезы Ш. Штайна о сбалансированных многоугольниках врациональном случае.Теоретическая и практическая значимость работы. Работаносит теоретический характер.

Результаты и методы работы могутбыть использованы для дальнейшего развития теории когомологийполилогарифмических комплексов. Новые методы вычислений в группах Блоха могут найти независимые применения. Кроме этого, автор5надеется, что комбинаторные и теоретико-числовые свойства сбалансированных графов могут быть использованы в задачах, смежных стеорией разрезаний.Методология и методы исследования. В диссертации используются различные комбинаторные, алгебраические и теоретико-числовыеметоды. Кроме этого, используются некоторые стандартные методыгомологической алгебры.Положения, выносимые на защиту. В диссертации доказаны, вчастности, следующие теоремы.• Для произвольного поля F следующая последовательность группкогомологий полилогарифмических комплексов точна:M n−2,n−1⊕∂P0 −→ HGn−1,n (F )Q −→ HGn−1,n (F (t))Q −→HG(FP )Q −→ 0.P 6=∞• Для гладкой проективной кривой X над C отображение полного вычетаRes : HGn−1,n (C(X ))Q −→ HGn−2,n−1 (C)Q ,определяемое как сумма отображений вычета ∂P по всем точкам кривой X , тождественно равно нулю.• Целочисленный сбалансированный многоугольник нечетной площади нельзя разрезать на нечетное число треугольников равной площади так, чтобы координаты всех вершин триангуляции были целыми числами.Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались наследующих научных семинарах и конференциях:6• На семинаре ”Geometric Langlands ” , The University of Chicago,01/2016;• На семинаре ”Topology ”, Northwestern University, 03/2016;• На конференции фонда ”Династия”, НМУ, Москва, 06/2015;• На конференции по алгебраическим структурам в выпуклойгеометрии, ВШЭ, Москва, 02/2015;• На семинаре лаборатории алгебраической геометрии, ВШЭ,Москва, 12/2014, 12/2013;• На семинаре ”Комбинаторика характеристических классов”, ВШЭ,Москва, 11/2014.Основное содержание работыДиссертация состоит из вводной главы, двух глав, содержащих изложение основных результатов исследования, и списка литературы.Содержание главы 1 (введения). Во введении описана актуальность темы исследования и степень её разработанности, перечислены цели и задачи исследования, описана научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, методы исследования,апробация результатов исследования.Содержание главы 2.