резюме (Разработка численно-аналитического метода и алгоритма решения задачи оптимального управления (на примере трехсекторной инвестиционной экономической модели))

Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования"Национальный исследовательский университет"Высшая школа экономики"Засыпко Вероника ВладимировнаРазработка численно-аналитического метода и алгоритма решениязадачи оптимального управления (на примере трехсекторнойинвестиционной экономической модели)РЕЗЮМЕ ДИССЕРТАЦИИна соискание ученой степени кандидата наукпо прикладной математике НИУ ВШЭНаучный руководитель:кандидат физико-математическихнаук, доцентШнурков Петр ВикторовичМосква - 2018Постановка проблемыБудем рассматривать так называемую классическую задачу оптимальногоуправления, в которой интервал времени является фиксированным, а граничныеусловия имеют характер закрепленного левого и свободного правого конца.

Такаяпостановка задачи включает в себя многие конкретные задачи управления в экономических и технических системах.Постановка классической задачи оптимального управления имеет видZt1f (t, x(t), u(t))dt + l(x(t1 )) → min;B(x(·), u(·)) =t0ẋ − ϕ(t, x(t), u(t)) = 0u(t) ∈ U ∀t ∈ [t0 , t1 ],∀t ∈ T,(1)x(t0 ) = x0 ,где функция состояния x(·) ∈ P C 1 ([t0 , t1 ], Rn ) - множество кусочно- непрерывно дифференцируемых вектор-функций, заданных на [t0 , t1 ] и принимающих значения в Rn ; управление u(·) ∈ P C([t0 , t1 ], Rr ) - множество кусочно-непрерывныхвектор-функций, заданных на [t0 , t1 ] и принимающих значения в заданном подмножестве U ⊂ Rr (множество допустимых управлений), T ⊂ [t0 , t1 ] множество точекнепрерывности управления u(·).Приведем формулировку основного утверждения о необходимых условияхэкстремума в поставленной задаче оптимального управления.

Данное утверждениеназывается принципом максимума Понтрягина.Введем вспомогательную функцию, называемую функцией ПонтрягинаH(t, x, u, p, λ0 ) = (p, ϕ(t, x, u)) − λ0 f (t, x, u).Теорема. Пусть (x∗ (·), u∗ (·)) - оптимальный управляемый процесс в задачеоптимального управления (1) ((x∗ , u∗ ) ∈ strlocminP ), функции f , ϕ непрерывны внекоторой окрестности множества Γx∗ = {(t, x∗ (t))|t ∈ [t0 , t1 ]}, декартово умноженноена U , частные производные (по Фреше) fx , ϕx определены на этом множестве инепрерывны в точках множества Γx∗ ,u∗ = {(t, x∗ (t), u∗ (t))|t ∈ [t0 , t1 ]}, а функция lдифференцируема (по Фреше) в точке x∗ (t1 ), (l ∈ D(x∗ (t1 ))).Тогда выполняются следующие условияmax H(t, x∗ (t), u, p(t), λ0 ) = H(t, x∗ (t), u∗ (t), p(t), λ0 ), t ∈ Tu∈U1(2)или в другой форме(p(t), ϕ(t, x∗ (t), u∗ (t))−f (t, x∗ (t), u∗ (t)) ≥ (p(t), ϕ(t, x∗ (t), u)−f (t, x∗ (t), u),t ∈ T, ∀u ∈ U(3)причем множитель Лагранжа λ0 можно принять равным 1.

Функция p(t), котораяназывается сопряженной переменной, является единственным решением задачи Коши, состоящей из дифференциального уравненияṗ(t) = −ϕ∗x (t, x∗ (t), u∗ (t))p + fx (t, x∗ (t), u∗ (t))(4)и граничного условияp(t1 ) = −l0 (x∗ (t1 )).(5)Замечания к теореме.Условие оптимальности, принимающее формы (2) или (3), называется условием максимума, от него и происходит название данного фундаментального утверждения о необходимых условиях экстремума.

Соотношение (4), которое аналитически представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно векторфункции p(t), называется сопряженным уравнением. Граничные условия к этомууравнению называются условием трансверсальности. В данной задаче условие трансверсальности является содержательным только в точке t = t1 , соответствующее условие в точке t = t0 не информативно и не включается в систему необходимых условийэкстремума.Условие максимума функции Понтрягина (2) имеет ключевую роль в системенеобходимых условий экстремума. При решении задачи оно дает возможность определить общую структуру оптимального управления.

В наиболее распространенном,стандартном варианте функция Понтрягина линейно зависит от управления u ∈ U .Обозначим через Q(t) коэффициент при u ∈ U в формуле для функции Понтрягина. При этом функция Q(t) явно зависит от сопряженной переменной p(t). Еслипредположить, что множество допустимых управлений представляет собой интервалU = [u0 , u1 ] ⊂ R, то из условия максимума следует, что оптимальное управление u∗ (t)имеет следующую структуруu1 ,если Q(t) > 0,u∗ (t) = u(0) (t), если Q(t) = 0,u ,если Q(t) < 0.02(6)Функция u(0) (t), фигурирующая в соотношении (6), называется особым управлением.Это управление возникает, когда функция Q(t) принимает нулевое значение; в этомслучае функция Понтрягина явно не зависит от управления u ∈ U .

Особое управление не определяется из условий максимума, и для его нахождения используютсяспециальные методы.В дальнейшем будем называть функцию Q(t) функцией, определяющей управление. Из соотношения (6) следует, что поведение этой функции в основном определяет вид оптимального управления.Основная проблема использования необходимых условий экстремума в формепринципа максимума заключается в том, что необходимо исследовать сложную систему соотношений, состоящую из нескольких систем дифференциальных уравненийи граничных условий, которые связаны между собой. В частности, сопряженная система дифференциальных уравнений может зависеть от управлений u(t) и состоянийx(t), а дифференциальная связь, определяющая изменение состояний x(t), зависит отуправлений u(t).

Аналитически решить такую систему можно только в специальныхслучаях. Таким образом, возникает необходимость разработки методов численногоисследования системы, состоящей из необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи. В настоящей работе предлагается один из таких методов.Степень разработанностиВ пятидесятых годах потребности прикладных дисциплин (техники, экономики и др.) стимулировали постановку и рассмотрение нового класса задач, получивших название задач оптимального управления. Необходимое условие экстремума длязадач этого класса -"Принцип максимума - сформулированное Л.С. Понтрягиным в1956 г, было доказано и развито впоследствии им, его учениками и сотрудниками.Со времени создания метода решения задач оптимального управления, основанного на принципе максимума, были известны аналитические трудности, связанные с его применением.

В связи с этим были выполнены многие научные исследования, целью которых являлось численное решение различных задач оптимальногоуправления. Большинство из таких исследований использовали численные методырешения систем дифференциальных уравнений, входящих в необходимые условияи ограничения исходной задачи. В настоящем исследовании задача оптимальногоуправления анализируется в целом, с учетом структуры возможных управлений.Цели и задачи исследованияЦель исследования.3Разработка численно-аналитического метода и алгоритма исследования системы необходимых условий в классической задаче оптимального управления на основе принципа максимума.Задачи исследования:1. Проведение анализа проблемы оптимального управления инвестициямив динамической модели трехсекторной экономики на основе принципа максимума,определение общей структуры функций, задающих оптимальное управление.2.

Получение аналитических представлений для функций, описывающих состояние рассматриваемой системы, а также для сопряженных переменных при оптимальном управлении.3. Построение алгоритма и создание программы, позволяющей провести численный анализ системы соотношений, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи и получить численное решение этой системы, то есть найтидопустимые экстремали.Актуальность диссертацииНаиболее известным результатом математической теории оптимального управления, на котором основываются такие исследования, является принцип максимумаПонтрягина. Метод, основанный на данном теоретическом утверждении, использовался в классических работах математической экономики, а так же в ряде современных исследований.К сожалению, метод, основанный на использовании принципа максимума,крайне редко позволяет получить аналитические решения задач оптимального управления. Непосредственное применение этого метода связано с необходимостью решения нескольких взаимосвязанных систем соотношений (необходимых условий экстремума и ограничений исходной задачи).

Получить аналитические решения этойсистемы чаще всего невозможно. В связи с этим особое значение приобретает проблем разработки новых численно-аналитических и численных методов, позволяющиханализировать упомянутые системы соотношений, находить допустимые экстремалии оптимальные управляемые процессы. Данное диссертационное исследование посвящено именно этой проблеме.Личный вклад автора в разработку проблемыСоискатель Засыпко В.В. принимала личное участие в получении всех основных результатов диссертации, а также подготовке всех публикаций по теме диссертации.4Результаты работы были представлены Засыпко В.В. в форме докладов наследующих научных конференциях, симпозиумах и семинарах:1.