rezume (Isomonodromic deformations and quantum field theory)

Íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò¾Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè¿Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêèÃàâðèëåíêî Ïàâåë Ãåîðãèåâè÷Èçîìîíîäðîìíûå äåôîðìàöèè è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿÐåçþìå äèññåðòàöèèÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëüÌàðøàêîâ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîðÌîñêâà 2018Âåäåíèå ýòîé äèññåðòàöèè ÿ ðàññìàòðèâàþ ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè è êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ ñ W-ñèììåòðèåé.

Ïåðâûé ïðèìåð òàêîãî ñîîòâåòñòâèÿ áûë íàéäåí Ãàìàþíîì, Èîðãîâûì è Ëèñîâûì â 2012 ãîäó: îíè îáíàðóæèëè,÷òî îáùàÿ òàó-ôóíêöèÿ óðàâíåíèÿ Ïåíëåâå VI ìîæåò áûòü äàíà â âèäå ðàçëîæåíèÿâ ðÿä ïî 4-òî÷å÷íûì êîíôîðìíûì áëîêàì â c = 1 òåîðèè. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ïî ïàðå äèàãðàìì Þíãà è ïî îäíîìó öåëîìó÷èñëó, ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå äàíû ÿâíûìè ôàêòîðèçîâàííûìè âûðàæåíèÿìè(ïðèõîäÿùèìè èç ÀÃÒøíîé ôîðìóëû äëÿ êîíôîðìíîãî áëîêà).

Îáîáùåíèå ýòîãîñîîòâåòñòâèÿ íà ìíîãîòî÷å÷íûå êîíôîðìíûå áëîêè è ñèñòåìû Ãàðíüå ñ áîëåå ÷åì 4òî÷êàìè, êîòîðûå îáîáùàþò óðàâíåíèå Ïåíëåâå VI, íàøëè ïîçæå.Ñëó÷àè, èçâåñòíûå ðàíåå, áûëè ñâÿçàíû ñ èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè ëèíåéíîé 2 × 2 ôóêñîâîé ñèñòåìû âèäàndΦ(z) X Ai=Φ(z)dzz − zii=1Òàêèå äåôîðìàöèè ýòî îäíîâðåìåííûå èçìåíåíèÿ Ai è zi , êîòîðûå ñîõðàíÿþò ìîíîäðîìèè ðåøåíèé âîêðóã îñîáûõ òî÷åê. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ ñèñòåìåíåëèíåéíûõ óðàâíåíèé Øëåçèíãåðà:∂Ai[Ai , Aj ]=,∂zjzj − zjX [Ai , Aj ]∂Ai=−∂zizi − zji6=jÒàó-ôóíêöèÿ ýòîé ñèñòåìû, â êàêîì-òî ñìûñëå, ñàìûé ïðîñòîé îáúåêò. Îíà êîððåêòíî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè:X tr Ai Aj∂log τ =∂zizi − zjj6=iÈìååòñÿ åñòåñòâåííûé âîïðîñ îá îáîáùåíèè ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó CFT è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè íà ðàíã N , áîëüøèé ÷åì 2. Ýòà äèññåðòàöèÿ èìååò äåëîèìåííî ñ òàêèì îáîáùåíèåì: ÿ ïîêàçûâàþ, ÷òî òàó-ôóíêöèè îáùèõ N × N èçîìîíîäðîìíûõ ñèñòåì ñâÿçàíû ñ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ïðèìàðíûõ ïîëåé WNàëãåáð.

Íåêîòîðûå ÷àñòè äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíû èñêëþ÷èòåëüíî èçîìîíîäðîìíûìäåôîðìàöèÿì äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü èññëåäîâàíèå áîëåå ñòðîãèì è ñàìîäîñòàòî÷íûì. Íåêîòîðûå ÷àñòè ïîñâÿùåíû òîëüêî èçó÷åíèþ W-àëãåáð, íî ìîòèâèðîâàíû èõñâÿçüþ ñ èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè: à èìåííî, ÿ ïðåäñòàâëÿþ êîíñòðóêöèþïðèìàðíûõ ïîëåé W-àëãåáðû, êîòîðûå îáîáùàþò Çàìîëîä÷èêîâñêîå ïîëå ðàçìåðíî1ñòè 16. Êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òàêèõ ïîëåé ìîãóò áûòü ïîñ÷èòàíû ÿâíî ñ ïîìîùüþ íåêîòîðûõ êîíñòðóêöèé íà ðàçâåòâë¼ííûõ íàêðûòèÿõ ñôåðû Ðèìàíà.Èçó÷åíèå ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó CFT è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè â ñëó÷àåñòàðøåãî ðàíãà èíòåðåñíî ïî íåñêîëüêèì ïðè÷èíàì. Îäíîé èç ïðè÷èí ÿâëÿåòñÿ òî,÷òî êàê è äëÿ ñëó÷àÿ ðàíãà äâà, îíî äà¼ò ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ èçîìîíîäðîìíûõ òàóôóíêöèé, êîòîðûå ðàíüøå èçâåñòíû íå áûëè. Äðóãàÿ ïðè÷èíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,÷òî W-àëãåáðû íàìíîãî áîëåå ñëîæíûå, ÷åì àëãåáðà Âèðàñîðî: íàïðèìåð, ïðîñòðàíñòâà êîíôîðìíûõ áëîêîâ W-àëãåáðû ñòàíîâÿòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûìè çíà÷èòåëüíî1áûñòðåå, ÷åì â Âèðàñîðîâñêîì ñëó÷àå.

 ñëó÷àå W-àëãåáðû äàæå 3-òî÷å÷íûå êîíôîðìíûå áëîêè îáðàçóþò áåñêîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî, è íåòó íèêàêîãî àëãåáðàè÷åñêîãî ñïîñîáà âûáðàòü èç ýòîãî ïðîñòðàíñòâà êàêîé-òî êîíêðåòíûé ýëåìåíòäëÿ òîãî, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü åãî â ïîñòðîåíèè ìíîãîòî÷å÷íûõ êîíôîðìíûõ áëîêîâ.

Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó CFT è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè äà¼ò ñïîñîá çàôèêñèðîâàòü ýòó íåîäíîçíà÷íîñòü ïóò¼ì ôèêñàöèè ñâîéñòâ ìîíîäðîìèè âåðòåêñíûõîïåðàòîðîâ.Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç øåñòè ãëàâ è áèáëèîãðàôèè. Ãëàâà 1 ýòî ââåäåíèå â ïðåäìåò, êîòîðîå, ÿ íàäåþñü, äîëæíî áûòü ïîíÿòíî íåñïåöèàëèñòàì. Îíà äà¼ò îïðåäåëåíèå îñíîâíûõ îáúåêòîâ êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ, òàêèõ êàê èíôèíèòåçèìàëüíûåêîíôîðìíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, îïåðàòîðíûå ðàçëîæåíèÿ, àëãåáðà Âèðàñîðî.

Äàëüøååñòü äâà ïðèìåðà êîíôîðìíûõ òåîðèé ïîëÿ ñ W-ñèììåòðèåé, òåîðèÿ N ñâîáîäíûõáåçìàññîâûõ áîçîííûõ ïîëåé è òåîðèÿ N áåçìàññîâûõ çàðÿæåííûõ ôåðìèîíîâ. ßîáúÿñíÿþ îïðåäåëåíèå W-àëãåáð è îïðåäåëåíèå èõ âåðòåêñíûõ îïåðàòîðîâ âìåñòå ñïðîñòåéøèìè ïðèìåðàìè. ß òàêæå îáúÿñíÿþ ñ óòèëèòàðíîé òî÷êè çðåíèÿ, ÷òî òàêîå ÀÃÒ-ñîîòâåòñòâèå â êîíôîðìíîé òåîðèè ïîëÿ. Äàëüøå ñëåäóåò îáúÿñíåíèå òîãî,÷òî òàêîå Ôóêñîâû ñèñòåìû, è ÷òî òàêîå èçîìîíîäðîìíûå äåôîðìàöèè. Ïîñëå ýòîãîÿ ïðåäñòàâëÿþ ñëîâàðü ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó êîíôîðìíîé òåîðèåé ïîëÿ è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè, à çàòåì äàþ îïðåäåëåíèå Çàìîëîä÷èêîâñêèõ òâèñò-ïîëåéè èõ îáîáùåíèÿ íà WN ñëó÷àé. Ïîñëåäíÿÿ ÷àñòü ýòîé ãëàâû ñîäåðæèò ïëàí äèñåðòàöèè, ñïèñîê êëþ÷åâûõ ðåçóëüòàòîâ, êðàòêîå ñîäåðæàíèå êàæäîé ãëàâû è ñïèñîêïóáëèêàöèé.Ãëàâà 2 ýòîé ãëàâå ÿ ôîðìóëèðóþ îñíîâíóþ ãèïîòåçó î òîì, ÷òî òàó-ôóíêöèÿ îáùåé èçîìîíîäðîìíîé ñèñòåìû (ñèñòåìû Øëåçèíãåðà) ìîæåò áûòü äàíà â òåðìèíàõ êîíôîðìíûõ áëîêîâ W -àëãåáðû.

Çàòåì ÿ ïðîâåðÿþ ýòó ãèïîòåçó äëÿ ñëó÷àÿ 3 × 3 ñ 4 îñîáûìèòî÷êàìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ýòî, ñíà÷àëà ÿ èçó÷àþ ñòðóêòóðó ðåøåíèÿ ñèñòåìû Øëåçèíãåðà â ïðåäåëå êîãäà äâå îñîáûå òî÷êè ñòàëêèâàþòñÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîðåøåíèå ñèñòåìû äà¼òñÿ ðÿäàìè ïî äðîáíûì ñòåïåíÿì t (ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñòàëêèâàþùèìèñÿ òî÷êàìè). Îíè ñîäåðæàò ìîíîìû âèäà tk+(w,σ) , ãäå w ýòî öåëî÷èñëåííûéâåêòîð, à σ ýòî íåêèé ïðîèçâîëüíûé êîìïëåêñíûé âåêòîð.ß ïðîâåðÿþ ÷èñëåííî, ÷òî ñòðóêòóðà ðàçëîæåíèÿ òàó-ôóíêöèè â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ïðåäñêàçàíèåì CFT äëÿ ðîñòà ñòåïåíåé t è èìååò ôîðìóX(0t)(1∞)τ (t) =e(β,w) Cw(θ 0 , θ t , σ 0t , µ0t , ν0t )Cw(θ 1 , θ ∞ , σ 0t , µ1t , ν1t )×w∈Q×t1(σ 0t +w,σ 0t +w)− 21 (θ 0 ,θ 0 )− 21 (θ t ,θ t )2Bw ({θ i }, σ 0t , µ0t , ν0t , µ1∞ , ν1∞ ; t)ß òàêæå ïðîâåðÿþ, ÷òî â ñëó÷àÿõ êîãäà ó íàñ åñòü îïðåäåëåíèå è ÿâíàÿ ôîðìóëàäëÿ W-êîíôîðìíîãî áëîêà, îí ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé B .

 ýòîìó ñëó÷àå ÿ óãàäûâàþè ïðîâåðÿþ, ÷òî 3-òî÷å÷íûå ôóíêöèè äàþòñÿ ÿâíîé ôîðìóëîé, êîòîðàÿ îáîáùàåò2ðåçóëüòàò Ãàìàþíà-Èîðãîâà-Ëèñîâîãî:Q=ijG[1 −atN(0t)(1∞)Cw(θ 0 , at , σ)Cw(σ, a1 , θ ∞ ) =+ (ei , θ 0 ) − (ej , σ + w)]G[1 − aN1 + (ei , σ + w) + (ej , θ ∞ )]QG[1 + (αi , σ + w)]iãäå G ýòî ôóíêöèÿ Áàðíñà: G(z + 1) = Γ(z)G(z). ñëåäóþùèõ ãëàâàõ ÿ ïðåäñòàâëÿþ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé ðàçíûìèìåòîäàìè.Ãëàâà 3 ýòîé ãëàâå ìû ðàçðàáàòûâàåì ñâîáîäíîôåðìèîííûé ôîðìàëèçì äëÿ W-àëãåáð.

Ìûïðåäñòàâëÿåì W-òîêè â òåðìèíàõ ôåðìèîíîâ ψ, ψ̃ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ôîðìóëû:∞Xαψ̃ασ (ztN X tk−1t+Ukσ (z)+ )ψασ (z − ) =22t(k−1)!k=1Çàòåì ìû ñòðîèì âåðòåêñíûå îïåðàòîðû äëÿ W-àëãåáðû àêñèîìàòè÷åñêèì ñïîñîáîì.À èìåííî, ïîñòóëèðóåì, ÷òî:1) Âåðòåêñíûé îïåðàòîð ýòî ãðóïïîâîé ýëåìåíò.2) Åãî äâóõòî÷å÷íûå ñðåäíèå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðåøåíèå òð¼õòî÷å÷íîé Ôóêñîâîéñèñòåìû.Çàòåì ìû äîêàçûâàåì, ÷òî òàêèì îáðàçîì îïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ Wïðèìàðíûìè ïîëÿìè ýòî ñâÿçûâàåò èõ ñ êîíôîðìíîé ÷àñòüþ ñîîòâåòñòâèÿ. Ìûòàêæå äîêàçûâàåì, ÷òî ðåøåíèå Ôóêñîâîé ñèñòåìû ñ n îñîáûìè òî÷êàìè äà¼òñÿ ñïîìîùüþ (z − w)Kαβ (z, w), ãäå Kαβ (z, w) ýòî äâóõôåðìèîííîå ñðåäíåå â ïðèñóòñòâèèâåðòåêñíûõ îïåðàòîðîâ:hθ ∞ |Vθn−2 (tn−2 ) .

. . Vθ1 (t1 )ψ̃αθ0 (z)ψβθ0 (w)|θ 0 iKαβ (z, w) =hθ ∞ |Vθn−2 (tn−2 ) . . . Vθ1 (t1 )|θ 0 i òî âðåìÿ êàê èçîìîíîäðîìíàÿ òàó-ôóíêöèÿ äà¼òñÿ çíàìåíàòåëåì:τ (t1 , . . . , tn−2 ) = hθ ∞ |Vθn−2 (tn−2 ) . . . Vθ1 (t1 )|θ 0 iÒàêèì îáðàçîì ìû ñâÿçûâàåì ïîñòðîåííûå ñâîáîäíîôåðìèîííûå îïåðàòîðû ñ îáîèìè ÷àñòÿìè ñîîòâåòñòâèÿ, W-àëãåáðàìè è èçîìîíîäðîìíûìè äåôîðìàöèÿìè.

Ýòîäà¼ò ñâîáîäíîôåðìèîííîå äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû èç Ãëàâû 2.Ìû òàêæå ïîêàçûâàåì, ÷òî 4-òî÷å÷íàÿ òàó-ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàêäåòåðìèíàíò Ôðåäãîëüìà ñ íåêîòîðûì ÿâíî çàäàííûì ÿäðîì, êîòîðîå äà¼òñÿ â òåðìèíàõ ãèïåðãåîìòåðè÷åñêèõ ôóíêöèé: τ (t) = det (1 + Rt ). Ýòà ôîðìóëà áóäåò îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ â ñëåäóþùåé ãëàâå.3Chapter 4Äàííàÿ ãëàâà íàïèñàíà ìàòåìàòè÷åñêèì ÿçûêîì è àáñîëþòíî ñòðîãî, ïîòîìó îíà íåòðåáóåò íèêàêèõ çíàíèé èç òåîðèè ïîëÿ. Çäåñü ìû ðàçâèâàåì ôîðìàëèçì, â êîòîðîììîæíî äîêàçàòü ôîðìóëó â âèäå äåòåðìèíàíòà Ôðåäãîëüìà, ïîëó÷åííóþ â ïðåäûäóùåé ãëàâå èç òåîðåòèêî-ïîëåâîãî ðàññìîòðåíèÿ, è äàæå å¼ áîëåå îáùóþ n-òî÷å÷íóþâåðñèþ.

Äëÿ ýòîãî ìû ñíà÷àëà ðàçðåçàåì ñôåðó ñ n ïðîêîëàìè íà n − 2 ñôåðû ñ òðåìÿ ïðîêîëàìè, êàê íà êàðòèíêå ñíèçó, à çàòåì îïðåäåëÿåì ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèéíà ïîëó÷åííûõ ãðàíèöàõ.gkg1T [1][1]CoutA1[k]CinAk-1Tgk+1[k][k]Cout[k+1]AkTgn-2[k+1]Cin[k+1]An-3Ak+1Cout[n-2]CinT [n-2]g0gn-1Ïîñëå ýòîãî ìû ñòðîèì äâà ïðîåêòîðà íà ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðîäîëæåíû ìåæäó ðàçíûìè ãðàíèöàìè, PΣ è P⊕ . Ýòè ïðîåêòîðû äàþòñÿÿâíûìè ôîðìóëàìè ñëåäóþùåãî âèäà:1PΣ f (z) =2πiICΣ−1Ψ̂+ (z) Ψ̂+ (z 0 ) f (z 0 ) dz 0,z − z0CΣ :=n−3[[k][k+1]Cout ∪ Cink=1Ýòà ôîðìóëà ñîäåðæèò ðåøåíèå n-òî÷å÷íîé çàäà÷è, äàâàåìîå Ψ̂+ (z), à ôîðìóëà äëÿP⊕ ñîäåðæèò ðåøåíèÿ çàäà÷ âñïîìîãàòåëüíûõ 3-òî÷å÷íûõ çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì øòàíàì.

Ìû îãðàíè÷èâàåì ïîñòðîåííûå ïðîåêòîðû íà äðóãîå ïðîñòðàíñòâî H+(íåêîòîðàÿ êîìáèíàöèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ ðÿäîâ Ëîðàíà): PΣ,+ = PΣ |H+ , P⊕,+ = P⊕ |H+ . Çàòåì ìû îïðåäåëÿåì áåñêîíå÷íîìåðíûé äåòåðìèíàíò−1τ = det PΣ,+P⊕,+î êîòîðîì äàëüøå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îí ñîâïàäàåò ñ èçîìîíîäðîìíîé òàó-ôóíêöèåé.Çàòåì ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ýòî äåòåðìèíàíò ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí êàê äåòåðìèíàíòÔðåäãîëüìà ñ ÿäðîì, êîòîðîå äà¼òñÿ ñ ïîìîùüþ 3-òî÷å÷íûõ ðåøåíèé.

Ýòî äåëàåòåãî àáñîëþòíî ÿâíûì â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòè ðåøåíèÿ èçâåñòíû.Ìû òàêæå ðàñêëàäûâàåì íàéäåííûé äåòåðìèíàíò Ôðåäãîëüìà â ðÿä ïî ãëàâíûììèíîðàì è âû÷èñëÿåì êàæäûé ìèíîð â 2 × 2 ñëó÷àå. Ýòî êîìáèíàòîðíîå ðàçëîæåíèåèìååò âèä ðÿäà ïî íàáîðó äèàãðàìì Þíãà è öåëûõ AN −1 ðåø¼òîê:τ=XXn−2Y~Y~ k−1,QZ Y~k−1~,QkT [k] ,k~ 1 ,...Q~ n−3 ∈QN Y~1 ,...Y~n−3 ∈YN k=1Q~~ k−1Y,Q[k]Áîëåå òîãî, âûðàæåíèÿ Z Y~k−1Tâ 2 × 2 ñëó÷àå ìîãóò áûòü íàïèñàíû â òåð~k ,Q kìèíàõ ôóíêöèé Íåêðàñîâà, ÷òî îòîæäåñòâëÿåò ðàçëîæåíèå òàó-ôóíêöèè ñ ðÿäîì ïîêîíôîðìíûì áëîêàì.