Введение в мат анализ в вопросах и задачах. Учебное пособие Анчиков А.М, страница 8

Ñ ïîìîùüþ ”ε − Aε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü:a)lim ax = 0 ïðè a > 1; b)x→−∞è íàéòè Aε ; c) ïðè a > 1lim ax = +∞ ïðè 0 < a < 1x→±∞lim log x = −∞.x→+02. Ñ ïîìîùüþ ”ε − δε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü, ÷òîlim xk loga x = 0, (a > 1, k > 0).x→+03. Äàíî y = x2 . Êîãäà x → 2, òî y → 4. Êàêîâîäîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 2| < δ ñëåäîâàëî |y − 4| < ε =√0, 001? [ δ < 4 + ε − 2; δ < 0, 00025 ].6024.

Ïóñòü y = xx2 −1. Ïðè x → 2 èìååì y → 53 .¯ Êàêîâî+1¯¯¯äîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 2| < δ ñëåäîâàëî ¯y − 35 ¯ <√0, 1? [ δ < 2 − 3 ].5. Ïóñòü y =x−1.2(x+1)Ïðè x → 3 èìååì y → 41 . Êàêîâ¯¯äîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 3| < δ ñëåäîâàëî ¯y − 14 ¯ <20, 01? [ δ < 13].6. Äîêàçàòü, ÷òî sin x ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå ïðè x →Êàêèì óñëîâèÿì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü x â îêðåñòíîñòèòî÷êè x¯ = π2 , ¯ ÷òîáû èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî 1 − sin x <¯¯0, 01? [ ¯ x − π2 ¯ < π2 − arcsin 0, 99 = 0, 133 ].π.27.

Ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè x ôóíêöèÿ y = x21+1ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: lim x21+1 = 0. Êàêîâî äîëæíî áûòü Aε ,x→∞÷òîáû èç |x| > Aε ñëåäîâàëî y < ε?ε < 1 ].[ Aε ≥q1ε− 1, ïðè28. Åñëè x → +∞, òî y = xx2 −1→ 1. Êàêîâî äîëæíî áûòü+3A , ÷òîáûèç |x| > Aε ñëåäîâàëî|y − 1| < ε?qh εi44Aε ≥ ε − 3, ïðè ε < 3 .√√9.

Âû÷èñëèòü: a) lim ( x2 − 2x − x); b) lim ( x2 + 1 + x);x→+∞x→−∞√√√√343 1+x−4 1+x+1x2 + 1 − 5 x5 + 2√c) lim; d) lim;x→+∞x→0x2−2 1−x−x√4 − 21 − xe) lim √;x→5 3 x − 13 + 2´³√√f ) lim 3 x3 + x2 + x + 1 − 3 x3 − x2 + x − 1 .x→∞[ a) 1; b) − 21 ; c)e) 23 ; f ) 23 ].1.16Óêàçàíèå: ïîëîæèòü x = t12 − 1; d) 0;61Çàìå÷àíèå: Çäåñü ìû íå ðàññìàòðèâàåì ïðèìåðûíà äâà çà³´xsin x1ìå÷àòåëüíûõ ïðåäåëà: lim x = 1 è lim 1 + x = e. Ïðèx→∞x→0ìåðû íà ýòè çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû èìåþòñÿ â áîëüøîì êîëè÷åñòâå â ”Ñáîðíèêå çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìóàíàëèçó” Á. Ï. Äåìèäîâè÷à.4.3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè.À.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êèx0 ∈ {X}. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ,åñëè lim f (x) = f (x0 ), òî åñòü åñëè ∀ε > 0∃ δε (x0 ) > 0 òàêîå, ÷òîx→x0ïðè |x − x0 | < δε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − f (x0 )| < ε.Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (x)îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè è â ñàìîé òî÷êå x0 , ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà â ýòîé òî÷êå è ðàâåíñòâî ýòîãî ïðåäåëà çíà÷åíèþ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå.

Åñëèíàðóøåíî õîòÿ áû îäíî èç óêàçàííûõ óñëîâèé, òî òî÷êà x0íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f (x).Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåë¼ííàÿ íà (a, x0 ] ([x0 , b)) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâà (ñïðàâà) â òî÷êå x0 , åñëè lim f (x) =µf (x0 )x→x0 −0¶lim f (x) = f (x0 ) .x→x0 +0Åñëè f (x) íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà {X}, òîîíà íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà {X}.Òî÷êè ðàçðûâà áûâàþò:621) óñòðàíèìîãî ðàçðûâà, åñëè ñóùåñòâóåò lim f (x) = b íîx→x0ëèáî f (x) íå îïðåäåëåíà â òî÷êå x0 , ëèáî f (a) 6= b ; (åñëèïîëîæèòü f (a) = b, òî ôóíêöèÿ f (x) ñòàíåò íåïðåðûâíîé âòî÷êå x0 , òî åñòü ðàçðûâ áóäåò óñòðàí¼í).2) ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, åñëè ñóùåñòâóþò f (x0 +0) è f (x0 −0), íî f (x0 + 0) 6= f (x0 − 0);3) ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, åñëè â òî÷êå x0 íå ñóùåñòâóåò ïîêðàéíåé ìåðå îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ôóíêöèè.Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû.Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , òîôóíêöèè f (x) ± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x) òàêæå íåïðåðûâíûâ òî÷êå x0 (÷àñòíîå ïðè óñëîâèè, ÷òî g(x0 ) 6= 0 ).Ïóñòü ôóíêöèÿ y = ϕ(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à ôóíêöèÿ u = f (y) íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = ϕ(x0 ).

Òîãäà ñëîæíàÿôóíêöèÿ u = f [ϕ(x)] íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.1. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå.2. Íàéäèòå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè Äèðèõëå. Óêàæèòå òèïûýòèõ òî÷åê ðàçðûâà.3. Óêàæèòå òèï òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) := sgnx; b) f (x) = |x|/x.a) f (x) =4. Ïóñòü f (x) ± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x) íåïðåðûâíû âòî÷êå x0 . Ñëåäóåò ëè îòñþäà, ÷òî f (x) è g(x) íåïðåðûâíû âòî÷êå x0 ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.635. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå x0 ôóíêöèéf (x) + g(x), f (x) − g(x), è f (x) · g(x), åñëèà) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à g(x) ðàçðûâíàâ ýòîé òî÷êå.á) ôóíêöèè f (x) è g(x) ðàçðûâíû â òî÷êå x0 .

Ðàññìîòðèòå ïðèìåðû:1◦ . f (x) = sgn x, g(x) = 2sgn x.2◦ . arctg 1/ , x 6= 0,xf (x) = 0,x = 0; 0, x 6= 0g(x) = 1, x = 0.6. Ïðèâåñòè ïðèìåð îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèx0 ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé lim f (x) íå ñóùåñòâóåò, à lim f (x)x→+0 sin 1/ , x > 0xñóùåñòâóåò. f (x) = cos x, x < 0x→−07. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî êâàäðàò ðàçðûâíîé ôóíêöèèåñòü òàêæå ðàçðûâíàÿ ôóíêöèÿ?1, x − ðàöèîíàëüíîåÍåò. f (x) = −1, x − èððàöèîíàëüíîåÂ. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.Ïðèìåð 49.

Ñ ïîìîùüþ ”ε − δε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü√íåïðåðûâíîñòü ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: a) 3 x; b) arctg x.¯√√ ¯Äîêàçàòåëüñòâî. a) ¯¯ 3 x − 3 x0 ¯¯ = √3 2 |√3x−x0 | √=32x +=|x−x0 |√√√( 3 x+1/2· 3 x0 )2 +3/4· 3 x20q|x − x0 | < 3/4 ·3≤|x−x0 |√3/4· 3 x20x20 · ε = δε (x0 ).64< ε,x·x0 +(x0 6= 0),x0åñëèb) Ïóñòü |x0 | > 0 è |h| = |x − x0 | < |x0 | . Åñëèarctg (x0 − h) − arctg x0 = t, òî tg t = 1+x2h+hx0 . Òàê êàê | t | <0π,òî|arctg(x−h)− arctg x0 | < | t | <| tg t | ïðè|t|<0¯¯2¯¯|h|h| tg t | = ¯ 1+x2 +hx0 ¯ < 1+x2 +hx0 < ε, åñëè | h | = | x − x0 | <0(1+x20 )ε1+| x0 |ε0= δε (x0 ).

Íåïðåðûâíîñòü arctg x ïðè x0 = 0 ñëåäóåòèç íåðàâåíñòâà | arctg x − arctg 0 | ≤ | arctg x | < | x | .Ïðèìåð 50. Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ f (x) == sin x1 , åñëè x 6= 0 è f (0) ïðîèçâîëüíî.Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{xn } èãäå xn ==(n = 1, 2, ...). Òàê êàê0ïðè n → +∞ xn → 0, xn → 0, à f (xn ) → 0, f (x0n ) → 1, òîïðåäåë lim sin x1 íå ñóùåñòâóåò. Ýòî çíà÷èò, ÷òî f (x) òåðïèòx→0ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà ïðè x = 0. Åñëè x 6= 0, òî íåïðåðûâíîñòüî÷åâèäíà.1,πn{x0n }x0n1,π(1+4n)Ïðèìåð 51. Îïðåäåëèòü òî÷êèðàçðûâàè èññëåäîâàòü õà³´ðàêòåð ýòèõ òî÷åê, åñëè f (x) =1x−1x+1.³1x−1−1x´Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ íå îïðåäåëåíà ïðè x = −1, 0, +1. Òàêêàêlim x−1 = ∓x→−1±0 x+1x−1= lim x+1= 0,x→1lim f (x) =x→−1±0x−1x→0 x+1∞, lim f (x) = limx→0== −1, lim f (x)òî x = 0 è x = + 1 x→1óñòðàíèìûå òî÷êè ðàçðûâà, à x = − 1 òî÷êà áåñêîíå÷íîãîðàçðûâà.Ïðèìåð 52.

Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ñëîæíûå ôóíêöèè f (g(x)) è g(f (x)) åñëè f (x) = sgnx è g(x) = x · (1 − x2 ).Ðåøåíèå. f (g(x)) = sgn[x · (1 − x2 )] =651, åñëè − 1 < x < 0 èëè 1 < x < ∞;=  0, åñëè x = 0, x = 1, x = −1;−1, åñëè − ∞ < x < −1, èëè 0 < x < 1.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êè x = −1, x = 0, x = +1 ÿâëÿþòñÿòî÷êàìè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà.Èç òîãî, ÷òî g(f (x)) = sgn (1 − sgn2 x) ≡ 0, ñëåäóåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè g(f (x)) íà (−∞, ∞).Ïðèìåð 53.

Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèþ f (x) =x[x].Ðåøåíèå. Åñëè n < x < n + 1 ãäå n = 0, ±1, ±2, ...òî f (x) = nx. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòàôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ íà íåïðåðûâíîñòü âòî÷êàõ x = n ïîëîæèì x = n − h, ãäå 0 < h < 1. Ïîñêîëüêóf (n) = n[n] = n2 , f (n−0) = lim f (n−h) = lim (n−h)[n−h] =n→+0n→+0= n(n−1), òî òî÷êè x = n ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ðàçðûâà ïåðâîãîðîäà.Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.1.

Ñ ïîìîùüþ ”ε − δε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü íåïðåðûâ√íîñòü ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: a) x3 , b) x, c) sin x, d) cos x.2. Èññëåäîâàòü íà íåïðåðûâíîñòü ñëåäóþùèå ôóíêöèè:a) f (x) = x sin x1 , åñëè x 6= 0 è f (0) = 0.[ Íåïðåðûâíà.].b) f (x) = 1 (1 + e1/(x−1) ), åñëè x 6= 1 è f (1) − ïðîèçâîëüíà.66[ Ðàçðûâíà ïðè x = 1 ].c) f (x) = x − [x] [ x = k (k = 0, ±1, ±2, ... - òî÷êè ðàçðûâàïåðâîãî ðîäà ].d) f (x) = 1 − e−1/x . [ x = 0 − óñòðàíèìàÿ òî÷êà ðàçðûâà ].2x2. [ x = −1 è x = 3 - òî÷êè(x + 1)(x − 3)áåñêîíå÷íîãî ðàçðûâà ].e) f (x) = lnf ) f (x) =x2 ïðè 0 ≤ x ≤ 1, 2 − x ïðè 1 < x ≤ 2.[ Íåïðåðûâíà ]. ctg 2 πx äëÿ íåöåëîãî x,g) f (x) =0äëÿ öåëîãî x.[ x = k, (k = 0, ±1, ±2, ...) - òî÷êè áåñêîíå÷íîãî ðàçðûâà ].67ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ.Ÿ1. Ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.

. . . . . . . . . . . . . . . . 4À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû. . . . 13Ÿ2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 17Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû.

. . . 25Ÿ3. ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ïðåäåëüíûå òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû. . . . . . . . . . . . . . . . .