Лекции Капустина

§1. Открытые и замкнутые множества на прямойРассматриваем пространство действительных чисел - R.Множество ⊂ R.Операции над множествами:∙ Объединение: = 1 ∪ 2 ;∙ Пересечение: = 1 ∩ 2 ;∙ Разность: = 1 ∖ 2 ;∙ Симметрическая разность: = 1 Δ2 = (1 ∖ 2 ) ∪ (2 ∖ 1 )∙ Дополнение: { = R ∖ .Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий этуточку.Точка называется предельной точкой множества , если в любойокрестности содержится хотя бы одна точка множества , отличная отточки . Если точка множества не является его предельной точкой,то она называется изолированной точкой множества .Множество всех предельных точек называется его производныммножеством и обозначается ′ .Возможны такие ситуации:∙ ′ ⊂ , тогда — замкнутое множество;∙ ⊂ ′ , тогда — плотное в себе множество;∙ = ′ , тогда — совершенное множество.Определение.

Множество ¯ = ∪ ′ называется замыканием множества .Примеры:1{︂ }︂11. =, ′ = {0},=1 — не замкнуто, не плотное в себе, никакое;∞⋃︀{︂ }︂1∪ {0}, ′ = {0}2. ==1 — замкнуто, не плотное в себе;∞⋃︀3. = (, ), ′ = [, ] — не замкнуто, плотное в себе;4. = [, ], ′ = [, ] — совершенное;5. = Q,′ = R — не замкнуто, плотное в себе;6. = R,′ = R — совершенное;7.

= ∅,′ = ∅ — совершенное;Для любого множества производное множество ′ и замыкание ¯всегда будут являться замкнутыми. Объединение конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество, бесконечного числа — невсегда. Например:[︂]︂1 =;1 ;=∞⋃︁ = (0, 1].=1Точка X множества E называется внутренней, если она принадлежитE вместе с некоторой своей окрестностью.int — множество всех внутренних точек .Множество E называется открытым, если все его точки внутренние.Пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством.2Пересечение бесконечного числа открытых множеств, вообще говоря,открытым не является:(︂)︂∞⋂︁1 1 = − ;; = = {0}.

=1Утверждение. - замкнутое множество ⇒ { — открытое множество.Доказательство. Возьмём произвольную точку ∈ {. — замкнутое множество ⇒ оно содержит все свои предельные точки. ̸∋ ⇒ не является предельной точкой . Это означает, что существует окрестность (), целиком принадлежащая {. Таким образом, точка является внутренней точкой {. В силу произвольности выбора в { этомножество является открытым. Утверждение.

— открытое множество ⇒ { — замкнутое множество.Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда существует точка 0 , предельная для {, но не принадлежащая ему. Следовательно,0 ∈ . — открытое множество, 0 ∈ ⇒ существует окрестность(0 ), целиком принадлежащая . Это противоречит тому, что 0 —предельная точка {.

Значит, наше предположение неверно ⇒ { —замкнутое множество. Объединение любого числа открытых множеств является открытыммножеством.Пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутыммножеством.=⋂︀⇒{ = ∪ {Утверждение. Если A — открытое множество, а B — замкнутое, то ∖ — открытое множество, ∖ — замкнутое множество.Доказательство. ∖ = ∩ {. Теорема 1.

Любое открытое множество на прямой может быть представлено в виде конечного или счетного объединения попарно непересекающихся интервалов.3=∞⋃︀ .=1Доказательство.Возьмем произвольную точку ∈ .Рассмотрим () — объединение всех интервалов, содержащих и содержащихся в .() — открытое множество. = inf (), = sup ().Так как — открытое, то ∈ . Значит, < < .Докажем, что () = (, )Рассмотрим любую точку ∈ (, ).

Не ограничивая общности, положим < < . По определению точной нижней грани, ∃ ′ : < ′ < < .По определению точной нижней грани ∃(, ) ⊂ (), такое что ′ ∈ (, ).Из ′ ∈ (, ) и ∈ (, ) следует ∈ (, ). Значит, ∈ (). В силу произвольности выбора , () = (, ).Тогда для любого ∈ () выполняется () = (, ) ⊂ ().

Значит, ∈ (), из чего следует, что () = () для любого ∈ ().Тогда (1 ) и (2 ) либо не имеют общих точек, либо совпадают. Следствие 1. Любое замкнутое множество на прямой получаетсяудалением из прямой конечного или счетного числа интервалов.Следствие 2. Любое совершенное множество на прямой получаетсяудалением из прямой конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, концы которых не совпадают.Пример (совершенное Канторово множество).Рассмотрим сегмент [0, 1]:)︂ (︂)︂ (︂)︂(︂1 27 81 2;∪;∪;∪ ...=3 39 99 9 = [0; 1] ∖ ∞1111 ∑︁+2* +4*+ ··· =39273 =0(︂ )︂2=13Любое число из отрезка [0; 1] может быть представлено в троичнойсистеме следующим образом:1 2=+ 2 + ··· + + ...,3334где числа могут принимать значения 0, 1 и 2.

У числа может бытьне одно такое представление (0.1222...3 = 0.23 ). Заметим, что у чисел измножества существует хотя бы одно троичное представление,(︂в кото)︂1 2ром числа ̸= 1 ∀. Ведь в множество не входят интервалы;,3 3{︂(︂)︂}︂1 27 8;, ( ; ) и так далее, числа которых как раз соответствуют тро9 99 9ичным представлениям, где часть коэффициентов равна единице. А длянекоторых "граничных"чисел, входящих в и имеющих троичное пред1ставление с одним единичным коэффициентом (например, ), существу3ют соответствующие троичные представления, где нет единичных коэффициентов:1000221= + 2 + ··· + + ··· = + 2 + ··· + + ...33 333 33Таким образом, каждой точке множества можно поставить в соответствие последовательность 1 , 2 , .

. . , , . . . , где = {0; 2}. Совокупностьтаких последовательностей образует множество мощности континуума⇒ множество имеет мощность континуума, хотя длина его равна 0.Кроме того, оно замкнуто и является совершенным (по следствию 2).Множество называется канторовым множеством.§2. Измеримые множестваΔ = (, ), |Δ| = − Считаем, что допустимы не только , ∈ R, но и = −∞, = ∞. Вбольшинстве теорем это не влияет не доказательство, иначе такие случаибудут рассматриваться отдельно.Определение 1. Покрытием множества на прямой называетсяконечная или счетная система интервалов, объединение которых содержит .∞⋃︁() : ⊂Δ=1Длина покрытия ():() =∞∑︁=15|Δ |Внешняя мера множества :||* = inf ()()Внешняя мера не обладает ни конечной, ни счётной аддитивностью.Свойства внешней меры:1.

1 ⊂ 2 => |1 |* 6 |2 |* .Этот факт следует из того, что любое покрытие 2 будет одновременно являться покрытием и для 1 .2. =∞⋃︀ ⇒ ||* 6=1∞∑︀| |* .=1Доказательство. Если мера ||* = ∞ или | |* = ∞, то свойствоочевидно. // !!! Фиксируем произвольное > 0. По определениюмеры как точной нижней грани, для любого номера найдётсяпокрытие ( ) множества системой интервалов {Δ } такое,что∞∑︁|Δ | < | |* + .2=1∞⋃︀Рассмотрим =поэтому* ( ).

является покрытием множества ,=1|| 6 () 6∞ ∑︁∞∑︁|Δ |=1 =1∞∞∑︁∑︁*| |* + .<(| | + ) =2=1=1Устремив к 0, получим требуемое неравенство.Введём понятие расстояния между множествами:(1 , 2 ) = inf (, ) = | − |.∈1∈23. (1 , 2 ) > 0 => |1 ∪ 2 |* = |1 |* + |2 |*Доказательство. = (1 , 2 ). Из определения меры как точнойнижней грани следует, что∀ > 0 ∃(1 ∪ 2 ) = {Δ } :∞∑︁=16|Δ | < |1 ∪ 2 |* +2Разобьём каждый интервал покрытия (1 ∪2 ) на интервалы длины, меньшей , а концы этих новых интервалов ("точки сопри2косновения"), в свою очередь, покроем интервалами, общая суммадлин которых меньше .

Таким образом,2̃︀ } :∀ > 0 ∃̃︀(1 ∪2 ) = {Δ∞∑︁̃︀ | < |1 ∪2 |* +,|Δ̃︀ | <|Δ=1∀2̃︀ | < ∀, то интервалы Δ̃︀ , покрывающие точки 1 ,Поскольку |Δ2не содержат точек 2 , а интервалы, покрывающие точки 2 , не содержат точек 1 . А это значит, что покрытие (̃︀ 1 ∪2 ) распадаетсяна два непересекающихся покрытия ̃︀1 (1 ) и ̃︀2 (2 ). Тогда∞∑︁̃︀ | = (˜|Δ) = (˜1 ) + (˜2 ) > |1 |* + |2 |* .=1С другой стороны,∞∑︁̃︀ | < |1 ∪ 2 |* + .|Δ=1Следовательно, |1 |* + |2 |* 6 |1 ∪ 2 |* .

Но по второму свойствувнешней меры верно и неравенство |1 |* + |2 |* > |1 ∪ 2 |* . Итак,получаем, что |1 |* + |2 |* = ||* . 4. ∀ > 0 и ∀ ∃ — открытое, ⊃ : ||* < ||* + Доказательство. В качестве можно взять объединение всех интервалов, составляющих такое покрытие () множества , что() < ||* + Определение 2. Множество называется измеримым (по Лебегу),если ∀ > 0 найдётся открытое множество , содержащее и такое, что| ∖ |* < .

При этом || ≡ ||* называется мерой измеримого множества .Из определения меры Лебега и свойства 4 внешней меры следует, чтомера множества равна нулю тогда и только тогда, когда внешняя мерамножества равна нулю (|| = 0 ⇔ ||* = 0).7Теорема 1. Любое открытое множество на прямой измеримо, а егомера равна сумме длин (мер) составляющих его попарно не пересекающихся интервалов.Доказательство. Достаточно взять = . Поскольку множество —открытое, inf (()) будет достигнут на покрытии, совпадающем с разбиением на попарно непересекающиеся интервалы.

Теорема 2. Объединение конечного или счётного числа измеримыхмножеств является измеримым множеством.∞⋃︀Доказательство. Пусть = . измеримо ∀, поэтому=1∀ > 0 ∀ ∃ — открытое, ⊃ , | ∖ |* <Рассмотрим =∞⋃︀.2 . Получаем, что ⊂ . — открытое. Кроме=1того, если ∈ ( ∖ ), то ̸∈ ∀ и ∃ : ∈ ⇒ ∈ ( ∖ ).∞⋃︀Поэтому ( ∖ ) ⊂( ∖ ).=1Из свойства 2 внешней меры получаем, что*| ∖ | 6∞∑︁*| ∖ | < ∞∑︁2− = . =1=1Теорема 3. Любое замкнутое множество измеримо на прямой.Доказательство.а) Сначала рассмотрим случай, когда множество ограничено.