Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976), страница 6

Это преобразование сл нга: вся плоскость сдвигается как целое; величкиа и направление сдвига определяется вектором, иэображаюпшм комтишксное число й'. бг ьГи 8 б, это преобраэоваяяе поворота1,вся плоскость поворачнваетоя как целое вокруг нулевой точки на угол аС (против часовой стрелки при а( >О, по часовой стрелке при ох к О). ЬГ» ж'Е ( ж †.вешественное положительное число). Это преобразование подобия с центром в нулевой точке и коэффициентом попобня /Г (растяжение прн К>Г 1 сжатие при ж'ч Г ). ьГо — .

Это так называемое обратное преобразование; оно Г состоит нэ двух последовательных преобраэоваиий симметрии: симметрии относительно единичной окружности с цгчтром в нулевоя 'очке и симметрии относительно вешественной осн. Ппнмвпы 1, Отобразить верхний полукруг Гйг/а Г плоскости с на м рхнюю лолуплосьость (рис. 16). ~'еше~ще. При помошн лрсбио-линейного преобраэования отой "'шм готу ге — Г в нулевую точку вспомогательной плоско: го й~~, а точ~у па Г - в бесконечно удаленную точку плоскоьГу, Такое преобраэоваиие осушествляется функцией Яг т' Ь/ж К при щсбом К . р-/ 9 При етом вещественная ось шюс- О кости ~ и окружность/у/=/ ото- В бражаются иа прщ .ле пшюкости и/' проходяпкю через нулевую точку етой плоскости, и угол между этими прямыми.

ююскостж й/у ° 0 будет равен -и- . Выберем теперь К так, чтобы отрезок[ ~ Ф3 Рис, 16 вещественной оси плоскости У отобраэился на пояснительную вещественную полуось плоскости ь/', Для этого достаточно огуеделнтък нэ условна, что некоторая произвольно выбранная точка отреэка [-У, 11 отобразится в проиэвольно выбранную точку вещественной положительной полуоси; потребуем яля определенности, чтобы точка к =О от бра ил сь в точку йГтя/; /гк— о / 0-/ ай/ уег Таким образом, фя-/( функция йГ и - ото- Ф Е-Ф /-д бражает верхний полукруг /у/й / плоскости Я иа асю первую четверть плоскости Ьуф; в семом деле, часть границы полукруга - отреаок [-(,11 вешесччшиной оси - отобразилась на всю ~ оложительную вещественную полуось [0 ее / плоскости ьГ . В силу соответствия обхода гранин внутренность полукруга отобраэилаоь на часть плоскости В~~, лежащую над вещественной положительной полуосью, в вторав часть границы полукруга- верхняя, полуокружность - стобраэнлась, в силу сохранеш~я угла между соответствующими частями границы (диаметром и полуокружностью), в прилитую, перпендикулярную к вещественной оси пююсяостн Ьуу п лаявшую от нее с соответствующей стороны, т.е, в верхнюю мнимую полуось плоскости дуг .

Остаетоя совчри~ить второй этап преобраэовании - при поькици новой Функции пах т /ьl~/ очюбра:шть первую четверть плоскости К/у на всю верхнюю полупчоскосп, плоскости Ву. Такой (ункпией является еункния ь~и ьl~ й (сю, отображение, остиюствляелюе от~ пенной функцией а/'э а ). Итак охш чете~а,но, одной из хтакшй, осуществлях них отоПракенп. е "рхпогс л ~лу~руга /я/ а / плоскости б нч вгю лп нерхнюю полуплоскость пююскостн ен, будет функння г/ду~у-- ~- — / . Можно найти бесчнсленное множество прут их функннй, осуаествляюшнх вто же отображение, полагая аиг+3 а(у+4 + 3(у-г)й сьГга' с(l+иР+а(у-г)д ' гле и, Ф, с, с~ — вешественные числе н с? ~К- вес > 0 2.

Отсбреэнть на верхнюю Ц ® пол„плоскость сегмент круга радиусе ФнЛ с пентром в нугевой точке, нэобреженный не рнс. 17. Решете. Аналогично предъщушему отобраэнм точки и ну- ьД н ялж /т О 1/я плоскости р со- О ответственно в точки ьуу'л17 и ь/~ нет вспомогательной плоскостн Ь~ прн помошн дробно-линейного преобрвэо- 4" 113 венняг Рпс. 17 г-у"ьд с-/ — бД К эффицнент уг выберем тех, чтобы точка Е =Л отобразилась я точку иГшл Г: / ~'-у-е lХ т -ю-л ~е.4~ уг Ф -у "с.~~ У~ ЙЮ Е- у ес,' '1 ункиня ау =- — ° " отобрежеет заданно сегмент ее ~-У-б ~Х пл у ол плоскости Ь/у > огрвннченный вешественнай положительной сью и полупр моя аШуьг л -~- , 'в свмом деле, дуга сегмен- 3Г, ю ~ абра"ъллсь ла вещественную положительную полуось, в хорда . ч ъитл - нв полупрямукь, обреэующую с вешесгвенной положи- чг о тельной полуосью угол в 80, причем в силу сохранания направления обхода гранил угол должен отсчитываться от вешественной полуоси в положительном направлении.

Остается отобразить этот угол плоскости ь/ на всю верхюою полуплоскость плоскости и/ ° что осушествляется фунишей $/ж сй/ . Так ьак ( — м/ -/, то окончательно одной г / из искомь)х фуикпнй лудет функпия ~8 /+ьуз13 я-.'- с'.Ю~ иг = айГ+б сд/е а' (а, с, с, кй - вешественны, аа1-йс ьО), находим бесчисленное множество других функпий, осушествляюших то же отображение 3, Отобразить на верхнюю полуплоскость изображенную на рис. 18 лунку, ограниченную дугаьш ~Е~ двух окружностей. По чертежу нетрудно установить, что угол между дугами окружностей, образуюших лунку, в точке их пересечения равен 48 .

х йа Рйшее/ще. Чтобы (аналогично разобранным выше примерам) отобразить дуги окружностей, образ/юшие лунку, в полупрямые, вос- Рис. 18 пользуемся дробно-линейным преобразованием, причем точки н ~ = / и й жж - у отобрашпа соответственно в точки б/ '=() я Ь| и а вспомогательной плоско- / / стн й /: ,8 — Г а4 жК— У+У Коав4шпиент УС определим, потребовав, чтобы точкаУЪб ото, раэнлась в точку б/~ е // 6-~ — жКь, х =-4'.. ь'Ф у Приходим к вспомогательной функции цУуж-1 Е-! Ю Е+4 х которая отображает заданную лунку на угол плоскости ьУт, ограниченный в91цественной положительной полуосью и полупрямой аъфьут - ф (как это слецует из соответствия обхода границ и со~1Ранения углов).

Остается "развернуть' этот угол на всю верхнюю полуплоскость, что осушествляется функцией ( . я'-/ ~Ф дав йГтш/ ° — / В+4 Окончательно одна иэ искомых ф нкций ~ г-1~~». другие содержатся в формуле ац|+ ~ ь~~ - -—, саГ+ кт где а., р, С, й~ подчинены укаэанным выше условиям. 4, Отобразить на верхюою полуплоскость полосу шириною Я указана„ю на рис. 19.

Решение. При помоши вспомо® -хы М гательной функции 6~~ ж с я поворачиваем заданную полосу около нулевой точки на угол а( по часовой сстрелке, чтобы совмес1шть нижнюю гранину полосы с вешественной осью ~Р " ® плоскости Ь/, . При помоши второй вспомогаР, 19 ис. тельной функции Ь~~ = — $~~ пре- л образуем полосу шириной Ут плоско.тн Ь~~ в полосу шириною~~ плоскости Ь~~, Наконец, прн помоши третьей вспомогательной функпии ййб отображаем горизонтальную волосу плоскости $в~~ шириноюЯ опираюшуюся не еешественную ось, на всю верхнюю полуплоскость плосхости З,Г. Окончательно находим искомое отображение йГце ~ ~ =Е Е '"к 4 (ккхгж-Е ух~м~Ф 5.

Отобразить на веркнкяо полуплоскость изображенную на М О рис, Ю горизонтальную полупо- Е попу, Решение. При помощи ю <кв( вспомогательной функции Ьттеа-/-В сдвигаем полосу втщз и влево, чтобы совместить ее е|жиюю С х т' Х гращшу с вептественной поло- й жнтельной полуосью, а ограничивающий попуполосу слева от- Рис. 20 резок прялюй, соединшощий точки й'шутьь н йгга/хт%, - с отрезком ~0 яЦ мннлю» осн. Х = — $Г При помощи второй встюмогательной функции й~~= у еобраауем полуполосу шириной в две единицы в полосу шириной,ут ° опирахитуюся на положительную вещественную п лу по ось плоскости й/~ . Наконец, прн помощи третьей встюмогательной фуштпни йlл Сгт те~~ отображаем полуполосу плоскости тт/ на всю верхнюто поьуйлоскость плос стъ плоскости тьу (см. вьше отображение, осу|а мгтвляемое функцией ь/ш Сути ).

Окончательно функция, осушествщпошая искомое отображе- нне будет илтеть следующий вид: ~усь — '(х-/-т/1=-Бух~уте В1 б. Отобразить на вериною полуплоскость часть плоскости, лежащую вне паук каспюшихся окружностей (рлс. 21). Решееяие.

Подберем такое дробно-линейное преобразование, которое стобразнло бы обе окруж- ности в прямые. Пла етого до- I гтаточьо отобразить точную а0 в точку дГ тшее. Кроме того, если мн отгбпьэнл~ то ~ку г ш-~ в точку ду'г -" С, а то"ку ж~=-/>ь, то левая почуокрух:погть отт браэнтся в Рнг. 21 -в д/; шГ, ветпегтп плтхх х ь пл х.— ч1 кости б~, Таким преобразованием будет преобразование Е+Л ~| =ь —. 1 Поскош,ку точка касания окружностей отображена в бескош чно удаленяую точ1~, вторая (правая) окружность отобразится в прямую, параллельную вешественной оси плоскости Ь_#_у; поскольку точка б=г этой окружности отобраиаетсв и точку ЬГ~ и Г Ь1 ЭТОЙ ПряМОй будвт ПряМая ДЮ уг.

1 иепоеательно, вся область плоскости В, лежашая вне заданных кружностей, отобразится (еслн учесть направление обхода гранины) в горизонтальную полосу и ~оскостн й~~ шириною в две еднникы, онираюн1уюся на вешественную ось. Чтобы осушгствить искоыоэ отлбряженне на верхнюю полуплоскость, остается увеличить ычрнну полосы до Я' прн помоши преобразования ьГ= з~а~ .

г н от~ 1рээить полученную поносу на всю верхнюю попупдоскость агг 1 и помоши преобразования й/я и Окончате1г,яо искомое преобразование осушествпяется при '~; гьг к кк п~ фунхш1н а/я 8 Ъ, а также всякой функпней аау а — — при вешественных 4', а, с, 1к н при дтпл-~ л9 саге Ф О 7, Отобразить на верхнюю 4 попуплоскость часть плосхости, М пежашую вне окружности /8/я/ Я разрезе~ вдень вешественной Г~~ ПОЛОжктЕЛЬНОй ПОЛ,.ОСИ От тсяхнйа1 о ~ й до й ае (рнс, 22), Решение.

При помоши функ- ( ~~ ~ ж Ф~ обпасчь иа часть верхней понупдосРис. 22 кости плоскости йГу, лежашую вне окр н / Я Затем, аналогично .'римеру 1, подбираем дробно-линейное шрч. ованне ЬУа а)(/и/'/, которое отобгпиазило бы лежашне нэ экружности /ь~ /а у точки ау)'я-~, аууиЕ, Ьу =/ го зэетотвенно в точки а~г я0 Луг жг Лу а ае а вше г ю х ш и кружность - в вещественную положите, ьную допуось плоскс- ~ .н ьгг 1 таким пРеобРаэованнем бУдет пРеобРаэование й4 т/ ьУг я с' .

Это преобразование отображает часть ве- рб -у ленной ося плоскости, лежашую ене о.резка Е" ~ /./, на 1 во|о положительную мнимую полуось плоскости ~,~~; поетому интересующая нас область плоскости,а/'~ отобразится на' первую четверть плоскости ~,~~ ° Накален, преобразование у,/с ду х отобразит первую четс верть плоскости ауа на верхнюю полуплоскость плоскости аГ. Окончательно приходим к следующему виду искомого преоб- разовения (одному и бесчисленного множества возможнмхН ~ ~4" ~-//~ « ~„-/l ' ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (Варианты 1-ЗО) зщоьа ~ Выполнить укаэанные действии иад алиными комплексными п«ломи ~ю и К~ Вор а) Построить область плоскости Е, определяемую данными неравенствами.

Гранняы, принадлежащие обнести, я.образкть сплошными линиямн, не принаддежашие - пунктирными. б) Найти область плоско<ли у,Г, а которую отображается с помошью да~ нои функ)шн Ъ/'=~(Е/ заданная облас1ь Д плоскости Е. 3 д~ и 4 Проверить р гулярность функции Д/в~~р/ н найти ее лроизвоаную / ~~/ (в случае регулярности). Проверить, люжет ли функиня а(Х,~/ /йг/~,ф/быть вешественной (мнимой) частью регулярной функини ~(р) н если 'может, то восстановить эту функшоо. 87 Найти круг сходимости данного степенного ряда н исследовать сходимость в заданных точках (' сходится абсолютно', 'сходится условно", 'расходится'). Найти исе разложении функпии ~(У/ по степеням укаэанной разности Я-Я .