Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976), страница 5

Вычет функш~и ь/жу® в сню- бой точке 3'а17 обозначается символом жсз /(Еl; таким образом, Рею~/е)з ~, фу'р/дт Юля определения вычета функнни нет необходимости ьычислять этот интеграл, так как вычет функпни йГ=~(~/ в особой точ/ ке йиФ равен коеффнлиен|у С упри — в разложении данной я-а фунюшн в ряд Лорена в окрестности атой точки: Реу ~(г/= с,, Ф Этой последней Формулой, как правило, пользуются лишь для определенна вычета в сушественно-особой точке.

Вычет в полюсе гп -го порядка, находюдегося в то.;енсу, можно определить, не разлагая функшпо в ряд Лорана, пря по- моши ~',ормулы % дтЕуфг/а — йЮ вЂ”, (д-а/ ~(г/ в честности, для полюса первого порядка (пря лужу ) имеем Р5На)оа 1(е- 1НЯ)1, Если функлия / ( Я ) может быть щедставлена в виде®а (уй1 Мд и точке явй' являетса 1юшосом первого парадна длв ф ( и ), причем (Г(4у/~ВО . а для )р (я ) точкауаа' служит простым нулем /р/а/жц )В(ку/Щ/, то вычет в точке я аФ можно определять йо еше богше удсбяой формула 4'бафии/ ф-/- ° я-а (р'(ку/ Что касается вычета функннн В~а/(К/ в бесконечно удаленной точке, то определение его черен интеграл остается в сш~ш, но в етом случае в качестве контура, окружающего особую точку, следует взять шобой замкнутый конт,р, на котором н вне которого у функшш нет никаких особенностей, кроме самой бесконечно удаленной точки) обходить этот контур при вычвсленвн интеграла надо уже не шютив, а до часовой стрелке (что и дает положительное нл.травление обхода бесконечно удаленной точки).

для отыскании вычета функили в бесконечно удаленнгт точке обычна польэуютса тем, что етст вычет равен взятому с обРатным онаноы кош)фпниенюУ С у пРн -Х (нлн а- ) в Раэ,у-чу поженив фут-инн в ряд Лореяв в окрестности бесконечно удаленной точюл Еи~фЮ/ш- С р у роме того, вест вычет можно найти и на основании следующей теоремы: сумма вычетов онноэаечной регуларной функлнн во всех ее нэолнрованных особых точках (пошосов н сушествгпных особенностей< чяслэ которых предполлгаетсв конечным), включая н бесконечно удшшнаую точку, равна пушо.

() силу етогс уат ВЕЗ~(г/ш-~ ЕЕу~(а), Са а ~ау Я=4~. у где в правой части суммирование расы .зраняется на все особые точка у ( а ), лежашие в конечной,эсти плоскости. Следует помнить, что вычет фун~ ..н в бесконечно удаленной точке может быть отличен от нуля и в том случае, когда в бесконечно удаленной точке функшш регулирна. Прнмеепы 1, ~(Я)ж — — Хс~у — . / .

у (I-;й/' Особые точки етой функнии~ 1) РжО - сушествеино особая аонк» у у у у (так как тих-а — — — — й т — -.,- разложение в ряд Лорана й У .4.~ а в окрестности точки Ра(у содержит бесконечное множество отрннательных степеней и )1 2) ~= / - полюс 2-го порвана (так как йлт (~-~/)'~/а)вСи ',утуу$- а,тюl). Г" у ю у Бесконечно удаленнаи точка для данной функпии служиу нутж лем Зм.о порядка (так как сЬт г у(й/ейи — ~ — — ~-=у/. в т ° (у-а /с Х Находим вычеты /(Р/ в точках уа(у, И'аI, Фаае .

1) Вычет в точке ааО . Ишем раэложенне 1((Р/ в ряд Лорана в окрестности точки ра(у, так квк Ау С(й/а ~. т е ,у( ковффипиенту прн -с в етом раэложении. Г Имеем -Р 8 (у Е/г — в(у-г/ = Мг аЮК "... У /~г/= — л т — +Ъ "М е.../~ — - —— / ~Г-~/а б' '" ~ ~.У ~Ф Ф7 Ф " Определяем С .' С а1- и —... Н + ф7' ° ~, с ССП У / / -у -г у~ чт ''' ~/ ф7 Итак, 2) Вычет в точке реУ определяем по формуле й~~~ю) ф8о Яа-ту(с)=ам~-(з~ — — ~~ / ! ж кй2тт дар — ~У- — /ж -д!дг У г-у ~ ~д/ Э) Вычет в бесконечно удаленной точке равен нулю, носко!в*- ку ета точка является нулем выше первого порядка (раэложение в рнл Лорана не сс ержит положительных степеней Р и начинает- ги с члена -к- ° где л' ну ° т.е.

С уаФ), Итак, к ' лег(й/ =О. !!поверяем по теореме о сумме вычетов Рея ~(а/ й Уей ~(г/+ Гелаев/ = Р, Р~!у д'с у Нж ае а у/ '(-бар// '0 жО, 'Теоремой о сумме вычетов можно было воспользоваться, чтобы более простым способом ою~>еделнть вычет в точкеулО. /(р/ж г р,г/й Особые точки! )) РвО - существенно особая, так как оаоложеине ряд Лорана по степеням Е функпии ~ е имеет -и у / / Г г,дулг р г' г)гж+/ - - 2 рг Н свмом деле 3) Бесконечно удаленная точка является дпя /(йу нулем 4-го порядка.

В самом деле, Еу„~~Уф(аСЬу ~, Е '=~, уу ~с~.й Отысканне вычетов, !) Вычет в точке Е=б, Ишем рпэпоже~пп т~д/ по степеням Р: у ~/Р) - 1+гав Р+ Ма l — г~ 'ф+~~"~~'+ 4~~ — +-7 — — — +.../ 1 -- / / / ~~ ~г/г =, "',и я ~н уу~л юу д~ = - .у ~ Ф вЂ”, ~ у7 с уу ° ° /= —, е . 2) Вычет в точке рв/: / ГГ е ' г -й7 Р Ггпу +(Е д 3) Вычет в точке рс-/: г ° -сч ~ой~)=-т Ь" т~~~'4~~] — й~ЯР ~ е ~ -у ~а- Г~г (я-у/' (~-4~ а! Тах каи л — ео явлнется нулем выше первжо порядка, то ,ее.уфой/=о. 1!роверка: Рб~~~Е/тКсЗЯЕ) йРСЬ~(~)+РаЬ~~Е/=О йэО К -у йэ — — е+О е-~-е +О ш О .

Г Как и в предыдушем примере, последним равенством мошно б~ ью воспольэовать я для отыскания более простым способом ю ~чечэ ~(Е/ в точке Е=О . и й. Вычисление ннтег алов от е л ных нкций ком лехсног пе еменного по эамк кон При вы .исленни интегрелов от регуляр ых функш~й по замкнутому контуру следует испольэовать либо теорему о вычетах, либо интегралы ую формулу Коши, либо формулу Л -й производной. К ~вй))ема о йычеттахх. Если на контуре с функпия /(Я/ реч улярна, а внутпи его имеет неустранимые особые точки (полюсь. нли сУшественно особые точки) йт, ДАУД, ..., КУэ, то $~(а,н -гт'Уа. На~.

С Кау г 'ал Таким образом, для применения теоремы о вычетах надо~ а) убедиться, что на заданном контуре(", фуншшя регулярна) б) найти все изолированные особые точки функнии, лаявшие внутри контура ~; в) определить вычеты функпин во всех этих точках. 2, И г ш ная ла Ко н ее сле вие (форь ла и -й производной). Если на контуре С и внутри его функпня т(с/ рогулгрна, то б) ЬГя )/Е ( уу - целое положительное число). Эта функция осуществляет преобразование, обратное предыдуцюму. и др, ~~,э ггу ° ':., и..

формном отс6рвжвнии обычно используется первая изп ветвей втой многозначной фунхцин, т.е. то значение ~ф % 'аргуМент хоторого равен — а,ЪО р. ° Е ГУ ку в) ьГиЕ Эта функция отображает прямоугольник плоскости г ° определаемый неравенствами йь'.Ф аз, -.Фа ~я~ <уй сЯ; на кольцевой сектор плоскости 1,Г, определяемый неравенствами Е".с~ВГ/~Е~, суаарЬГяГК (р . )З). Рис. 13 Наиболее важный частный случай1 горизонтальная полоса шириной у, опираюшаяся на' вешествениую ось плоскости Е ( — ео < х с з, Оа~бЯ/, при помошн показательной функции ьГз~ и отображается на всю верхнюю полуплосхость плоскости ьГ .

г) ьГ= Бтг Логарифмическая функция осушествляет отображение, обритное предыдушему. В частности, функция ьГ=йтб отображает всю верхнюю полуллоскость плп кости б на горизонтальную полосу ш ~риной.», опирвю~пуюсе на вешествениую ось плоскости 4Г т.е. на полосу — с з < и с е, б) к тУ кЯ; д) цГл.гкг~г Функпия ь/н,рлдн отображает вертикальную полуполосу шириной;а плоскости Я, опрепеляемую неравенствами -фа юб'у г дб~к . У' па есю верхнюю полуплоскость плоскостн ЬГ (рнс.

14). Рис. 14 Функпия ЬГпбуаЯосушествляет аналогичное отображающие со сленгом вертикальной полуполосы плоскости й на .ю1~~ влево: -Хб~б0> Об~< е) ЬГп 448. Эта Функпня отображает горнзонтальную полуполосу ширин,ноК плогкостн 4', опрепеляемую неравенствамп дкдс а, б)бф 4,$, ил всю верхнюю по~~гпноскость плоскости дГ (Ьпг, )б), Рнс 1б Аналогичное отобршкеине осушествляет функпия у,Г= аэт2 со сдвигом горизонтальной полуполооы плоскосчп 2 на ' вниз: Ой,ь С ае ' бак Я Х Я е е ем оби нейной Пд~имедэа)щй. Пве точки называются симметричными относительно данной окружности, если они лежат на одной и той же полупрямой, проходяшей через пентр атой окружности, и произведение их расгтояний до ш итра окружнос1н равно квалрату ее радиуса) таким образом, если уравноше окружности /2-ку/вж, то тсчки 2 и 2, сунут симметричными относительно данной окружности прн /2у-а//2а-а/иК /атум, -а/си й/2 -а/.

Симметрия относительно прямой (две точки, лежании на равных расстояниях от прямой на одном порпенднкуляю к ней) есть частный случай симметрии относительно окруж- ности полулл о— полтплог- в) Пробно-линейная фуншшя отображает верхнюю кость плоскости 2 саму па с~ бя (тлч па лерх~еч~ же кость плоское и $,Г ) в еом случае, когда сч',,/3, шгствелпые чп юю и а( /- /)/ Л О. сР— лг ей.,(.И жук — ~~в —; Ф '" — ~ Фа" /'. О(2а 3 Р-Ф - еК ,~2+У 2-Ф а) Всякая дробно-линейная функшчи отображает окружности плоскостн 2 в окружности плоскости ыГ; при этом прямыв следует рассматривать как окру:кности бесконечно большого радиуса, иными словами, как охружности, проходяшне через бесконечно удаленную точку плоскости.

Таи КаХ ТОЧКИ 2вКу И 2= В ОтОбражаштоя СООтавтотВЕННО в нулевую и бесконечно уваленную точки плоскости ьГ, то любая окружность плоскости 2, проходншвч через точку 2=~~ отображается в прямую плоскости йГ, а окружность плоскости л, проходяшая и через точку 2аку и через точку 2а д, отображается в прямую плоскости ьГ, проходящую через нулевую точку.

б) мве точки, симметричные относительно некоторой окружности плоскости 2, переходят в две точки, симметричные относительно отображения этой окружности в плоскости вГ . Ппцмеечшще. Естественно, таким же свойством будет обладать и дробно-линейное преобразование, параметры ко- торогоМ, ~у, /~, К) раппы проиэведению некоторых вешестаениых чисел на одно я то же комплексное число4 айУ. Поэтому, если отображение некоторой области 3 плоскости й на верхшою полуплоскость йГ осушествляется дробно 'лиачй Юй пенной функцией ЬГш, то такое же отображение будет ~'б ад' осушествлятъса и всякой функля.й айГ~ Ф ьГ г СьГ а~ гце а, Ф, С ° 1 - вешественные числа и ФК~- Фб > О. г) Частные случаи дробно-линейного преобразования. ьГх Я+су ( й' - любое комтшексное число).