Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976), страница 3

Йля точек, ие лежацих на окружности кру а сходимости, вопрос решается сразу» известно, что во всякой точке, лежащей внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсо»потно, а во вснкой точке, лежащей вне круга сходи- мости, степенной ряч расходится. По поведению на само>1 окружности круга сход»»л»ест»» степенные ряды могут принадлежать к одной пэ ледующих трех категорий: 1) во всех точках окружности .руга сходил»ест»» ряд сходится абсент»»о; это будет в том случае, если после подстановки в ряд модулей' зла .ания /г ->Я/ж,ч» получается сходящийся зиакопочо>к»»тель»»ый ряд; 2) во всех точках окружност»» круга сходимости степенной рял расходится; это будет в том случае, если после подстановки в ряд модулей значения /Я -»й./а >к получается расходящийся элакоположительный ряд, рвсходимость которого обусловлена невы- по>»»»о»»>»сл» необходимого признака сходнмости, т.е.

рнд, в которо» Ыуу и„.О; г»» 3) в одних точках окружности круга сходнмости степенной ряд расходится, в других - сходится у ловко. Это будет в тол~ случае, если по».ле подстановки в ряд кюдулей э»»ачен»»я/й»ч3./=>(» получается расходящийся энакополо>кнтельный ряд, для к»орого, оц>»ачз, необходимый признак сходилюстн выполнен, т,е.»22ууС>' а(7„ >у-е а В силу э. >го лля исследования сход»»л»ест»» степенного рида в точках, лежащих на окружности круга сходчмости, иэдо прежде всего определить, к какой из трех категорий пр»>»»вплел»»»т задана гй ряд, т ".

и».следовать сход»»л»ость ряда, абра»иван»»ого нз мо- 20 дулей членов данного ряда, при/~-д/в д (радиусу сходимости ряда). И лишь в том случае, если данный ряд прпиадлена~т к третьей из указанных категорий, возникает необходимость подставить в ряд значение ~, заданное на окружности круга сходимости; после подстановки надо в подученном ряде отде:шть пошесгвенные слагаемые от мнимых и исспедовать сходимость получоиных числовых рядов — ряда иэ вешоственных и ряда пз мнимых спэ1 аемых членов исходного ряда.

Если хоть оияи из . тих рядов будет расходишимся, то расходится и заданный ряд в иссл~ дуомой точке; если же оба эти ряда сходятсг., то и зад:ишый ряд а этой точке сходится (причем сходилюсть эта будет >споьгэй, так как ряд модулей расходится). Попмеоы и-'! ~! о , , * »» Е Ь Установить, сходится пи ряд в точках йз/,~С, раГс, хтаж и если сходится, то как - аосолютио ипи условно; сделать понсняюший рисунок. Решение. Записываем ряд иэ модулей чпеноа данного ряда ° е ф~, а/ э ят утд "Леото Применяем признак Кош1п Итак, ряд сходится, если /й-с/с/; радиус сходимости Кзу Исследуем поведение ряда на окружности круга сходи 'ости, для чего подставляем в ряд модулей членов данного ряда ж =/ вл|есто /у -б/; по.'учаем ряд,Л' это сходяшийл и ~д+лбтл ся знакопопожительпый ряд, так как порядок малости члена ряда по отношению к — равен двуль гу Таким образом, заданный ряд сходится во агах точках окружности круга сходимости и притом збсопютио.

Строил~ попсняюшяй рис. 6 и отмечаем иа ием эадщипне точ ки, 21 Рис. б Прнменаом признак Коши Заданные точки Р в /зе' и Ежов лежат на окружности круга сходимости: в ннх ряд сходится абсолютно. Точха ~аз %ежит вне круга сходимостю в ней ряд расходится. ~(Е / "ф + /л+ыт4 сходится лн (н как) ряд в точках УиЛ~о; Евд; хте-у 7 Решение. Записываем ряд нз модулей членов данного ряда Е /б-, - г.'/ х~ т' /Лу уг.'е'ц/ з — /г -/-:/ п з бФ/~ -" — Йю юш =/). Л ае Ю ае /г-г-: г Ряд сходиъзя, если </ ° /я -/-,./<г. Таким образом, Яж3.

цсснещ м поведение ряда иа гранина круга сходимости, дня чего в ряд из модулей членов данного рюю вместо /Е -/-а/ под° ~жг. П.. 8з ° е ~ ав / ю у у /ю .хйкгюф) тлу Iу + Ф/тФа( Это расходюнийся знакопопожитеуыный ряд (тах как порядок сбшого члена ряда по отношенюо к -4. равен едиюшэ), но 1Йутт а, ж(у /7 ю е~ Поэтому заданный степенной ряд в одних точках окружности круга сюшимостн сходится (условяо), в других расходится. ))внаем пояснюошнй рис.

7 н отлючвем на нем заданные точ- юв В точке Е аД, лежащей внэчри крэга сходцмости, ряд сходится аб~тно. В точке Ее -/ ° лежащей вне круга сходимости, ряд раскоднтся. Точка Еноте~', лежит на окружности круга сходимости. Подставляем ее в исходный ряд =Е ~Р с-/- l " г'" ~т у ф ~гу+Хьлйг~ гг=у4' ~~АЙМау Рпс. 7 ряд расходится. Итак, в точке Е жонас ряд расходится. /7 Е Ф ас,'/п 3) ~ сходится пи (и как) ряд в точках в*у ут ~г ЕкЕ+Е~ р Е Ор Е +о Решение.

Записываем ряд иэ модулей членов данного ряда т ~7/Е-ст" о/ 5",~Б+/ Применяем прнэнах Коши: '/ l /г-ге ./ Ряд сходится, если — к/или если /е-Еео/сЕ. Л Таким образом, рапиус сходимости Е=д ° Исследуем поведение ряда на окружности круга сходимостн, для чего подставляем в ряд модулей Я=5 вместо /Е -ЕФЕ/ ЮО > получаем ряд ~ —, который расходится, причем йгту~2 /7 л "=у ~Й~7 /р -ю» —, бу.

)/л~/ 23 с, »» шн~ л "" "в ности круга сходимости. Лелеем поясняюший рис. 8 и отмечаем на нем эвданньш точки. Э Точка Е 0 лежит в>ртрн круга сходимостн: в ней ряд сходится абсошотно. Точка Яэ~~~с лежит на в ной ряд (кои доказано) расходится. Точка 8'и†~- Ф ~,' лежит вне круга сходимости Рис. 8 (так хах/- +С,-~4ь/ж/ ~Я/ш~ ~~а рЯ), следовательно, /г в этой точке ряд тоже расходится. 6 7. Ра.ш жение н й в степенны ы Пусть требуется найти все разложения заданной регулярной функпии у,/'-~® ло степеням разности Е-~й лрн заданном значении д..

Йля решения этой зедачн необходимо поежде всего определить все изол~ровапные особые точки данной функпии, т.е. все точки, в которых функпия перестает быть регулярной. В подавшпошем большинстве случаов это те эна"ения аргумента, лри которых фунхш|я перестает сушествовать, в частности, значения г..ременной аи, обрашаюшие в нуль один нэ знаменателей проб й, входяших в еыражение фуихпин. Особылш в силу нарушения регулярности являютсн н те значения т, при которых перестшот сушествовать пронзав иые даь ной функшш, начинен с некоторого их порядка (это относится, вообше говоря, к июгсэнлчным функпиям кохшлокснсго переменного). / Так функш~и а/к — 2,Гж у~-~1 ъЬшЕ имеют осо- ( Я/уя л Ф -хгт ед бенности в точке рж О; функш~я бГ= — икюет особеиносчп —, у~~г в точках яд ад', функция дуи ~/~"~~ имеет особенности в точ- ках Е = ~, д я — у — (так как в этих точках перестает сушест вовать первая производная этой функшш).

После того как все особые точки данной фуикшш найдены, дпя отыскания всех ее разложений по степеням разности у-с7 нодо построить вспомогательный чертеж. На чертеже иообходимо: во-первых, отметить точку ив~у, и все особые точки заданной функшш; во-вторых, построить ряд вспомоготольных концентри- ческих окружностей с обшим центром в точке два,, на кот рых лежат особые точки данной функции. Эти охружности рп юбьют всю плоскость на ряд областей, первая (считая от точки Е = ~~ ) область — круг, окружность которого проходит чороэ ближайшую к точке Яжм. особую точку / ( Е ); даш ше идет ряд концентри- ческих конец, на граничных окружностях которых нежат особые точки ~ ( Е ), все более и более удаленные от точки й~ = Я Наконец, последней (внешней) областью будет вся часть плоско- сти, лежашая вне окружности с центром в точке бжд., проходя- шей через наиболее уцененную от точки Еей.особую точку у ( Е ), т.е.

окрестность бесконечно удаленной точки. Внутри каждой из этих областей Е ( Е ) уже не имеет особых точек и остается ре- гупярной. Исключение могут состаппнть лишь первая область (круг), если сама точка Гжм. является особой точкой )б ( Е ), и последняя внешняя область, есин бесконечно удаленная точка плоскости также явкяется оссбой точкой у ( Е ). В каждой иэ этих облает и ~руикция т ( Е ) имеет свое разпожеине по степеням разности ж-д,, которое бюдот разложе- нием в ряд Лорана для всех областей, начиная со итооой. Лля первой же области это раэпожоние будет разно кением в ряд Тей- лора, если точка Я=й.

будет регулярной точкой у. ( Е ), и разпо- жением' в ряд Лорана, если точка д дСВ будет особой точкойу ( Е ) (именно последнее разложение есть разложение функции в окрест- ности особой точки ~ж Я; разложение же во внешней последней области есть разложение в окрестности бесконечно удагениой точ- ки), Само разложение по степеням разности ~-Ф в каждой нэ перечиспенньгх областей удобнее всего н:.ходцтчь цг |опьзуя иэ- Ьтау ,и'.~ти = «' ~-у/ («р « /ку/« 'о/. 2 л, Ггл~//.у З.

бтрижД ~-Г/ р ~ау// Фау и 4..у~ 0 Е (г ;г/У и~" (гл77 ~о « /и/с /. (бУ «/у~/с /. (йуб/и/« ' / В.,'!+и~ =Е С и"~0«IИ/)Сl. уу- б Ру. / — = Е и~ = Д ~-1/ и ~Оа/и/к4. У 4у Пар /з~ йу (Это частные случаи лредыдуиюго разложения, «юбепно часто используемые пря раэ~кюкании функпнй в степенные рады.1 я ~~[~+и~=Я(-</ ~ — ~04lиl Ф). аеу Л вестимо из теории рядов разложения в степенные рады основных элементарных функпий и применяя в некоторых случаях дополнительные элементарные преобразования - разложение на элементарные дроби, вынесение некоторых множителей эа скобки и т.п. Ниже приводятся разложения в степенные ряды рсновных влвментарных функпий, в которых переменная обозначена через~, чтобы подчеркнутч, что втой переменной может служить не толькоу-«й илн — Х-, но и вообще любая функпия ото .