Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976), страница 2

2 Рис. 2 Рис. 3 2) .( /Ед-1у/к ~ .Еег Г. у г Ре|пеиие. Кривая /2' -ф/иф - это пелшиската. В самок~ де по р г2-~ =.я:~-у~- Ф НГаХу; /~'-4у/ж = ~~311 й-В(х' ~~)+Я гФ~3~ ' - Р/ /Е~-~/с~ пли /х н~~у"и/ -с~/с -ре/т/6 ж/6, Таким образом, (.с гу / е/~~ -уЛе Точки, удовлетворяю:ипа неравенству /Е -ф/4 / лежат па лем и:скате и пиутри иса. !!шй,и енстао А~ГГ > / определяет полуплоскость .Х е/. Строп «рпс. 3.

2. Отм очтю обш1гт1 плоскости )ч/ в кото ю стоб ажаотсп с полю; п,ю / нкиии ь/и и за-пиная область плоскости Лля решения этой задачи пало прежде всего найти уравнение (в декартовых координатах) контура а„, ограничиваюшего задан ную в л скости Е обла ть а) . Затем, и: пользуя заданную функшпо д/и//Е/ ~//4;~/ФЕ/е/ееф и~разить.К' и ~ через и и гг, внести Йк значения в уравнение контурна. и текил~ образом найти уравнения контура Е,/ плоско стн М.Г, в который отобрахлаатся контур ~ плоскости Е После этого остается, используя те или иные элемеитарнью сообра1кения, установить ту область плоскости й/', ограниченную контуром к',/, в которую отображается область й) плоскостиЕ Пои маапыы 1) Не"ти область плоскости б/, в которую прп полюши функш~и д/и Еи отображается облает плоскости Е, определяемая неравенством /Е -//Е /, Речкние, Контур Е, области х) плоскости Е определяется уравнением /Е~-//и / или (см.

пример 2 предыдушего пункта ) уравнением ( с ~р//ж Г/~ ~/ (лемниската). г -.Едж г г Но йlжЕ =~ - ~ 'л~л ~~; таким образом, г /иг и~ г/лЕ/и/е/' .т'~/и/ и'-уй и и . Поэтому уравнением контура а / будет К/ г Ф и э Л/ (окружность с дентром в точке ййя/, Фюзи С радиусом, равныл~ од1шиде((а/-'/и е й/ и -" / /. Точки, лежв1ш~е внутри лемииска- 10 ты, перехгчят во внутренние точки окружности. так как, например, точке,с'= / соответствует точка ь/ж/. Таким образом, область плоскости Я, определяемая неравенством /аз-у К /, отображается в область плоскости й/", гГ определяемую неравенством /й~~ к ~Р~д/" Прлыечанле зта задача может б ~ть решена быстрее и проша, если срезу в исходном неравенство/~з -// к/ заменить с е через ьГ: /й/ ~~ х / Это последнее неравенство определяет точки, лежашне внутри и нв окружности радиуса 1 с пзнтром в точке ь л/ Стронь поясняюшнй рис.

4. Рис, 4 2) Найти область плоскости ШГ, в которую прн помоны функш~и ь/а ~г отображаетсп область плоскости ~, определяемая неравенствами /жила/ ь Ст; 1Эпзй/бй . Решение. Контур ~ области Э плоскости у определятся системой уравнений .сл +Й' р ~=Л7 ) таким образом, вто квадрат с нентром в нулевой точке. стороны которого (длиной 8хуД параллельны вешественной н мнимой осям. Иэ равеяства йГ" у,й м Хли~-т/й; (г гии.

Ф Таким образом, контур ю области Юу плоскости В/обра- г г . г г эовен дугами кривых О - Фг л Ху~ Ху - Ф = -я ' ГЛ/ш-й-,' ГИ=-р все четыре кривые - равносторонние гиперболы, полуосями которых служат отрезки длины тех 1 ограниченная этими дугами область - криволинейный восьмиугольннк с пентром в нулевой точке плоскости б/(твк как внутренняя точка на д отобража- 11 етсн в точку д/- ~), которая должна также лежать внутри соответству1ошой области плоскости ь/ ). Строим поясншоший рнс.

б. Л к ИА.Уг Рис. Г й 3. Вычисление значения нилин комплексного переменного Для е шнсления значения функнин при заданном значении переменного Е следует, подставив в выршкение функш|и заданное значение у , отделить вещественную часть ~т мнимой, пользуясь невесту лчи свойствамк соответствующей функиии. Ниже приводятся основнъ|е формулы, выражающие свойства фу й Е~ .уч.'пг, шит, Л$.й, сеа,Аг: ш Еу "да ~А~ а 12 Есл с ак ас,Е-хи 4.

хи*г —; нкк Л: 5. Фт (Еу хЦ=УЮЕ СИЕх ЛЫЕуФУЕЕ ~ ~1У1 у(-Еау с з (~~~~~а ~.Ук~т О..МЕ я С~Е е е~-е е ~е г Е .1у~ ~е, + е (= мухе, с,бя е с~г о3 С~~Еу+гг(=СЬЕ,Сйгг МЕ Мг . ~5сггаЕ =Ед~Е; сюусЕ =~фЕ ° У .Мс.'г =сАлЕ; а~ЕЕ ~й2уЕ. 9. Йг = Б/Е/ ~ ~,аУЕ ( пгл Й~~/+ о~а уЕ 'Ел у/= й/а(+ ЕЯ~рг, При ечание. В формулах 2,5 и 7 верхнему знаку в ле- вой части соответствует верхний знак в правой, юокнему— нижний. П9илшры Вычислить значении функний ~~Е/ при данном Г 1) ~/Е/=фЕ; Е= ф Решеш~е. Г- у ., 11; ~ф"ч / лхг 1-Ь— ' 'й-ЕЕ су Ф Г~ .~Е1' .у-а'г г;Мг ~~М'~ ь Юг,г Ре~леш~е.

~я~- т ++~l -С~~-~/~~ у а,р~/~- ~~~я — л У Ф Г =Мг ~-„- "йгзы — = — (сЬг-иЬ4. ,Г . Х' ~Г л) /М н~пг/ ~--у-ас. ~гуК = Ь/Я/ ' с'~~и г 'ГМУ/; /е/= /-К/~ ч~-lг/' - Уд; ~я О пр РЕа . О; ~ф7 ~н~Г прн РЕунО, ФЮглР С= Х при А'г <0, ~тана т н РЕг=-у<0 ФПг=-увтС О, С=-Х; а р сисф — -У=а ж~ 'У -к = ~а 1~~/Р~-.Ф -/Де/= АО ~'с:Ф вЂ” Ф ~фА -//ФФ., -~гУ эв ан ' нвщм ве не е рты ани е и а Лостаточные условия регулярнос;л фуннпни ~/л ~/й/л вц~(Хф/Фут)~~юстонт в следующени а) фунндин у/я', ф~ н ~~СфднЯегбн~.

руеыые фунннни ергуыеитов,С н~ (т.е. имеют непре- 14 рывные ча-тные производнъ1е поХ и ~/ ); б) выполнены условии д// ду/. ди Щ~ Коши-Римана: — и —, Поэтолу дпя проверю[ ре' дх ЗК'д~ Я.с' гупярности заданной фуйкиии надо отделить в ной иеш'ственную часть от мнимой и, если х/)Х у/ и г//Х, ~/ дн)фгропннруел~ы по Х и ~, проверить выпопнение условий Коши-Риммы. Ь тех точках, гд функшш ///Х~~// п тl/Х ~~/ не дифферендируелнн (в частности, в точках разрыва непрсрывиости функиий 4//Х с~/ и П/Х~/ ), фУнкипн М~= ~Я~/ заведомо неРегУ- нарна. 11ия отыскания производной функии 6Г=///й/ (в ви е функш~и от аргумента сч ) надо воспользоваться формупой ///~/— д// ° РФ' + Б -л —, положив в правой части .~ -.я «-ф, дх Фе Таким образом / //' /1 ф/~~ . Ъ/х дх " АФ Поилшеры / 1) Проверить, будет аи регулярна функиия еl= и и найти ее производную.

Решение. Полагая яе .~ + ф , отдепнем вешествеиную часть от мнимой: У . ~-~и г 4/=.~ ьа// . =.~" а// ~= й ~ аб ~Г-а- 1. Х+ У а Х,г,,~» Хг" М~ 1И Х'й У' И-к. б/(Х, //=.~-,~,; Кфф=у -ф-;- . //[Х,~) ~~,~/ фф ° и - 1о, в которо обе они претерпевают разрыв непрерывности. л) фф р руя, Ы» б~~~ лг ~»*- "' . д ж Ух /Х~~уг/и /~г,ууГ ' 3~~ /~георг/г я' 15 ди ~~/ сЬ Х ФЯ~- '/~~~У ~-~"~ ,~~ г ~+р /~~ ~+ г г+уя~г ~~~ г+ У * Условия Коши-Римана выполненъп Функция в/ни регуларив на всей плоскости ~, зв исключением точки ктвд Н входим у~~) = — + .

— =~~ Зи . Згг Х~- я . т.к'Ф дх 3Х /х~яс~фг (~г Уг)г ' В правой части погчгаем .Т =3 ~/=о/ / ст у/к(=/ г) фк/=А//„~ ( Решение. Ь/~1+Е~= Ь~~+~~+оду ~/фа) /ег/=,ы «о/=~~~и~' ф'; и/еу/гГч/~м/ ~ А//* г/ "~// > Юыу(~ех/гаиф — +- ~Г; а..с г юи Ах (г~вя~у~ ' ву /ав/ ~/~' Ис / ~~г 3~ У / х'~ ди Яи р~ г Услс ~ня Коши-Римана выполнены: функппя рсгулярна на всея плоскости,за исключением точки яа -/ , п которой производная не сушествует .гр,/ Ъ,„. Ь/ / ~я+41 л'у э Х=Р ~уэр | хН- '~ (~гу/а г уг фаР Ягу — =-,гжис~х . Я~/ ф к — =- ссьуФ~ .

р'г/' ф — = — ЛгУс~х,' Яи' Я.Г Условия Коши-Римана не выполнены, поэтому функпия ЯыждмМЕ не регулярна. 6 6, Отысхвнпе е ля ной ~ пкпип комплексного пе оменпого по ее ве ественн й пли кппгмой асти У~.левием того, что функция двух переменных Суу'ь,суу /илн е(.о,у/ I может служить вещественной (илн мнимой) истаю регулярной функпия комплексного переменного дl ш~~Р/= ~уу у/,>у у/у.к; у/, является следующее: и вещественная и мнимая частй регулярной функпни комплексного переменного должны быть гармоничесхнмп фунющями аргументов Х н ~~, т.е.

удовлетворять уравнешпо Лапласа д'и дну 3' у/ Л уу п — + — =О; — - ' — =д,е~я р~д,у г Я~с- Р lе— / дг/ 3) Проверить, будет лн регулярна фулкш~я дГ-" СО5с~ (здесь, как всегда, К дх - а1У ), Решенно. имеем уы =дцо(ь-афа гчэс ф, о~/а = Сс(у Юуо'.с -Л'тф'.уолдх = см~у сЬх —;.'~круМк . Текил~ образом, и~".~,У/=ааУ СВЛ.; Фт;,фе-.МУКАХ; функпип уу'.к ~/ и У/д;ф днфференпнруемы на всей плоскости, Находим частные производные Я:У ~х Если это условие не выполнено, то регулярной функпии с заданной вещественной (илн мнимой) частью не сушестоует.

Если оно выполнено, то для отыскания а/ - ~(у/ надо сначала найти производную ~/(~/ лабо по формуле Ри, й у/Д.р// - ~', Ф .б-г ~лр (если задана вошоственная часть), либо по формуле ~ фа // ~Ь ЗК( с — ео д (если задана мнимая часть). После отыска- Х (хс2 фВр ння у(2/ /(2/ восстанавливается интегрированием (поскольху правила отыскания производных и первообразных в коьпшексиой области то же, что и в вешественной). Постоянная интегрирования доба лается в виде ьЕ илн С в зависимости от того, что было задано: вешесгвенная нли мнимая часть. Повыевры 1) Может ли функция /l/.кф/л.Ыж.Робыть вещественной частью регулярной функииир Если может, восстановить ету функ- Ж /у~и Ыщцйщщ.

Находим и дд' Руд ~и ..Ж вЂ” =~я.а~У; ~- -ЛЫ2ИУ; —; = Ф~х,/у~/и; — = —.М.й.у уу. дкб р' айу2 Уравнению Лапласа данная функдия учоалетворяет, поэтому регулярная функния с такой вешаственной часчъю сушествует. Зи Ж н, у'(г/ = — - а— Ав ф зыд =(ЯХТУ-МБХ В~У~)~2 = -2'.У~~. 18 (рр Круг сход»»л»ости степенного ряда в комплексной области определяется так же, как и интервал сходимости степенного ряда в веществошюй области» например, при пол»оши признака 11аламГера ллбо при пол»онщ признака Коши (с радикалом), примененпых к ряду, обрлэовл»»>»ол»у иэ модулей членов да»»ного ряда, т.е. Л>и»»»солодова»»»»я сходпмости ряда в заданных точках роком>идуется построить на чертеже круг сходимости данного ряда /р»й/»,З (центр круга лежит в точке к> а»х, г"о радиус ра»н и радиусу сходимосю» ряда) и отметить на етом чертеже положение заданных точек.