Шостак Р.Я., Коган С.М., Хереско Т.А. Методическое пособие к выполнению домашнего задания по функциям комплексного переменного (1976)

ангввствр.вво внесввво в вредно- впеапввьпого обоввовяввв г "~"р Мввскоис ио е орасио Лекннн и ерно ~а 'групнвого Еиас~ го 3ианепн пввсиг-.-; техничесиое уиилвМе нм. Н. Э.. в нана Р. Я. й!остах, С. '~. 1,"оган, Т. й. Хереско 'ф) 1ОЯИЧс!" КОЕ ПОСОБНИК К К:4ЛО.'! НРК ИЮ ЛО1|ЛЩН ЕГО 3,'ДЪНИЯ ПО <~У~'",ЦИ<Ц" КОРйРДРКОНОРО ДЕРРЩРННОРО Уе.: вв Министерство высшего и среднего спелиельного обраьования СССР Московское ордена Ленина и ордена Трулового Красного Знамени в.:сшее техническое училише нм. Н.Э.

Баумана Р.Я. Шостак, С.М. Коган, Т.А. Хереско МЕТОЛИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛОМАШНЕГО ЗАПАНИЯ ПО ФУНКПИЯМ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Под редакнией С.В. Фролова Москва Редакточ В.М. Царев Корректор В.Т. Карасева Заказ ~3 З Обьем 8 !/4 п.л, л-ИНИ огЦВ~Вуог. ион трдоп, Тираж 3000 акз. Пвч.

1076 г. 1'отапринт МВТУ. 107005, Москва, Б~З, 2~ Бауманская, 6. Денное методическое пособие к выполнению домашнего задании по фуикпинм комплексного переменного иапаетоя в соответствии с учебным планом. Рассмотрено н одобрено кафедрой прикладной математики 22/Х1-1074 г., Методической комиссией факупьтеча ОТ и Учебнометодическнм управлением. ВВведе»е Нестовцее л»етодическое пособие преднвэ»шчоно для студен- тов, иэучвюших элементы теории функций комплексного пе»юмен- ного. Его цель - помочь студентам нвучиться решать простей- шие задачи тех типов, которые включены в домлшнее эоаи»по по теории функций комплексного переменного и обычно вкшо Ш- ются также в контрольные рвботы и эечетные бипоты.

Уквзан»»я х решению кшкдого типе звдвч снабже»»ы крвтю»м теорет»»ческил» введением, в которол» пргеодятся (без докчзн- тельств) основные положения н фор»4уль» соответствуюшего рнэ- дела курса теории функций комплексного переменного. В»гпзл» пособии двпы указания (с подробно рвзоброн»»ь»л»и примервмн) к решенно следуюшнх типов эвдвч» 1. Действ»»я н»ш комппокснь»м»» чиспвмн: умножение» деле- ние, возведен»»е в степень и нзвпеченне корня нз комплексных чисел, 2.

Геометрия нв комплексной плоскости, Рв»»дол содержит две зада и» ! ) построение области плоскости, заданной теми ипи иными нерввенствемп; 2) отысхвнне в плоскости перемен- ного у,/ области, в которую прн помощи функш»н ь»"и ~(ф~ отобрвжвется эвдвннвя в плоскости к» обпвсть (), ограничен- нвя контуром ~ .

3, Вычисление энвчений заданных функций ~(Е/ прн ука- занных энвченнял й» . 4. Проверка регулярности заданных функш»й кол»ппексного переменного и отысквнце их производных, 5. Восствновпение регулярной функш»и комппексного пере- менного по ее вешественной нли мнил»ой части (с предваритель- ной проверкой воэможности решения предложенной звпвчн). 6. »предепен»»е круге сходлмости степенного ряда и иссле- дование его сходил»ест»» в заданных точках. 7. Отыскание всех рвзпожений заданной функции по степе- ням разности и -»2 (при эадвнном »й ) с установлением обне- с»и пригодности каждого нэ найденных разпожений.

8. Отыскание всех изолированных особых точек заданной функции, определение их характера и иычвта функции в них; установление, чем для данной функпин является бесконечно удаленная точка, н отыскание вычета в ией. 9, Вычисление интеграла от заданной функции комплексного переменного по укаэанному контуру при помощи теоремы о вычетах или формулы Кошм, или формулы уу -й производной. 1О. Решение простейших задач на конформное отооражение: отображение на верхнюю попуплосхость дауугоньника (полукруга, сегмента, лунки), сектора, полооы, полуполосы, а также обпаотей плоскости, ограииченнъш окружностью и касате иной к ней, двумя квсшощил<ноя окружностями н т.п. В хонде пособия помещены все 30 вариантов утаерхденного дохшшнего задания по теории функций комплексного переменного отпельно по каждому из десяти видов задач.

6 1. е с и комплексны числа 1, Сложение, вычитание и умножение комплексныи чисел делается по следуюшим правилам: к«ж кю к«л Л (а„.~кУ ) я~ а„ест б'„ (а, о1,/-фг ек4/ (а, - аг/+ ~~~» 4/ (2,ест,'/~а,, оЮ)а~а,а, -Я/~ с(а~г У а~~,/ 2. Возведение комплексных чисел в степень с нелым положительным показателем степени производится ло формуле биноме Ньютона, причем степени С. 1мнимой еаюшпы) определнются следующимп формулами: ,р "у . «т>г .г .~ н.т .з ..ел'е.е ложу к «С «с ° с «в «у У У (л яу1, .../ Тек, ~а+о г/ жал+ яакб+ (Ео/г «а~+Мое бг ~а-Р)ейю~ (а '~/ =гуээЗа .об~З Ыц +~ р~ж го и' у„~' ~9',й~' д,~г/,„; у~г н т.д. Э. При делении комплексных чисел числитель и энвменатель дроби умножаются на комплексное число, сопрюкенное со онемелая е~юм; а, '"с',4 й;М4/(аг-с'~г/ ~~ +~'Уг (а +агг/Фг-с:4/ г ~«е у у „, а 4 — «.

4 аг б".г аг 'Р г г г 4. 11. *: кор»»н нэ коьшлексиого числа, Д ч б извлечь корень ут -й степени ( Л вЂ” пелое, положительное) иэ к мпш, ного числа ~ зд'е»~, надо прем»де всего представить его и пока гельной»(юрл»е гш гг'". с г блос». К и/~/д )»г ау (л»одуль комплексного числ.),)гл»ХК~~~» 1» л*»н»»ое значение аргумента кол~плекс»»ого числа, т,е. то значеш«. Ящу, которое удовлетворяет иерааеисжтвдтк —.У с ~к Я ).

у» л уро»»р»доляетця либо равенствал»и срХ~ж — = »Е Л'Гйт»Е шэх- - -» в,я, либо формулол С(шККтбЕл Ы Д~ й я »ч»е Ск0»»1»»» Хн01 С «Х пРн Х 40 )»нР ' ~'е -Т ри а<О и«О. »»Г Для отыскания всек значений ~~~7 надо воспользоваться 1~ л»улол К/~" кЛЕ/ а- З гу "» 7~угл У где к О/Г ...е»-Е. б)А ТаКНЛ» ОбразОМ, »/а ГС = /З8 ', Гда,/»я Уе (ЗДЕСЬ КОРЕНЬ ГтХ »»» ннмается в арифметическом смысле), а )й ш — »»вЂ” /т (»с =. 0,1;2, ..., »т -1). так находятся возет различных эначенил нскомогс корня.

фК Таким .браэом, асе»т различных эначениЯ корня ф -й степени нэ некоторого кол»»»лексного числа»н изображаются на плоскости комплексного переменного точками, лежашиьп» на одной и той же '»ружности с радиусом /ухнул/ и пентрол» а нулевой ючке. Поскольку же разности аргументов любол пары соседних (по окружности) иэ этих точек посто:нны и равны -~)- , эти ГУ точки явлшотся вершинами некоторого правильного ЕУ -утолен»»ка, вписанного в эту окружность (см. рис, 1, поясняюшнй пример).

Пример Лань» числа к» р»т -»,' ° Р, = -~ я~а рЯ ) ('е»»е)»ле» а) „у — (ц Е»; б) Е~ = с с'с1/5 к Й-' ~ Ю-' ~ (Б-.Ь-!Д) ъ'-"Ю ' ~' ' У * ~' ~37~ г ,) ~,= Д "с.'; !г,/=г ас~г,=агсй== — ' (~'=,Р( г = Ге ~ У ~ = Фе + =Фе -~ = Фе "- -' .' и = уг~ = ~Ге " ~ = о г г) . л зг х/д „Ий ~/ю Д~ф~~'~~ «ф~ ~ ",ф И*о~,г. ) Рис.

1 М 2. Герше ля на комплексной плоско 1. Пост сенце области плоскости оп е елоннод эл анныШяачю .нн И ° нн. - --,ч рнческие истолкования основных алементов комплексного числа й: /И „атрг, Уег, Уи. Так: ! ) неравенство /Е-й/а и олределяот точки, лежашие внутри круга радиуса ~ с игнтром в точкеСЕ плоскости и и на окружности; нераие..ство /р-~у/и ~ определяет точюл лежлшие вне этого круга1 2) неравенство ф(с дх~)~-су/с ~9 определяет точки, лежаии~е внутри угла с вершиной в точке ~яку, стороны которого образуют с положительной вешествонной полуосью плоскости соответственно углы аС н,/3 (напомним, что положительные углы отсчитываются от осн лротнв часовой стрелки, а отринательныепо часовой); 3) неравенство УЕг лсу определяет тс ки плоскости, лежашне справа от прямол .Сад', а неравенство )тттд' с в - точки, лежашие на н п,д прямой ~=~' ч) неравенство вида /р -Су/и/Е к.;у/и Лу определяет точки, лежашие внутри и на эллипсе с фокусами в точках Р аСу н Ю сСд и большой лолУосью кУ 1 5) аналогично неравенство/Р -Су/ /и -ф~/~Щ олролеляет точки, лежашие внутри той ветви гилерболы с фокусамн Е аСу и ЕиС~ н вещественной полуосью д, которая содержит 4оиус гаСд; 6) днн истолкования более сложшнх неравенств можно рекомендовать лерейти в соответствую:нем ему лредельном равенстве к декарттзым координатам.Ф и~у нлн полярным й н ~я .

Пои~швы 1) Построить область плоскости Р, определяемую неравгнст- /~-~/~/г г~/< уР, /гуФ/ "/г-Ф/ лр. Границы, прчнадлежашие области, нообраоить сплошнылш, но принадиежашие - пунктирнылш пиниялщ. Ре1иение. а) Вправе»ство /Е Ф/+/~ "ф/у КО оир л пнет точюц лежашие внутри и иа эллипсе с фолусакш ь точках кт= яф и бопьшой пол~осью юк2и5 . Определяем малую полуось этого зл- 1и )/а"-С" = ига:,~~ =,У. б) Неравенство /Егф/ - /й-ф/эО опр. деля< т чч ~ки, ложашне внутри правой ветви гиперболы, софокусной с пред~ луишк1 эллипсом. Ее вешестаениая полуось кйш5, мниман У,ЕС'Ьг = Я:У я„Ф (В толь что данному неравенству удовлетворяют точки, пожашие только внутри правой ветви гиперболы, мо кио убедить,я, подставляя в это неравенство две тоню~ - одну ши мим:о и одну внутреинкло, хотя бы с =О и Р аО прн РаО /ОеФ/-/О-~/э Ок б при йи5" /К ик/ /у ~/ По этим данным строям рис.