Типовые задачи к зачёту, страница 2

В первом ящике лежат два шара, во втором – двадцать. В моменты времени t = 1, 2, . . .выбирают наугад один из ящиков, вынимают один шар и перекладывают в другой ящик.Если в какой-то момент любой из ящиков оказался пуст, перекладывания прерывают. Найтивероятность того, что пятое перекладывание удастся совершить.4.4. Имеются два ящика, в в каждом из которых лежит по двадцать шаров. В моменты времениt = 1, 2, .

. . выбирают наугад один из ящиков, вынимают один шар и перекладывают в другой ящик. Найти вероятность того, что в результате шести перекладываний шаров в ящикахосталось поровну, а в результате десятого перекладывания в одном, заранее выбранном ификсированном, ящике оказалось больше шаров, чем в другом.4.5. Бросают правильную монету. Игрок перед бросанием обязан иметь хотя бы 1 руб., чтобыучаствовать в игре. Если выпадает «орёл», игрок получает 1 руб.; если выпадает «решка»,то платит 1 руб.

В начале игры у игрока был 1 руб. Найти вероятность того, что в результатепятого бросания монета у игрока будет более 3 руб. (и он каждый раз имел деньги, чтобысделать ставку).4.6. Бросают правильную монету. Если выпадает «орёл», то игрок A платит 1 руб. игроку B;если выпадает «решка», то игрок B платит 1 руб. игроку A. В начале игры у A было 10 руб.,капитал игрока B неограничен.

Найти вероятность того, что за двадцать бросаний монетыигрок A не разорится (у него останутся деньги), но его капитал в результате двадцатогобросания будет меньше 5 руб.4.7. Для случайного блуждания, которое задано вероятностями скачков вправо (p) и влево (q)и начинается из нуля, доказать, что математическое ожидание координаты частицы на n-мшаге равно n(p − q) (указание: использовать математическую индукцию).4.8. Для случайного блуждания, которое задано вероятностями скачков вправо (p) и влево (q)и начинается из нуля, найти вероятность того, что частица за 2n шагов придёт в точкус координатой 2d, 0 6 2d < 2n, ни разу не зайдя в точки с (строго) отрицательнымикоординатами (указание: перейти к процессу ξ̃(t) = ξ(t) + 1).5. Задачи по винеровскому процессу.5.1.

Пусть ξ(t), t > 0, – винеровский процесс с нулевым средним. Показать, что,MXnk=12ξ(tk ) − ξ(tk−1 ) 2 − (b − a) → 0,n → ∞,где a = t0 < t1 < · · · < tn = b и max −k(tk − tk−1 ) → 0 при n → ∞.5.2. Пусть ξ(t), t > 0, – винеровский процесс с нулевым средним и σ 2 = 1. Найти условнуюдисперсию процесса в момент времени t при условии, что ξ(2t) = 0.5.3. Две независимые броуновские частицы совершают блуждание по прямой, описывающеесявинеровскими процессами с нулевым средним и σ 2 = 1. Для обеих частиц блуждание начинается из нуля. Найти математическое ожидание (абсолютного) расстояния между частицами.5.4.

Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатойноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и σ 2 = 1. Найти вероятность того, что в моменты времени t и 2t она находилась справа от нуля и в моментвремени t она была дальше от нуля, чем в момент времени 2t.5.5. Броуновская частица начинает случайное блуждание по прямой из точки с координатойноль, описывающееся винеровским процессом с нулевым средним и σ 2 = 1.

Найти вероятность того, что её кординаты ξ(t) и ξ(2t) в моменты времени t и 2t удовлетворяют неравенству |ξ(t) − ξ(2t| < a, если известно, что |ξ(t)| < a.5.6. Случайный процесс ξ(t), t > 0, задан равенством ξ(t) = at + w(t), где a = const и w(t),t > 0, есть винеровский процесс с нулевым средним и дисперсией σ 2 t.

Найти двумернуюплотность распределения процесса ξ(t), t > 0.5.7. Случайный процесс (броуновский мост) ξ(t), 0 < t < 1, имеет одномерную плотность распределения видаp(x, t) = V (x, t | x1 , t1 )x1 =0, t1 =1 ,x ∈ R, t ∈ (0, 1),гдe V (x, t | x1 , t1 ), x, x1 ∈ R, – условная плотность распределения двух сечений w(t) и w(t1 )винеровского процесса с нулевым средним и дисперсией σ 2 = 1. Доказать, что ту же плотность имеет случайный процесс ξ˜ = w(t) − tw(1), 0 < t < 1.5.8. Две независимые броуновские частицы совершают блуждание по прямой, описывающеесявинеровскими процессами с нулевыми средними и дисперсиями σ 2 для первой частицы и 2σ 2для второй частицы. Для обеих частиц блуждание начинается из нуля.

Найти вероятностьтого, что первая частица достигнет точки с координатой a > 0 раньше, чем вторая.Примечание: решения задач выразить через элементарные функциях и/или через функцию (интеграл вероятности)Z x12√ e−z /2 dz,−∞ < x < +∞,Φ(x) =2π−∞или, если это невозможно, записать в однократных (повторных) интегралах.6. Задачи по стационарным процессам.6.1. Пусть ξ(t), t > 0, – процесс Пуассона. Является ли процесс η(t) = ξ(t + T ) − ξ(t), t > 0,стационарным (в широком смысле); здесь T > 0 фиксировано?6.2. Пусть ξ1 (tn ) и ξ2 (tn ), n ∈ Z, два независимых друг от друга стационарных случайныхпроцесса с дискретным временем.

Пусть Fk ( · ) – спектральные функциипроцессов ξk (tn ),n ∈ Z (для k = 1, 2). Показать, что процесс η(tn ) = ξ1 (tn ) + ξ2 (tn ) /2, n ∈ Z, являетсястационарным, и найти его спектральную функцию.6.3. Стационарная случайная последовательность {εn }n∈Z есть дискретный белый шум. Последовательность {ηn }n∈Z задаётся равенством ηn = aηn−1 + εn , где a – фиксированное действительное число, |a| < 1.

Показать, что {ηn }n∈Z – стационарная случайная последовательность, и найти её ковариационную функцию.6.4. Стационарная случайная последовательность {ξn }n∈Z имеет спектральную плотность, заданную как f (λ) = (1 + cos λ)/2π, −π 6 λ < π. Найти коэффициенты a0 , a1 , при которыхслучайная величина ξˆn+1 = a0 ξn + a1 ξn−1 является наилучшим в среднем квадратичномсмысле приближением случайной величины ξn+1 в классе всех приближений такого вида.6.5. Ковариационная функция стационарной случайной последовательности {ξn }n∈Z задаётсяследующим образом: R(n) = 3 при n = 0, R(n) = 1 при |n| = 2, R(n) = 0 при всех прочих n.Найти спектральную плотность следующего линейного преобразования данной случайнойпоследовательности: ηn = 3ξn + 2ξn−1 + ξn−2 .6.6. Пусть ξn = θ + νn , n = 1, 2, .

. . , где θ – неслучайный неизвестный параметр, ν1 , ν2 , . . . –стационарная случайная последовательность, спектральная плотность которой имеет видf (λ) = (2 + cos λ)/4π, −π 6 λ < π. Найти такие значения коэффициентов an и bn , чтозначение θ̂n = an ξn + bn ξn − 1 является наилучшей в среднем квадратичном смысле оценкойпараметра θ в классе всех оценок такого вида, удовлетворяющих условию несмещённости:M θ̂n = θ для любого значения параметра θ ∈ R.6.7.

Ковариационная функция стационарной случайной последовательности {ξn }n∈Z задаётсяследующими равенствами: R(n) = 2 при n = 0, R(n) = ±i при n = ±1 соответственно,R(n) = 0 при всех прочих n. Найти спектральную плотность линейного преобразованияданной случайной последовательности, которое имеет вид ηn = (ξn + ξn−1 )/2.6.8. Стационарная случайная последовательность {ξn }n∈Z имеет нулевое среднее и спектральную плотность, заданную как f (λ) = 5 + 4 cos λ, −π 6 λ < π. Найти наилучший в среднемквадратичном линейный прогноз ξ̂n+1 = a0 ξn + a1 ξn−1 значения в момент времени tn позначениям в два предыдущих момента времени..