Типовые задачи к зачёту

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов»Осень 2015 г.1. Задачи по моментным характеристикам случайных процессов, конечномернымраспределениям и т. д.1.1. Найти двумерные распределения процесса ξ(t) = eαt , t > 0, считая, что случайная величина α равномерно распределена на [−1, 1]. Нарисовать типичные траектории процесса.1.2. Случайная величина τ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. В случайныймомент времени t = τ в цепи загорается (и далее не гаснет) лампочка.

Зададим случайныйпроцесс: ξ(t) = 1, если в момент времени t ∈ [0, 1] лампочка горит, и ξ(t) = 0, если в моментвремени t ∈ [0, 1] лампочка не горит. Найти двумерное распределение данного случайногопроцесса.1.3. Случайный процесс задан как ξ(t) = A cos(ωt + ϕ), t > 0, где ω – неслучайная константа,случайные величины A и ϕ независимы, M A = m DA = σ 2 , а ϕ равномерно распределена на отрезке [0, 2π]. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционнуюфункцию процесса ξ(t).1.4. Пусть η – случайная величина с равномерным на отрезке [0, 1] распределением.

Найти всеконечномерные распределения случайного процесса ξ(t), 0 6 t 6 1, который равен единице,если η > t, и равен нулю при выполнении противоположного неравенства. Найти математическое ожидание и ковариационную функцию этого процесса.1.5. Правильная игральная кость (на каждой из трёх пар параллельных граней сумма очков равна 7) лежит «шестёркой» вверх. В момент времени, который можно считать случайной величиной, равномерно распределённой на отрезке [0, 1], игральную кость одинраз переворачивают на одну из соседних граней, равновероятно выбранных наугад.

Пустьξ(t) = k, если в момент времени t игральная кость лежит вверх гранью с k очками. НайтиPk (t) = P (ξ(t) = k) для k = 1, . . . , 6 и любого t ∈ [0, 1].1.6. В момент времени t = 0 из начала координат вправо по числовой прямой начинает движение с постоянной скоростью, равной v1 = 1, первая частица. В момент времени, которыйможно считать случайной величиной, равномерно распределённой на отрезке [0, 1], из начала координат вправо начинает движение вторая частица. Её скорость равна v2 = 2. Пустьξ(t) – расстояние между частицами (в абсолютных единицах) в момент времени t ∈ [0, 1].Найти одномерную функцию распределения данного случайного процесса.1.7. Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = αt2 + β, t > 0, где α и β – независимыеслучайные величины, равномерно распределённые на отрезке [−1, 1]. Найти вероятностьтого, что ξ(t) > 0 при любом t > 1.1.8.

Случайный процесс задан соотношением ξ(t) = α + ct, t > 0, где α – случайная величинас заданной функцией распределения, а c – фиксированная постоянная. Найти вероятностьтого, что ξ(t) = 0 хотя бы при одном t ∈ [0, 1].2. Задачи по процессу Пуассона.2.1. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 3t поступит не более трёх требований и к моменту времени t поступит болееодного требования.2.2.

Известно, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 2tпоступило ровно 2n требований. При этом условии найти вероятность того, что в промежуток времени [0, t) поступило не более n требований из пуассонова потока.2.3. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ к моменту времени 3t поступило не более четырёх требований из потока, а к моменту времени tуже поступило более одного требования.2.4. Известно, что второе из требований в пуассоновом потоке с интенсивностью λ = 1 поступилоранее, чем в момент времени 2t.

При этом условии найти вероятность того, что времяпоступления первого требования из пуассонова потока оказалось больше t.2.5. Найти вероятность того, что в пуассоновом потоке требований с интенсивностью λ = 1первое требование ещё не пришло к моменту времени t, а второе поступило не позже чем вмомент времени 2t.2.6. Пусть ξ(t), t > 0, - пуассонов поток требований с интенсивностью λ > 0, а случайныевеличины α и β не зависят от него и друг от друга и равномерно распределены на отрезке[0, 1].

Найти вероятность того, что в интервале времени (α, β) не не поступит ни одноготребования из потока ξ(t).2.7. По двум каналам связи на телефонную станцию передаётся два независимых пуассоновыхпотока сообщений, один с интенсивностью три сообщения в минуту, другой – с интенсивностью два сообщения в минуту. Найти вероятность того, что за минуту поступит ровно двасообщения.2.8. Поток клиентов парикмахерской есть процесс Пуассона с интенсивностью 1 клиент в 10 минут.

Время обслуживания клиента есть случайная величина, распределённая по показательному закону. Среднее время обслуживания клиента составляет 30 минут. В начальныймомент времени в парикмахерской нет клиентов. Найти вероятность того, что второй клиент встретит отказ в связи с тем, что мастер занят с первым клиентом.2.9. Телеграфный процесс определяется как случайный процесс ξ(t), t > 0, у которого каждоесечение имеет распределение P (ξ(t) = 1) = P (ξ(t) = −1) = 1/2, а количество перемен знакана интервале [0, t) есть пуассонов поток требований с интенсивностью λ. Найти ковариационную функцию телеграфного процесса.3.

Задачи по цепям Маркова и марковским процессам.3.1. Цепь Маркова имеет два состояния. Распределение на первом шаге задаётся начальными1/2 1/2вероятностями a1 = 1/3, a2 = 2/3. Матрица перехода за один шаг имеет вид.1/4 3/4Найти распределение на третьем шаге.1/2 1/23.2. Матрица перехода за один шаг в цепи Маркова имеет вид. Найти финальные1/4 3/4вероятности.3.3.

В правильной игральной кости сумма очков на противоположных гранях во всех трёх случаях равна 7. В начальный момент времени игральная кость лежит на грани с «шестёркой».В моменты времени t = 1, 2, . . . кость переворачивают на одну из четырёх соседних граней.Найти распределение вероятностей положений кости в результате второго поворачивания.Найти стационарное распределение в такой модели.3.4. Дана матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятности цепиМаркова:P (ξ1 = 1) = 0.1,0.2 0.2 0.6π = 0.3 0.5 0.2 ,P (ξ1 = 2) = 0.4,0.4 0.3 0.3P (ξ3 = 3) = 0.5Найти вероятность P (ξ1 = 3, ξ2 = 1, ξ4 = 2).3.5.

Заданы матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятностицепи Маркова:P (ξ1 = −1) = 0.5,0.2 0.8π=,0.4 0.6P (ξ1 = 1) = 0.5.Найти условное распределение случайной величины ξ2 при условии ξ3 = x2 . Найти коэффициент ковариации двух случайных величин ξ1 и ξ3 .3.6.

Заданы матрица переходных вероятностей системы за один шаг и начальные вероятностицепи Маркова:P (ξ1 = 0) = 0.2,0.3 0.7 0π =  0 0.5 0.5 ,P (ξ1 = 1) = 0.4,0.4 0.2 0.4P (ξ1 = 2) = 0.4.Найти вероятность того, что ξ2 < ξ3 .3.7. Система может находиться в одном из двух состояний. Вероятность перехода за малое время ∆t из первого состояния x1 во второе состояние x2 равна a∆t + o(∆t), вероятностьперехода из x2 в x1 равна b∆t + o(∆t). В начальный момент времени система находиласьв первом состоянии (с вероятностью единица). Считая переходы системы марковским процессом, найти pk (t) = P (ξ(t) = xk ) для любого t > 0 иk = 1, 2 и предел этих вероятностейпри t → +∞.3.8.

Матрица Λ в системе уравнений Колмогорова имеет вид−2 11Λ =  2 −3 1  .20 −2Найти стационарное (т. е. не меняющееся со временем) распределение такого марковскогопроцесса.4. Задачи по случайным блужданиям.4.1. Частица совершает случайные скачки единичной длины по целочисленным точкам действительной прямой, прыгая направо с вероятностью p и налево – с вероятностью q, p + q = 1.В момент времени t = 0 частица находилась в точке x = 0. Найти вероятность того, что вмомент времени t = 8 частица окажется в точке с координатой x = 4, если известно, что затри шага отошла от нуля не больше чем на 1 в любом направлении.4.2. Для симметричного случайного блуждания, которое начинается из нуля, найти дисперсиюкоординаты частицы на третьем шаге.4.3.