Часть 2 (Н.А. Тихонов, М.Г. Токмачев - Основы математического моделирования)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТТихонов Н.А., Токмачев М.Г.Курс лекций«ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ»ЧАСТЬ 2Москва, 20121ТИХОНОВ Н.А., ТОКМАЧЕВ М.Г.Основы математического моделирования / Учебное пособие.М.: Физический факультет МГУ, 2012.Пособие по курсу «основы математического моделирования»написано на основе курса лекций, читаемого в течение ряда последних летна физическом факультете МГУ.В пособии рассматриваются вопросы и методы математическогомоделирования, а также постановки и решения ряда классических и новыхзадач математической физики.Текст разбит на главы и параграфы.

Нумерация формул и рисунков вкаждом параграфе своя. Рисункам присвоены номера в тех случаях, когдана них имеются последующие ссылки. В остальных случаях рисункииллюстрируют рядом расположенный текст и не пронумерованы.Тихонов Николай АндреевичТокмачев Михаил ГеннадьевичОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯФизический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова,119991, Москва, ГСП-1, Воробьевы горы, д.1, стр.2© Физический факультет МГУим.

М.В.Ломоносова, 2012© Тихонов Н.А.,Токмачев М.Г., 20122ОглавлениеГлава 3. Методы решения задач.__________________________________5I. Метод конечных разностей. __________________________________5§1. Общие понятия. __________________________________________5§2.

Разностные задачи для уравнения теплопроводности. ___________7Устойчивость решения задачи теплопроводности на бесконечнойпрямой. __________________________________________________10Необходимые условия. Спектральный метод. _________________10Достаточные условия устойчивости. _______________________11§3. Метод прогонки для решения задачи теплопроводности на отрезке.__________________________________________________________14§4. Консервативные разностные схемы. ________________________16Пример неконсервативной схемы.

____________________________17Метод баланса при составлении разностных схем для уравнениятеплопроводности. _________________________________________20Консервативная разностная схема для решения задачи (1), (2). ____22§5.Экономичные разностные схемы.____________________________23Схема переменных направлений _____________________________23Локально-одномерная схема. ________________________________26§6. Итерационные методы при решении нелинейных уравнений. ____28§7. Разностные схемы для решения уравнение переноса. ___________30Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета ___34II.

Вариационные и проекционные методы решения краевых задач.____________________________________________________________37§1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной. Метод Ритца__________________________________________________________37§2. Проекционные методы ____________________________________42Метод Галеркина.__________________________________________42Метод наименьших квадратов. _______________________________42Метод моментов ___________________________________________43Обобщенный метод моментов _______________________________44§3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами,основанные на вариационных принципах.

Метод конечных элементов.__________________________________________________________44§4. Вариационный подход к решению задачи Штурма-Лиувилля. ___48III. Асимптотические методы. _________________________________493§1. Метод малого параметра. _________________________________49Регулярный случай. ________________________________________50Случай сингулярного возмущения. ___________________________52Построение равномерной асимптотики.

_____________________54Формализм метода. ________________________________________60Первое приближение: _____________________________________63Улучшенное первое приближение: __________________________64Второе приближение: ____________________________________64Улучшенное второе приближение: __________________________65§3. Метод ВКБ (Венцеля, Крамерса и Бриллюэна) ________________71Глава 4. Некоторые новые объекты математического моделирования_____________________________________________________________74§1.

Вейвлет-анализ. _________________________________________74§2. Фракталы. ______________________________________________78§3. Детерминированный хаос._________________________________81§4. Синергетика. ____________________________________________85§5. Метод обратной задачи рассеяния __________________________85Уравнение Кортевега - де Фриза _____________________________85Схема метода обратной задачи рассеяния ______________________87Прямая задача рассеяния __________________________________87Обратная задача рассеяния _______________________________88Применение метода обратной задачи рассеяния к решению задачиКоши с уравнением Кортевега - де Фриза.

_____________________89Литература. __________________________________________________914Глава 3. Методы решения задач.I. Метод конечных разностей.§1. Общие понятия.Напомним некоторые понятия, которые рассматривались в курседифференциальных уравнений, и определим обозначения. Пусть требуетсячисленным методом найти решение следующей задачи:x   x1 , x2 ,..., xn   D Lu ( x)  f  x  , Ku ( x)    x  ,(1)x Здесь Г - граница области D, L - дифференциальный оператор, K оператор дополнительных (начальных или граничных) условий, f  x  и  x  - заданные функции.Введем в области D прямоугольнуюкоординатнуюсеткуw.Будемдляпростоты рассматривать равномернуюсетку, то есть такую, у которой шагизменения координаты хm (m  1,..., n)постоянный, равныйнаправлениямhm .

По разнымвеличина шага h может быть разной. Обозначим узлысетки, как x h . Совокупность точек x h внутри области D обозначим какwh , а совокупность точек x h , лежащих на границе области D обозначим икак  h . Обозначим f  f xhhh   xh  .Наряду с решением задачи (1) – дифференцируемой функцией u(x)будемрассматриватьтакназываемуюсеточнуюфункциюvh ,представляющую собой совокупность чисел – значений vi в узлах сетки.Для v h составим разностные алгебраические аналоги дифференциальныхоператоров, фигурирующих в (1). Например, производной Lu uв точкеx5хiпоставимвсоответствиедифференциальномуLh v разностныйоператоруLu  2ux 2операторпоставимвvvLh v  i  1 i ;hсоответствие1  vi  1  vi vi  vi  1  vi  1  2vi  vi - 1и т.

д.hhhh2Тогда, система уравнений для v h , соответствующая (1), будетвыглядеть следующим образом:hh Lh v  f ,hh Khv   ,x h  wh(2)xh   hСистему алгебраических уравнений (2) называют разностной схемойдля системы (1).Близость сеточных функций (также, как обычных функций) можнооценивать в различных нормах. Мы, для простоты, будем рассматриватьих в норме, соответствующей норме равномерного приближения, то естьбудем считать v h  max vi .iБудем говорить, что разностный оператор Lh аппроксимируетдифференциальныйоператорLсточностьюпорядкаk,еслиLu h  Lhu h  Chk , где константа С не зависит от величины шага сетки h.Если подставить решение u задачи (1) в разностные соотношения (2),то получим, что эти соотношения выполнены не точно:hhh Lhu  f   ,hhh K hu     ,x h  wh(3)xh   h h называется невязкой.

Будем говорить, что разностная схема (2)аппроксимирует задачу (1) с порядком k , если h Chk . Легко видеть,6что если Lh и K h аппроксимируют операторы L и K с точностью порядкаk , то и схема (2) аппроксимирует задачу (1) с тем же порядком точности.Рассмотрим решение v h задачи (2) и z h - решение такой же задачи смало измененной правой частьюLh z h  f h   h ,x h  whKh z h   h   h ,xh  hРазностная схема называется устойчивой, если найдутся такие числаMиN,чтодлялюбыхhиhбудетвыполненоzh  vh  M  h  N  h .Будем говорить, что решение (2) - функция v h - сходится к решению(1) - функции u h - с порядком k , если u  vhh Chk .В курсе дифференциальных уравнений было доказано, что изаппроксимации и устойчивости следует сходимость с порядком, равнымпорядку аппроксимации.Разностная задача называется корректной, если она однозначноразрешима и решение непрерывно зависит от дополнительных данныхравномерно по h (свойство устойчивости).§2.

Разностные задачи для уравнения теплопроводности.Рассмотрим задачу теплопроводности на отрезке 0  x  1:ut  u xx  f  x, t u  x,0     x u  0, t   0  t u 1, t     t 1(1)Будем интересоваться изменением решения за период времени0  t  T . В указанной области введем равномерную сетку с некоторым7шагом h по пространственной координате, и с шагом  - по временной,так чтоwh  xm  hm; m  0,1,..., N x ; hN x  1w  tn   n; n  0,1,..., Nt ;  Nt  T wx  wx  wСимволом vm , n обозначим значение сеточной функции в узле скоординатами  xm , tn  .

Будем помечать все переменные, относящиеся к n  1 -ому временному слою, «галочкой» сверху, напримерv или u , а кn -ому без «галочки». Таким образом, разностный аналог производнойut  xm , tn  будет иметь вид:vt v m  vm(Значок vt является символом, а не «настоящей» производной от v ,поскольку у сеточной функции v – набора чисел - не существуетпроизводной.)Разностный аналог второй производной будет:v  v  v  2vm  vm11 v vv   m1 m  m m1   m1hhhh2При составлении разностного аналога уравнения задачи (1) мыможем брать v на n -ом слое по времени, а можем на n  1 -ом.Впервом случае получаем так называемую явную разностную схемуv m  vmvm1  2vm  vm1 f mn2h(2)8Если вторую производною вычислять по значениям v на  n  1 -омслое, то получим неявную разностную схему:v m  vmv m1  2v m  v m1 f mn2h(3)Шаблоном называется совокупность узлов сетки, значения v вкоторых присутствуют в разностном уравнении.Шаблонявнойразностнойсхемыизображен на рис.1, ашаблон неявной схемыпоказан на рис.2.Рис.1Рис.2Можно также рассматривать схему с весами.