Часть 1 (Н.А. Тихонов, М.Г. Токмачев - Основы математического моделирования)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМ. М.В.ЛОМОНОСОВАФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТТихонов Н.А., Токмачев М.Г.Курс лекций«ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ»ЧАСТЬ 1Москва, 20131ТИХОНОВ Н.А., ТОКМАЧЕВ М.Г.Основы математического моделирования / Учебное пособие.М.: Физический факультет МГУ, 2013.Пособие по курсу «основы математического моделирования» написанона основе курса лекций, читавшегося в течение ряда последних лет нафизическом факультете МГУ.В пособии рассматриваются вопросы и методы математическогомоделирования, а также постановки и решения ряда классических и активноизучаемых в последнее время задач математической физики.Текст разбит на главы и параграфы. Нумерация формул и рисунков вкаждом параграфе своя.

Рисункам присвоены номера в тех случаях, когда наних имеются последующие ссылки. В остальных случаях рисункииллюстрируют рядом расположенный текст и не пронумерованы.Тихонов Николай АндреевичТокмачев Михаил ГеннадьевичОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯФизический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова,119991, Москва, ГСП-1, Воробьевы горы, д.1, стр.2© Физический факультет МГУим.

М.В.Ломоносова, 2013© Тихонов Н.А.,Токмачев М.Г., 20132ОглавлениеВведение____________________________________________________________________ 4Глава 1. Некоторые классические задачи математической физики. ______________ 10§1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) _______________________ 10§2. Общая задача Коши для гиперболических уравнений. ______________________ 13Постановка общей задачи Коши.

_________________________________________ 13Смысл функции Римана. ________________________________________________ 17Уравнение с постоянными коэффициентами. _______________________________ 18Задача Коши для уравнения колебаний. ___________________________________ 19Функция влияния точечного импульса. ____________________________________ 21§3.

Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции.__________________ 21Постановка задачи. ____________________________________________________ 21Линейный случай. _____________________________________________________ 26Нелинейный случай. ___________________________________________________ 27§4. Метод подобия. Задача Стефана ________________________________________ 29Метод подобия ________________________________________________________ 29Задача Стефана (задача о фазовом переходе) _______________________________ 31§5. Постановка задач с уравнением Гельмгольца в неограниченной области.

_____ 35Условия излучения _____________________________________________________ 37Математическая задача дифракции. _______________________________________ 41Принцип предельного поглощения. _______________________________________ 43Принцип парциального излучения ________________________________________ 46§6. Математические модели жидких вязких сред. _____________________________ 51Основные уравнения. ___________________________________________________ 52Нестационарное течение вязкой однородной жидкости в трубе с круговымсечением. _____________________________________________________________ 55Внешняя задача гидродинамики. _________________________________________ 56Распределение скоростей в идеальной несжимаемой жидкости при ускоренномдвижении сферы.

______________________________________________________ 57Глава 2. Нелинейные процессы _______________________________________________ 61§1. Квазилинейное уравнение переноса. _____________________________________ 61Линейное уравнение. ___________________________________________________ 62Квазилинейное уравнение. ______________________________________________ 64Метод характеристик. __________________________________________________ 66Разрывы решения.

_____________________________________________________ 68§2. Нелинейное уравнение теплопроводности. _______________________________ 72Уравнение Буссинеска. Задача о наводнении. ______________________________ 73Нелинейная модель горения. ____________________________________________ 76§3. Модель «Хищник-Жертва» _____________________________________________ 803ВведениеПусть изучается некоторый физический процесс или явление.Математическое моделирование состоит в том, что законы, в соответствие скоторыми происходит этот процесс, описываются некоторыми уравнениями,то есть составляется математическая модель. Далее исследуются решения,получаемые с помощью модели, и таким образом теоретически изучаетсярассматриваемое явление.Такой подход не нов и используется еще со времен Ньютона, когдафизика перестала быть частью философии и встала на твердуюматематическую основу.

Однако, как известно, аналитически решаются восновномлишьлинейныеуравнения.Поэтомубылавозможностьисследовать лишь простейшие процессы или простейшие оценочныеприближения. Ситуация изменилась с появлением компьютерной техники в20 веке. Появилась возможность численно решать нелинейные уравнения исистемы уравнений большой сложности. А это в свою очередь позволилидетально рассматривать процессы во всех подробностях. Сейчасматематическое моделирование представляет собой широко используемыйметод исследования во всех областях науки.Компьютерный эксперимент обладает рядом преимуществ. Во-первых,он дешев; во-вторых, он позволяет рассматривать изучаемый процесс вразличных режимах его проведения, что важно в многовариантном случае;в-третьих, имеется возможность оценивать эффект, вносимый различнымифизическими факторами в общий результат и т.д.

Часто возникает ситуация,когда реальный эксперимент вообще невыполним и моделирование являетсяединственным способом изучения процесса. (Например, исследованиепараметров черных дыр.)При изучении физической задачи с помощью математическогомоделирования, обычно проходят через следующие этапы:1.2.Формулировка модели.Исследование математической задачи.43.4.Поиск алгоритма решения (аналитического или численного).Создание компьютерной программы.5.Исследование результатов и сопоставление их с имеющимисяданными.6.Доработка модели.В данном курсе рассматриваются некоторые из них – формулировкамодели, ее математическое исследование и изучение алгоритмов решения.Формулировка модели существенно зависит от специфики конкретнойзадачи – поэтому рассмотрим лишь некоторые понятия и терминологию.I.Задачи бывают прямые и обратные.А) Прямые – такие, которые изучались, например, в рамках курсовдифференциальных уравнений и методов математической физики.

Заданоуравнение и дополнительные условия и требуется найти его решение;Б) Обратные – нахождение неизвестных характеристик модели поизвестному решению или известным его свойствам.Обратные задачи бывают разного вида. Их условно можно разбить нагруппы:1. Задачи обратные по самой постановке – например, задача поиска нефти.Требуется определить недоступные прямому наблюдению местарасположения и объемы нефтяных пластов по проявлениям на поверхностиземли: изменению гравитационной силы или отклику на электромагнитныевозбуждения.2. Задача определения функциональной структуры модели и значений еепараметров по опытным данным, как вспомогательный этап при решениипрямой задачи.

Пусть наша цель состоит в том, чтобы рассчитать прямойпроцесс. При этом часто заранее оптимальная структура модели однозначноне определена и значения части ее параметров неизвестны. Поэтомунеобходимо предварительно восстановить значения неизвестных параметровпо имеющимся экспериментальным данным.53. Задача синтеза или задача проектирования физической системы.Требуется так построить систему, чтобы иметь заданные характеристики навыходе.

Например, выбрать последовательности нанесения отражающихслоев в задаче просветленной оптики или покрытия самолета-невидимки.II.Модели могут формулироваться в разной форме.1. Как система дифференциальных и/или интегральных уравнений ссоответствующимиусловиями.дополнительными(начальнымииграничными)2. В виде вариационных задач. Вариационная задача и ее уравнения Эйлеранаходятся в соответствии. В курсе вариационного исчисления стремились отвариационнойзадачиперейтикдифференциальной.Часто,прииспользовании численных методов, удобнее наоборот – от системдифференциальных уравнений переходить к вариационным задачам.Например, в сложной системе вместо решения множества уравненийНьютона бывает удобнее составить функцию Лагранжа и использоватьпринцип наименьшего действия.3.

Модель, в которой процесс описывается некоторыми уравнениями,называется детерминированной. Если модель описывается некоторымивероятностными законами, она называется стохастической.Исследованиемоделиможетпроводитьсяаналитическими,асимптотическими или численными методами. Изучение поведения решенияс помощью численных методов – не обязательный, но часто встречающийсяэлемент исследования задач.III.Иерархия моделей.При моделировании любого процесса имеется иерархия моделей,описывающих процесс с различной степенью подробности путем учетаразличного количества физических факторов. Даже в простейшей задачераспространенного тепла можно рассматривать линейное уравнение спостоянными коэффициентами, а можно учитывать зависимостькоэффициентов от температуры и конечную скорость распространения6тепла.

Тем более, это актуально в многофакторных задачах. Например, вэкологических задачах, задачах предсказания погоды и т.д.Примером такой задачи является прогноз влажности на поле подсельскохозяйственной культурой. Все поле можно рассматривать как единоецелое и писать соотношения баланса влаги для него. Можно почву разбитьна слои и рассматривать баланс влаги в слоях – получим модель,представляющуюсобойсистемуобыкновенныхдифференциальныхуравнений.

Можно учитывать множество факторов связанных с растениями,например, изменение интенсивности испарения жидкости с листьев взависимости от внешней температуры, влажности и интенсивностисолнечной радиации и т.д. Получаем очень широкий спектр моделей, в тойили иной мере отражающих происходящее.В этих задачах выбор удачной модели становится не просто важных, ацентральных вопросом моделирования. Не надо думать, что наилучшаямодель – та, которая учитывает максимально возможное количествофакторов. Это не так, – с усложнением модели увеличивается количествонеизвестных параметров, которые необходимо определить на основеимеющегося ограниченного опытного материала.