Н.А. Боголюбов - ОММ Методическое пособие

Боголюбов Н.А.ОММ( МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ)ОГЛАВЛЕНИЕ:Глава 1. Гельмгольц в неограниченной области ................................ 1- 41Глава 2. Задачи с данными на характеристиках................................. 42-68Глава 3. Линейный и нелинейный случаи задачи сорбции...............69-97Глава 4. Нелинейные задачи................................................................. 98-112Глава 5.

Введение в разностные схемы...............................................113-134Глава 6. Метод прогонки.Экономичные и консервативные схемы-135-170Глава 7. Иттерационные методы.Схема бегущего счета.................171-191Глава 8. Вариационные методы. Метод Ритца................................. 192-208Глава 9. Асимптотические методы.

Метод малого параметра........ 209-221Глава 10. Метод усреднения Крылова-Боголюбова..........................222-2361ГЛАВА 1Гельмгольцв неограниченной областиРассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца следующего вида:Δu + cu = f .Постановка задач в неограниченной области , в которую входит данноеуравнение и его свойства решения зависят от знака коэффициента c .1) Рассмотрим случай, когда коэффициент c отрицательный:типичной физической задачей, приводящей к уравнению Гельмгольца сотрицательным значением коэффициента является решение уравнениядиффузии вещества после распада неустойчивого радиоактивного газа приналичии стационарных источников:∂u= a 2 Δu − ku + F(M ) .∂tC течением времени система выходит на стационарный режим , прикотором :∂u=0 .∂tЕму соответствует неволновое уравнение Гельмгольца :Δu − ϑ 2u = f,ϑ2 =kF,.f=22aa2Cформулируем принцип максимума: в замкнутой области решение неможет достигать положительного максимума или отрицательного минимумаво внутренней точке.На базе принципа максимума можно показать, что решение задачи,равномерное по углу, единственно:Δu − ϑ 2u = f,{u → 0,  r → ∞ .Доказательство:Пусть u1 и u2 - два различных решения поставленной задачи.И пусть w = u1 − u2 удовлетворяет условиям:Δw − ε 2w = 0, w ⇒ 0,   r → ∞ .Пусть w ≠ 0 в некоторой точке M0 .

Тогда рассмотрим сферу CRбольшого радиуса R , с центром в начале координат , включающую M0внутри себя.Из принципа максимума и условий на бесконечности следует:w(M0) ≤ max w(M ) → 0,  R → ∞ ⇒M∈CR⇒ w(M0) = 0 . M0 - произвольная точка ⇒ w ≡ 0 решение задачиединственно!2) рассмотрим случай, когда коэффициент c положительный:c = k 2,Δu + k 2u = f .3Полученное волновое уравнение возникает при решении уравненияколебаний:∂2 v2iwt)e=aΔv+F(M.∂t 2Будем искать решение в следующем виде:v = u(M )e iwt .Подставляем вид нашего решения в наше уравнение и сокращаем на e iwt:Δu + k 2u = f ( для функции u(M ) ) .Для полученного уравнения принцип максимуманеприменим!Пусть функция f - финитная ( то есть : отличная от нуля в некоторойконечной области D ).С помощью объемных потенциалов строим два вида решения , которыебудут стремиться к нулю при R → ∞.Запишем фундаментальные решения нашего однородного уравненияколебаний:e ±ikRMPu(M, P) =.RMPСледовательно, решение:1 e ±ikRMPu1,2(M ) =f (p)dVp .4π ∫ RMPDПри любом выборе знака в показателе экспоненты нашерешение убывает, когда точка удаляется от области D ⇒условие u → 0 при r → ∞ недостаточно для выделенияединственного решения.4Тогда рассмотрим уравнение колебаний в следующем виде:∂2 w2=aΔw .2∂tБудем искать решение в следующем виде:v(r, t)w(r, t) =rПодставляем вид решения в наше уравнение:2∂2 v2 ∂ v.=a∂t 2∂r 2Получим решение через произвольные функции (r ± at) :w1(r, t) =f1(r + at)→ возмущение, уходящее от источника наrбесконечность.w2(r, t) =f2(r − at)→ сходящаяся волна.rТолько w1(r, t) имеет физический смысл!От второй волны нужно избавиться.Будем считать временную зависимость гармонической :−ikrew1(r, t) = u1(M )e iwt =e iwt .rw2(r, t) = u2(M )eiwte ikr iwt=e .rТогда мы получаем два решения:e −ikre ikr,.rrВыделим единственное решение, имеющее физический смысл и темсамым представляет для нас интерес:5u1 → w1 и для достижения нужного нам результата введем условия,которые мы будем называть условиями излучения Зоммерфельда :∂u11.+ iku1 = o(r)∂rПодставляем условие в наше выражение:∂e −ikr e −ikre −ikre −ikr1.u1(r) + iku1 = ik− 2+ ik=− 2 =o()∂rrr ]rrr[∂e ikr e ikre ikr1- не удовлетворяетu2(r) + iku2 = ik− 2 + ik=o()∂rr ]rr[ rвведенному условию! Отбрасываем!!!Получаем следующую задачу:Δu + k 2u = f .∂u∂r+ iku = o( 1r )1u=O−( r )условия излучения Зоммерфельда .Докажем единственность решения:Рассмотрим фундаментальное решение уравнения Δu + k 2u = f :e −ikRMPu(M, P) =.RMPФиксируем точку M , а точку P будем удалять от 0 .

При этом P будетпостоянна, а r и R = RMP будут увеличиваться.6PRMPrϕ0PR=Mpp1+− 2 cosφ;(r)r2r 2 + p 2 − 2rpcosφ = rx1 + x = 1 + + o(x),21.r → ∞: R = r 1 + O()r−()∂R=∂rr − pcosφr2+p 22rpcosφ1 − ( r )cosφp=1 + ( r ) − 2( r )cosφp2p1=1+O.−( r )Теперь проверим - выполняются ли условия излучения Зоммерфельда дляфундаментального решения:∂ e −ikre −ikr∂ e −ikR ∂Re −ikRe −ikR e −ikR+ ik=+ ik= −ik− 2*∂r ( R )R∂r ( R ) ∂rRRR )(1e −ikR1.* 1+O+ ik=o()()Rrr−7Теперь докажем единственность решения поставленной задачи:Пусть u1(M ) и u2(M ) - два различных решения.Тогда z = u1 − u2 удовлетворяет условиям:Δz + k 2 z = 0 .∂z∂r+ ikz = o( 1r )условия излучения Зоммерфельда .1z=O−( r )PΣrФиксируем произвольную точку M и возьмемсферу радиуса r так, чтобы M лежала внутрисферы.r.M0Запишем третью формулу Грина:e −ikRMP ∂z∂ e −ikRMP(P) −4πz(M ) =z dδp .∫ RMP ∂n∂n ( RMP )ΣrТак как:∂z∂n=P∈Σr∂z∂r,P∈ΣrТо :e −ikRMP1e −ikRMP14πz(M ) =−ikz + o− ik+oz dδp =( r )) (()∫ RMP (RMPr )Σr8e −ikRMP111=o−oz dδp = o 2 dδp .(r) )∫ ( RMP ( r )∫ (r )ΣrΣrПлощадь сферы Σr c ростом r растет , как r 2 ⇒⇒  4πz(M ) =1dδ → 0,  r → ∞   ⇒   z(M ) = 0,∫ ( r2 ) poΣrтак как точка M выбирается произвольно ⇒   z ≡ 0  → единственностьрешения!Принцип предельного поглощения:Условия излучения Зомерфельда можно использовать, если источникизлучения находится в локализованной области.Если источники или препятствия, от которых происходит отражение,уходят на бесконечность , то требуются другие способы выделенияединственного решения.В качестве примера расмотрим принцип предельного поглащения .Рассмотрим задачу в неограниченной области:∂2 v∂v2iwt)e.+γ=aΔv−F(M2∂t∂tБудем искать решение в следующем виде:v = u(M )e iwt .Подставляем в наше уравнение:w2γwFΔu +−i 2 u = 2 .a )a( a2Замена:w2γwFk = 2 , β= 2 , f= 2 .aaa29Тогда мы получаем уравнение Гельмгольца следующего вида:Δu + (k 2 − iβ)u = f .Потребуем единственность решения : u → 0,   r → ∞ равномерноотносительно угла.Теперь сформулируем принцип предельного поглощения:Пусть нужно решить Δu + k 2u = f, где k - вещественный коэффициент.Предположим, что u решение следующей задачи:Δu + (k 2 − iβ)u = fu→0r→∞тогда в качестве решения мы будем использовать:u = limβ→0u .Если f - финитная функция - принцип предельногопоглощения выделяет тоже решение, что и условия излученияЗомерфельда.Доказательство:Пусть q = q1 + iq2 - комплексное число .q 2 = k 2 − iβ.Подставляем в исходную задачу и получаем в ней уравнение:Δu + q 2u = f ,где : q 2 = (q1) − (q2) + 2iq1q2 = k 2 − iβ ⇒2210k 2 = (q1), сводим алгебраическую систему к биквадратному уравнению и⇒{β = − 2q1q22учитываем, что q1 и q2 - вещественные числа:q1 = ±q2 = ∓k4 + β2k2 +2,k4 + β2 − k 22решение ищем с помощью объемных потенциалов:∓q2 R ±iq1Ri q + iq R11e± ( 1 R 2)u1,2 =efdv =efdv .∫∫4π4πRVVТак как в обоих уравнениях знак ± , фиксируем его с учетомq1 < 0,   q2 > 0 .При условии u → 0 выбираем e ±q2 R с плюсом и получаем:iq R1q R1− 2Ru=eefdv .∫4πRVПереходим к пределу при β → 0:limβ→0 q1 = − k,    limβ→0 q2 = 0 .Таким образом, согласно принципу предельного поглощения решениеуравнения Δu + k 2u = f мы выбираем:iq R1q R1− 2Ru = limβ→0u =eefdv .4π ∫RV11Такой вид решения удовлетворяет условиям излучения Зомерфельда:∂u∂r+ iku = o( 1r )u=o−( 1r ).Парциальные условия излучения в волноводе со вставкой ( локальнойнерегулярностью) .Введем понятие волновода:волновод – это специальное устройство или канал в неоднородной среде,в котором могут распространяться волны различной природы: акустические(в акустических волноводах), электромагнитные (в радиоволноводах,световодах), сейсмические и другие.Акустические волноводы, как правило, представляют собой трубы созвукоотражающими стенками.

Радиоволноводы – это трубы, полые иличастично заполненные диэлектриком. Диэлектрические волноводыпредставляют собой диэлектрические стержни. Их разновидностьюявлются волоконные световоды – преимущественно стеклянные нити, покоторым при определенных условиях могут распространяться световыеволны.Пусть в волноводе имеется вставка , в которой диэлектрическаянепроницаемость и проводимость отличны от остальной части волновода.12Электромагнитные колебания описываются уравнениями Максвелла:rotH =rotE =4π1 ∂D+j     (1)c ∂tc− 1c ∂H            (2)∂tdivH = 0                     (3)divD = 4πρ = 0          (4)j = δE                         (5)D = εE                       (6)Продифференцируем по времени уравнение (1) и сложим его суравнением (2) на которое мы подействуем rot :ε ∂ 2 E 4π ∂E+δ= − crotrotE = − c(graddivE − ΔE) .2c ∂tc ∂tПоложим вектор E поляризованным , приходим к волновому уравнению сзатуханием:ε ∂ 2 E 4πδ ∂E+ 2= ΔE .c 2 ∂t 2c ∂tБудем искать его решение в следующем виде:E = u(M )e −iwt ,и приходим к задаче для u:Δu + k 2u = 0,{u Σ = 0 .24π wδwεk 2 = k 2 + ik 2 , k 2 = 2 > 0, k 2 =>0.2cc13Рассмотрим двухмерный по пространственной координате случай:∂2 u ∂2 uΔu =+ 2 .2∂x∂yСтавим парциальные условия излучения:E = ψ (y)e iγxe −iwt   → регулярная волна ⇒  u(M ) = ψ (y)e iγxyk0k0k1, εxa0движение волныслева направо: Reγ > 0cправа налево: Reγ < 0область вставки0 < x < a,  0 < y < b .Подставим амплитуду волны:u(M ) = ψ (y)e iγx в полученную нами задачу и получим:∂2ψ∂ y2+ (k 2 − γ 2)ψ = 0,ψ (0) = ψ (b) = 0 .Если читатель хорошо помнит предыдущее мое методическое пособие ипрошлый семестр, то он без труда узнает в полученной задаче - задачуШтурма - Лиувилля для нахождения ψ (y) .Находим собственные значения и собственные функции:γn =πnk2 −, ψn =( b )22πnsiny ,   n ∈ N .(bb )14Пусть слева на вставку падает заданная нормальная волна, и еепространственная часть :u0 = Ae iγn0 x ψn0(y) .Получаем задачу :Δu + k 2u = 0,u y=0 = u y=b = 0 .b∂u+ iγnu)∫ ( ∂xψn(y)dy = 2iAγn0δnn0,0bx=00x=a∂u− iγnu)∫ ( ∂xпарциальные условия излучения.ψn(y)dy = 0 .n ∈ N,   δnn0 − cимвол Кронекера.На данном этапе имеет смысл перечислить основные причины, из закоторых мы ставим парциальные условия :1) их полезно ставить , когда мы решаем задачу в неограниченнойобласти, чтобы ограничить решение в точках x = 0 и x = a .