Презентация 15 (Лекции), страница 4

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:34 < ω < ω + 7 < 2 · ω < 2 · ω + 2 < ω2 + ω < ωω + ω3 + 1 < ωωАрифметика ординаловА насколько корректно называть введённые операции“арифметикой” и использовать обозначения ноля и единицы?Арифметика ординаловА насколько корректно называть введённые операции“арифметикой” и использовать обозначения ноля и единицы?Утверждение: свойства арифметики ординаловДля операций над ординалами выполнены некоторыезаконы арифметики:I свойства ноля и единицы,I ассоциативность сложения и умножения,I дистрибутивность умножения относительносложения,I дистрибутивность степени относительно умноженияАрифметика ординаловА насколько корректно называть введённые операции“арифметикой” и использовать обозначения ноля и единицы?Утверждение: свойства арифметики ординаловДля операций над ординалами выполнены некоторыезаконы арифметики:I свойства ноля и единицы,I ассоциативность сложения и умножения,I дистрибутивность умножения относительносложения,I дистрибутивность степени относительно умноженияДоказательство.

Это тоже несложноHАрифметика ординаловОписали ли мы всевозможные ординалы?Арифметика ординаловОписали ли мы всевозможные ординалы?УтверждениеВсе ординалы в арифметике, построенной над0, 1, . . . , n . . . , ω, счётныАрифметика ординаловОписали ли мы всевозможные ординалы?УтверждениеВсе ординалы в арифметике, построенной над0, 1, . . . , n . . . , ω, счётныДоказательство. Очевидно (достаточно пронумероватьэлементы ординала, получаемого в результате применениякаждой операции)HАрифметика ординаловОписали ли мы всевозможные ординалы?УтверждениеВсе ординалы в арифметике, построенной над0, 1, .

. . , n . . . , ω, счётныДоказательство. Очевидно (достаточно пронумероватьэлементы ординала, получаемого в результате применениякаждой операции)При этом существуют и несчётные ординалыHАрифметика ординаловОписали ли мы всевозможные ординалы?УтверждениеВсе ординалы в арифметике, построенной над0, 1, . . . , n . . . , ω, счётныДоказательство. Очевидно (достаточно пронумероватьэлементы ординала, получаемого в результате применениякаждой операции)При этом существуют и несчётные ординалы: например,ординал, получаемый добавлением недостающих элементов вмножество 2N0HАрифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Арифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Теорема ЦермелоДля любого множества X существуют ординал Y ибиекция f : X → YАрифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Теорема ЦермелоДля любого множества X существуют ординал Y ибиекция f : X → YДоказательство довольно хитрое, и сейчас я его не привожу;для интересующихся оно появится в слайдах позжеАрифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Теорема ЦермелоДля любого множества X существуют ординал Y ибиекция f : X → YДоказательство довольно хитрое, и сейчас я его не привожу;для интересующихся оно появится в слайдах позжеЧто важно знать про эту теорему: она равносильна аксиомевыбораАрифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Теорема ЦермелоДля любого множества X существуют ординал Y ибиекция f : X → YДоказательство довольно хитрое, и сейчас я его не привожу;для интересующихся оно появится в слайдах позжеЧто важно знать про эту теорему: она равносильна аксиомевыбораНа основе этой теоремы можно дать следующее определениемощности множества:мощность множества X — это минимальный ординал |X|, длякоторого существует биекция из множества XАрифметика ординаловА причём здесь мощности множеств?Теорема ЦермелоДля любого множества X существуют ординал Y ибиекция f : X → YДоказательство довольно хитрое, и сейчас я его не привожу;для интересующихся оно появится в слайдах позжеЧто важно знать про эту теорему: она равносильна аксиомевыбораНа основе этой теоремы можно дать следующее определениемощности множества:мощность множества X — это минимальный ординал |X|, длякоторого существует биекция из множества XВсе базовые непротиворечивые факты про мощности множествбез изменений переносятся с наивной теории множеств натеорию Цермело-ФренкеляКонтинуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Континуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Теперь это утверждение можно записать в виде формулытеории множеств:КГ: ∀X (|X| < |2N0 | → |X| ≤ |N0 |)Континуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Теперь это утверждение можно записать в виде формулытеории множеств:КГ: ∀X (|X| < |2N0 | → |X| ≤ |N0 |)ЗдесьI |S| — это мощность множества S, то есть минимальныйординал, в который существует биекция из SКонтинуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Теперь это утверждение можно записать в виде формулытеории множеств:КГ: ∀X (|X| < |2N0 | → |X| ≤ |N0 |)ЗдесьI |S| — это мощность множества S, то есть минимальныйординал, в который существует биекция из SI < — это синоним для символа ∈Континуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Теперь это утверждение можно записать в виде формулытеории множеств:КГ: ∀X (|X| < |2N0 | → |X| ≤ |N0 |)ЗдесьI |S| — это мощность множества S, то есть минимальныйординал, в который существует биекция из SI < — это синоним для символа ∈I константу N0 несложно определить формулой теориимножествКонтинуум-гипотезаВернёмся к вопросу, поставленному в лекции 13:правда ли, что не существует множествмощности строго между |N0 | и |2N0 |?Теперь это утверждение можно записать в виде формулытеории множеств:КГ: ∀X (|X| < |2N0 | → |X| ≤ |N0 |)ЗдесьI |S| — это мощность множества S, то есть минимальныйординал, в который существует биекция из SI < — это синоним для символа ∈I константу N0 несложно определить формулой теориимножествI операцию 2· также несложно определить формулой теориимножествКонтинуум-гипотезаЧто известно про континуум-гипотезу:Континуум-гипотезаЧто известно про континуум-гипотезу:Теорема (Гёдель, 1940)Если теория ZF непротиворечива, то теория ZFC ∪ {КГ}также непротиворечиваКонтинуум-гипотезаЧто известно про континуум-гипотезу:Теорема (Гёдель, 1940)Если теория ZF непротиворечива, то теория ZFC ∪ {КГ}также непротиворечиваЗначит, континуум-гипотеза правдоподобнаКонтинуум-гипотезаЧто известно про континуум-гипотезу:Теорема (Гёдель, 1940)Если теория ZF непротиворечива, то теория ZFC ∪ {КГ}также непротиворечиваЗначит, континуум-гипотеза правдоподобнаТеорема (Коэн, 1963)Если теория ZF непротиворечива, то теорияZFC ∪ {¬КГ} также непротиворечиваКонтинуум-гипотезаЧто известно про континуум-гипотезу:Теорема (Гёдель, 1940)Если теория ZF непротиворечива, то теория ZFC ∪ {КГ}также непротиворечиваЗначит, континуум-гипотеза правдоподобнаТеорема (Коэн, 1963)Если теория ZF непротиворечива, то теорияZFC ∪ {¬КГ} также непротиворечиваЗначит, континуум-гипотеза никак не подтверждается и неопровергается аксиомами ZFCКонец лекции 15.