Презентация 15 (Лекции), страница 3

. . , n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиАрифметика ординаловТак какие же есть ординалы?Начнём с множеств 0, 1, . . . , n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиУтверждение. 0 — наименьший ординалДоказательство. ОчевидноHАрифметика ординаловТак какие же есть ординалы?Начнём с множеств 0, 1, . . . , n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиУтверждение. 0 — наименьший ординалДоказательство. ОчевидноОбозначим множество N0 символом ωHАрифметика ординаловТак какие же есть ординалы?Начнём с множеств 0, 1, .

. . , n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиУтверждение. 0 — наименьший ординалДоказательство. ОчевидноОбозначим множество N0 символом ωα — предельный ординал, если не существует ординала β,такого что α = β ∪ {β}HАрифметика ординаловТак какие же есть ординалы?Начнём с множеств 0, 1, . . .

, n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиУтверждение. 0 — наименьший ординалДоказательство. ОчевидноHОбозначим множество N0 символом ωα — предельный ординал, если не существует ординала β,такого что α = β ∪ {β}Утверждение. ω — наименьший предельный ординалДоказательство. ОчевидноHАрифметика ординаловТак какие же есть ординалы?Начнём с множеств 0, 1, .

. . , n, . . . , N0 — они существуют иявляются ординаламиУтверждение. 0 — наименьший ординалДоказательство. ОчевидноHОбозначим множество N0 символом ωα — предельный ординал, если не существует ординала β,такого что α = β ∪ {β}Утверждение. ω — наименьший предельный ординалДоказательство. ОчевидноHЕсли α — ординал, то записью α + 1 обозначим ординал α ∪ {α}Арифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:Арифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αАрифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1Арифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1SI α+β =(α + γ), если β — предельный ординалγ<βАрифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1SI α+β =(α + γ), если β — предельный ординалγ<βУтверждение: сложение ординаловЕсли α и β — ординалы, то α + β — ординалАрифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1SI α+β =(α + γ), если β — предельный ординалγ<βУтверждение: сложение ординаловЕсли α и β — ординалы, то α + β — ординалДоказательство.Если множество α + β существует, то оно, очевидно, являетсяординаломАрифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1SI α+β =(α + γ), если β — предельный ординалγ<βУтверждение: сложение ординаловЕсли α и β — ординалы, то α + β — ординалДоказательство.Если множество α + β существует, то оно, очевидно, являетсяординаломЕсли β не предельный ординал, то существование очевидноАрифметика ординаловОпределим операцию сложения ординалов:I α+0 = αI α + β = (α + γ) + 1, если β = γ + 1SI α+β =(α + γ), если β — предельный ординалγ<βУтверждение: сложение ординаловЕсли α и β — ординалы, то α + β — ординалДоказательство.Если множество α + β существует, то оно, очевидно, являетсяординаломЕсли β не предельный ординал, то существование очевидноЕсли β — предельный ординал, то существование следует изиндуктивности ординалов (β = {γ | γ < β}) и схемыпреобразования с функцией, преобразующей γ в α + γHАрифметика ординаловОпределим операцию умножения ординалов:Арифметика ординаловОпределим операцию умножения ординалов:I α·0 = 0Арифметика ординаловОпределим операцию умножения ординалов:I α·0 = 0I α · β = α · γ + α, если β = γ + 1Арифметика ординаловОпределим операцию умножения ординалов:I α·0 = 0I α · β = α · γ + α, если β = γ + 1SI α·β =(α · γ), если β — предельный ординалγ<βАрифметика ординаловОпределим операцию умножения ординалов:I α·0 = 0I α · β = α · γ + α, если β = γ + 1SI α·β =(α · γ), если β — предельный ординалγ<βУтверждение: умножение ординаловЕсли α и β — ординалы, то α · β — ординалДоказательство.

Аналогично доказательству утверждения осложении ординаловHАрифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:Арифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:I α0 = 1Арифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:I α0 = 1I αβ = αγ · α, если β = γ + 1Арифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:I α0 = 1I αβ = αγ · α, если β = γ + 1I αβ = 0, если β — предельный ординал и α = 0Арифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:I α0 = 1I αβ = αγ · α, если β = γ + 1I αβ = 0, если β — предельный ординал и α = 0S γI αβ =(α ), если β — предельный ординал и α > 0γ<βАрифметика ординаловОпределим операцию степени ординалов:I α0 = 1I αβ = αγ · α, если β = γ + 1I αβ = 0, если β — предельный ординал и α = 0S γI αβ =(α ), если β — предельный ординал и α > 0γ<βУтверждение: степень ординаловЕсли α и β — ординалы, то αβ — ординалДоказательство.

Аналогично доказательству утверждения осложении ординаловHАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Арифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство. Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4<ωАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4<ω <ω+7Арифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4<ω <ω+7<2·ωАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4<ω <ω+7<2·ω <2·ω+2Арифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.

Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4 < ω < ω + 7 < 2 · ω < 2 · ω + 2 < ω2 + ωАрифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство. Это несложно (достаточно для каждого пунктаопределения операций над ординалами показатьпринадлежность одного ординала другому)HТогда справедливы будут, например, такие неравенстваординалов:4 < ω < ω + 7 < 2 · ω < 2 · ω + 2 < ω2 + ω < ωω + ω3 + 1Арифметика ординаловА даёт ли арифметика ординалов возможность получитьординалы, которых мы до этого не встречали?Утверждение: сравнение в арифметике ординаловДля любых ординалов α, β, γ верно:I α < β⇔ γ+α<γ+βI α < β и γ > 0⇔ γ·α<γ·βI α < β и γ > 1⇔ γα < γβДоказательство.