Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений (2002) (Добрица Б.Т., Янов И.О. - Системы дифференциальных уравнений)

мОскОВский гОсудАРстВенныЙ технический униВеРситет им. Н.Э. БАУМАНА Б.Т. ДОБРИЦА, И.О, ЯНОВ ,Н, ".,:, Методические указания к выполнению типового расчета ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока 1611 Москва Издательство МГТУ нм. Н.Э. Баумана 2002 УДК 517.9 ББК 22.161.6 Д55 Рецензент Б.Н. Окпемоя ПРКДИСЛОВИБ УДК б17.9 ББК 22лбз.б О МГТУ им.

Ндь Бауьяша, 2002, ГВБ1Ч 2-ТОЗОВ-ГЛВ2.0 Д55 Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений: Методические указания к выполнению типового расчета. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.З. Баумана, 2002. — 44 с. 18ВХ 5-7038-1483-9 Б мстоличаских укатаиилх Рассмотрен рлл тсм, иалосгаточио освещанных а учебной литературе, ио исобхолимых юы успешного приложения математического анализа к иижсисриым запалам. Приседало большое количество примеров с решениями и укалаииямп, а также примеров для самостоягальиого рсшсииа. для студентов 1-го курса, выполняющих типовые расчстм.

Ил, 2, Представленнап работа содержит необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и иллюстрирует приемы решения задач различной сложности, Рассмотрен ряд приемов решения систем линейных и нелинейных уравнений, причем для линейных уравнений рассмотрепы случаи постоянных и переменных козффициентов, однородный и неоднородный случаи, а также все случаи корней характеристического уравнения, Подробно разобраны соответствугощие типовые примеры. Приведены варианты задач для самостоятельного решения.

Работа носит обучагоший характер, что актуально при недостаточном количестве аудиторных часов работы со студентами. В целом методические указания отвечают поставленным задачам и будут весьма полезными для студентов технических вузов„ а также для проведения семинарских занятий и самостоятельной работы студентов. Иг,х„х„... »х„); их! Й Л(г, х„хм..., х„); Ых, !(! 1. ОВЩИК ПОЛОжКНИЯ И ОПРКДКЛКНИЯ Система обыкновенных дифференциальных уравнений, раз!!««!»!!«! решенная относительно старших производных у,, у, у!"', называется канонической системой. Каноническая система имеет вид У! =,У~!(» Уоу!» - У!' У!«У! .- У! '"»У«»у« "*У» )'* М-!), (ь-«( (ь-!( .

(ь) (ь4 ( 4 (.4з УЗ А(х» У!» У!«'"»У! «У!«У!»'"'»У! «""»У»»У«»»"'гул )» У«У«(х У!»У(» " У!»Уму» *-.У! *- У У,'*" »У«) (ь4 (!!4 (ь-«( где х — аргумент; у!, УЗ, ..., у„— неизвестные функции; у!', у,", ..., у„'""' — производные от неизвестных функций, Число р: хг+ ха+ ... + /с„называется порядком системы (1). Пример !. Привести к каноническому внау систему уравнений У!У -(й(У -У!) =О, !и у," - у, + у, О.

Реьтеиие. Разрешая первое уравнение относительно у,", а второе — относительно у,', получаем каноническую систему: у," = агсгй(у,у() + у,; у ел««« Здесь й! = 2, йз 1, поэтому порядок системы р Э. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида ~- = Я!»х!»х!»'" ' »Х«)» Нх (Й х ... х — неизвестные функции от О назь!- где ! — аргумент; х!, Хз, ..., веют нормально си» й стемай число л — порядком системы. Две системы дифференци рф ц альных уравнений называют экю!аалептвыми, если они имеют одни и дни и те же решения. Любую каноническую 2, но привести к эквивалентной ей системе ( ), причем порядок этих систем будет один и тот же.

П 2, Привести к нормальной системе следующую сис- ример тему дифференциальных уравнений: (2„ О гй" е' — + Зх О. ( !(У !(! Решение! Положим х х!, — = х„у хз, тогда будем иметь — ~х- х = О; У = — ', Даниэл система приводится к нормаль,(! »! "- ной системе третьего порядка; «(х! — = Х!,' !(! их — !. = х>, й 2»! и! е' Пример 3. Привести дифференциальное уравнение !З Х !! Х «(Х й~ ' !(! ' !(! + р (!) — г + р,(!) — + «1(!)х ° О к нормальной системе. с(х с(»х с(х, Решесснес Положим х = хн — = х„— = х, тогда — ' = х ссс ' И~с 3' » с( х ссх ' = хз — с = — 2. Подставив эти с(с ' с(с' сгс ' пение, получим выражения в исходное урав- ссх --~+ Р,(с)хз+ рс(с)хс+ Ч(с)х~ = О. ссс Нормальная система имеет вил — »»~х ' с(х, 2» — х; ссх 3 — =-р(с)~ -р(с)~ -ч(с)~г »сх, х1 = »р»(с), хз нз(с), ..., х„= ч»„(с), таких что Решепием системы уравнений (2) на промежугке Х»= 1( называют совокупность непрерывно дифференцнруемых на «функций: Систему ( ) образом; — = г(с, Х), ссс если ввести следующие вектор-функции: с)х, с(с с(с «;(с,х1»х„...

» х„) «;(с,х„х,„. „х„) х,(с) Х(с)- ' Р(с Х~- х,(с) х„(с) «'„(с, х, „х„..., х„ Начальные условия при этом примут следующий вид: точки й«,(со хсо, хзь „х.о) „в которой функции «с (' "с хз - х~) С = 1»ш а) непрерывны; б) имеют ограниченные частные произвадныс — ', где С,« = 1,л, то найдетсл интервал со — Сс < с с со Сс + изменения с, в котором существует единственное решение системы (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

2 можно записать в матричной форме следующим — =Л(с,н(с),".,н„(с)), 1=1,л, длявс хся « с Задачей Коши для системы (2) называется задача нахождения решения хс х»(с), хз хз(с), ..., х„х„(с) этой системы, удовлетворяющего начальным условиям Мсо) хю хз(со) " хто -, х„(со) х„о, (З) где со, хсо хш, ..., х„о — заданные числа. Теорема существовании и едияствешсосси решения задачи Конш. Пусть в нормальной системе (2) функции «с (с, хп хж ..., х„), с =1,сс, определены в некоторой (л+!)-мерной области Ю изменения переменных с, хп хз, х„. Если существует окрестность й 'У(со) = '~о "де 2о Общим реасеиием системы дифференциальных уравнений (2) называется система л дифференцируемых по с функций: х, - "х,(с, С„Сп ..., С„); х, = хс(с, фф..., С„)"1 х„х„(с, фф..., С„), непрерывно зависящих от ~ и л произвольных постоянных Сп Сз, ..., С„, если: при любых лопустимых значениях Сп Сз„..., С„система функций (5) обращает уравнения (2) в тождества; в области, в которой выполняются условия теоремы Коши„ Функции (5) являются решениями любой задачи Коши.

2. ПОНЯТИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА И ФАЗОВОИ ТРАЕКТОРИИ Будем считать переменную г временем. Тогда в евклидовом пространстве с прямоугольными координатами хп хз, ..., х„решение х1 х~(г), хз = хз(г), ..., х„= х„(0 определяет закон движения точки по некоторой траектории в зависимости от времени 6 с(Х ~Их, Их йг„1 причем — = ~ — ', — з-,. „„— ") — скорость движения точки. й й*й' "й Система — '= у;(г,хох„...,х„) (! ),л), или — =Р(г,Х)„ й называется динамической, пространство с координатами хп хз,,, х„называется фазовый пространством, Х = Х(г) — Фазовой траекторией системы. Рассмотрим (лля простоты) нормальную систему двух дифференциальных уравнений: ох ~~.= Д(дх,,х,) (б) Систему значений 6 хп хз можно интерпретировать как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства в системе координат Огх!хь Решение х! х!(г);хз хз(г), принимающее при г га значения хпь хзе, изображает в этом пространстве линию, проходящую через точку Ме(ге, х!е, хзв), Зта линия называется интегральной кривой нормальной системы (6).

Задача Коши для системы (6) имеет следующий геометрический смысл: в пространстве переменных 6 хп хз найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку (!е, хю, хзв), Теорема Коши устанавливает существование и единственность такой кривой. Пусть г — время, а система значений функций хп хз — прямоугольные декартовы координаты точки на плоскости Пх!хь Такая плоскость, согласно общему определению, называется фазовой плоскостью. Тогда решение х1 = х!(~); хз хз(!) системы (6), принима1ошее при г = Ф начальные значения хиь хвь изобрюкает- на Фазовой плоскости линией 2.

(рис. !), проходящей через точку Ме (хиь хзе). Эту линию 1. называют Фвзовой траекторие ~ей системы (б). Фазомя траектория — это проекции интегральной кривой на Фазовую плоскость. Система (б) определяет в каждый момент времени г в данной точке (хп хз) Фазовой плоскости координаты скорости Я~(г), ЯВ движущейся точки. Стрелка на рис. ! указывает направление движения фазовой точки (х!(0, хз(гЦ по Ь в сторону возрастания а Пример 4. Построить фазовые кривые системы уравнений лх~ х2 ! й (7) ~(хз — =-х, й и выделить Фазову1о траекторию, проходящую через точку с координатами х!(О) х!в, хз(0) ' хзе.

Роиеяие, Дифференцируем по г первое уравнение: Фх Юь йз й »2 Х! „с!~х! ~2 х!« "."~-+ х! = О, лу х,'+х' С,'+ С,' или х,'+х,' =С' !у!(» х! Х2 «х««) С! !у,(»,х~х„" х.) С2 х» (»,х„х„.„,х„) =С.. !О затем подставляем значение — х из второго урав »Й уравнения: )(арактеристическое уравнение»»2 + ! = О, тогда»» = х». Учитывая, что — = х запишем б »(Х! »»» 2' о шее решение: < х, С, соз»+ С зш»; х, = -С, зш»+ С, соз». (8 Подставляя начальные условия, получаем частное решение: ( х х соз»+ хз«а»п»; х, =-х„,зшс+х„соз».

Исключая» из уравнений (8) с помо рат и сложения , находим: с помощью возведения в квад- с центром в точке (О, 0) и сама точка (О, О) (рис. 2), При заданных начальных условиях фъ з фа- В», ОК О овая траектория представляет б й со о ружность, проходящую через точку 2)уа(хнь хзе).

Направление движения определяем из исходных уравнений (7). х! «« »(х Из уравнения — ~ -х видно чт о, что при х, > О величина х убывает, а при Рис. 3 х, с 0 возрастает, т.е. точка М лвижется по ходу час»»вой стрелки. ч. Цтгрйцй ИН2ЕРРАП СИС2"КМЦ И„, Вом нормальной системы называется функция х!(», х!, „), определенная и непрерывная со своими воими частными производными первого Порядка —, — — д«!«в обл д!у д!à —, —, — ""',, в области х,' х '" дх (1 если при подстановке В нее пРОизВОльногО решения х (») х (»), х„(») она принимает постоянное значение для любого», т.е.