Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности, страница 7

Нормированная волновая функция равна:ψ0 (Q) =1π 1/412e− 2 Q .(4.2)В размерных единицах:³ mω ´1/4 mωx2− x21ψ0 (x) = 1/4 √ e 2x0 =e− 2~ .π~πx02(4.3)Зная основное состояние, легко построить любое возбужденное:¯ + n¯¯ (â ) ¯ψn (x) = hx ¯¯ √ ¯¯ xi.n!В безразмерных единицах получаем:µ¶1d n −Q2 /2√e.(4.4)ψn (Q) =Q−dQ2n/2 n!Сooтветственно, в размерных единицахψn (x) =µµ¶¶1 ³ mω ´1/4³ mω ´n/2mωx2~ d n√=exp −x−. (4.5)2~mω dx2~n! π~Как хорошо известно, в результате выполнения дифференцирования появляется предэкспоненциальный многочленn-й степени – полином Эрмита Hn (Q), для которого гауссова экспонента exp(−Q2 /2) есть производящая функция.56Совершенно аналогично определяется вид волновой функции осциллятора в импульсном представлении hp|ni = an (p).Опять сперва определим вид волновой функции основногосостояния:Zhp|0i = hp|â dp0 |p0 ia0 (p0 ) = 0.(4.6)В p-представлении в безразмерных переменных получаетсятакое же дифференциальное уравнени嶵1d2+ iP a0 (P ) = 0, и a0 (P ) = 1/4 e−P /2 .

(4.7)idPπВ размерных единицах легко получаемa0 (p) =12e−p /2m~ω .1/4(πm~ω)Результат, впрочем, вполне очевиден, если вспомнить, чтообраз Фурье от гауссовой экспоненты также есть гауссоваэкспонента.Посмотрим теперь, как выглядит соотношение неопределенностей для координаты и импульса в произвольномсостоянии осциллятора. Поскольку√√hm|â|ni = nδm,n−1 , hm|â+ |ni = n + 1δm,n+1 , (4.8)легко получить√¢x0 ¡√nδm,n−1 + n + 1δm,n+1(4.9)hm|x̂|ni = √2и аналогичное выражение для оператора импульса.Таким образом видим, что hn|x̂2k+1 |ni = 0, но hn|x̂2k |ni 6=0.

Иными словами, средние значения координат и импульса в любом состоянии осциллятора равны нулю. Поэтому определение дисперсии сводится к вычислению средних значений от квадратов этих операторов: ∆x2 = x2 и57∆p2 = p2 . Получаем:¶µ¡ +¢x201++22hn| (â )2 + â â + ââ + â |ni = x0 n +.hn|x̂ |ni =222Совершенно аналогично имеем:¶µ1.hn|p̂2 |ni = p20 n +2Таким образом соотношение неопределенностей принимаетвид:µ¶122222h(∆x) ih(∆p) i ≡ hx ihp i = ~ n +.(4.10)2Как видно из формулы (4.10), в основном состоянии достигается минимум соотношения неопределенностей. Иными словами, основное состояние осциллятора представляетсобой наиболее классичную систему.2.5Когерентные состояния осциллятораМы видели, что оператор â неэрмитов, однако ни что немешает нам рассмотреть формально задачу на собственныезначения и состояния этого оператора:â|αi = α|αi.(5.1)Здесь α – любое, в общем случае комплексное, число.Решим сразу эту задачу в координатном представлении.

Используем для простоты безразмерные переменныеhQ|â|αi = αhQ|αi,58(5.2)ил趵1d√ψα (Q) = αψα (Q).(5.3)Q+dQ2Уравнение практически ничем не отличается от уравнения(4.1), поэтому сразу получаем (нормированное) решение1eα1/42 −(<α)21e− 2 (Q−√2α)2.(5.4)πКак видим, это основное состояние осциллятора, у которого “положение равновесия"(среднеезначение координаты√x) сдвинуто на 2α. Поэтому в этом состоянии минимизируется соотношение неопределенностей. Состояние (5.4)называется когерентным. Рассмотрим некоторые его замечательные свойства.Разложим “неизвестное"состояние |αi по известным базисным состояниям гармонического осциллятораX|αi =Cα,n |ni.(5.5)ψα (Q) =nПодействуем на разложение (5.5) оператором â :XXX√â|αi = αCα,n |ni =Cα,n â|ni =Cα,n n|n − 1i.nnnОткуда получаем рекуррентное соотношениеαCα,n = √ Cα,n−1 ,nαnили Cα,n = √ Cα,0 .n!Таким образом разложение (5.5) принимает видX αn√ |ni.|αi = Cα,0n!nОтнормируем полученное выражение:1 = hα|αi = |Cα,0 |2X |α|2 nn59n!2= |Cα,0 |2 e|α| .Таким образом нормированное разложение (5.5) для когерентного состояния принимает видX αn12√ |ni.(5.6)|αi = e− 2 |α|n!nСогласно принципу суперпозиции квадраты модулей коэффициентов в разложении (5.6) определяют вероятности обнаружить n-е возбужденное состояние осциллятора с энергией En = ~ω(n + 1/2).

Видно, что вероятности обнаружения соответствующего состояния осциллятора определяются распределением Пуассона:¡ 2 ¢n|α|22wn = |Cα,n | =e−|α| .(5.7)n!Согласно свойствам распределения Пуассона среднее значение возбужденного n-го уровня (или энергии) определяется какn = |α|2 .(5.8)Система когерентных состояний |αi неортогoнальна, но полна. Действительно,X αn (α0 ∗ )n0 22√hn0 |ni =hα0 |αi = e−(1/2)(|α | +|α| )0n !n!n0 ,n0 2 +|α|2 )= e−(1/2)(|α |∞X(αα0 ∗ )nnn!= e−(1/2)(|α|2 −2α0 ∗ α+|α|2 )=0 2= e−(1/2)|α−α | .Проверим теперь свойство полноты системы состояний. Параметр-переменная α = <α + i=α принимает все возможные значения в комплексной плоскости, поэтому условиеполноты выглядит какZ 2d α|αihα| = 1̂.(5.9)π60Действительно, убедимся, что оператор (5.9) единичный.Проделаем стандартные выкладки из теории представлений:Z 2Z 2d αd α|αihα||ni =hm|αihα|ni.hm|ni = δmn = hm|ππДалее воспользуемся выражением (5.6) и подставим его вподынтегральное выражение:Z m ∗ nα (α ) −|α|2 d2 α√ √ ehm|ni =.πm! n!Сделаем в комплексной плоскости стандартную замену переменных:α = |α|eiϕ ;|α|2 = y;d2 α = |α|d|α|dϕ =1dydϕ.2Продолжая выкладки, получаем:Z ∞Z 2π1(m+n)/2 −y√ √ye dyei(m−n)ϕ dϕ =2π m! n! 00Z ∞δmn=y n e−y dy = δmn .n! 0Таким образом показали, что неортогональная система когерентных состояний полна.Когерентные состояния широко используются для описания свободного электромагнитного поля в квантовой механике, однако убедиться в этом мы сможем после того, какувидим, как описывается квантованное электромагнитноеполе.61Глава 3Матрица плотности3.1Определение матрицы плотностиВернемся к формуле (1.7) главы 1, определяющей среднеезначение оператора, но перепишем ее в дираковских обозначениях, полагая, что можно выбрать какой-либо дискретный базис |ni :XXXf=hn0 |c∗n0 fˆcn |ni =c∗n0 cn hn0 |fˆ|ni =fn0 n c∗n0 cn .

(1.1)n,n0n,n0n,n0В формуле (1.1) произведение коэффициентов разложения(параметров, определяющих состояние в данном базисе)можно рассматривать как матрицу. Обозначим ее так:ρnn0 = cn c∗n0 ,(1.2)тогда определение (1.1) перепишется в виде следа произведения матриц оператора и вновь введенной (1.2):XXf=fn0 n ρnn0 ≡ρnn0 fn0 n = T rfˆρ̂c ,(1.3)n,n0n,n062где введен новый оператор:ρ̂c :ρnn0 = hn|ρ̂|n0 i.(1.4)Вспомним, что произведение векторов состояния в “обратном” порядке (вектор кет слева от вектора бра), представляет собой оператор, и перепишем определение оператораρ̂c в другом виде:XXXρ̂c =cn c∗n0 |nihn0 | =cn |nic∗n0 hn0 | = |ΨihΨ|.

(1.5)nn,n0n0Действительно, для так введенного оператора получаем:XXck c∗k0 δn0 ,k δk0 ,n = cn c∗n0 .hn|ρ̂c |n0 i =ck c∗k0 hn0 |kihk 0 |ni =k,k0k,k0Заметим, что выполняется условие нормировки состояния:X|cn |2 = 1.nВведенная нами матрица ρ̂c эрмитова, действительно:XXc∗n cn0 |n0 ihn| = ρ̂c . (1.6)(cn c∗n0 )∗ (|nihn0 |)+ =ρ̂+c =n,n0n,n0Видно, что след матрицы оператора ρ̂c равен единице:XXXT rρ̂c =cn c∗n |nihn| =|cn |2 hn|ni =|cn |2 = 1, (1.7)nnnсоответственно, диагональные матричные элементы определяют вероятности обнаружения системы в данном собственном состоянии.Если квантовая система может быть описана векторомсостояния |Ψi, говорят, что она находится в чистом состоянии.

Для замкнутых систем такая ситуация имеет место63всегда по определению. Введенная выше матрица (1.2) называется матрицей плотности чистого состояния, а оператор (1.4), соответственно оператором плотности или статистическим оператором, который удовлетворяет условию чистого состояния:ρ̂2c = (|ΨihΨ|)2 = |Ψi (hΨ||Ψi) hΨ| = |ΨihΨ| = ρ̂c .(1.8)Вообще говоря, для чистого состояния введение матрицы плотности совершенно не обязательно, поскольку приводит к переписыванию привычных выражений в другомвиде.

Однако ситуация радикально изменяется, если мырассматриваем незамкнутую систему или статистический ансамбль одинаковых систем. В этом случае систему(ансамбль) уже нельзя описать вектором состояния. Представим себе ансамбль совершенно одинаковых замкнутыхсистем. Мы понимаем, что состояние каждой системы определяется вектором состояния |Ψi.

В собственных состояниях этой системы определен полный набор квантовых чисел, однако само состояние может быть и несобственным,а некоторой суперпозицией:X|Ψi =cn |ni,(1.9)nгде n обозначает полный набор величин, определяющихсобственное состояние системы. Иными словами, в данномсостоянии |Ψi, вообще говоря значения физических величин не определены, а получаются в результате измерений сопределенными вероятностями |cn |2 .

Соответственно, каждая система в рассматриваемом ансамбле одинаковых систем тоже может находиться в своем состоянии |Ψa i с некоторой вероятностью wa , уже не имеющей отношения к чисто квантовым свойствам системы, а определяемой способом создания (приготовления) данной системы в ансамбле.64Если мы теперь зададимся вопросом: чему равно среднеезначение данной физической величины по ансамблю?, мыдолжны будем усреднить выражение (1.1) по всему ансамблю, т.е.

просуммировать средние значения данной величины в каждой системе ансамбля с вероятностью существования системы в данном состоянии в ансамбле:XXXf ans =wa f a =wa hΨa |fˆ|Ψa i,wa = 1. (1.10)aaaПодставим в определение (1.10) разложение вектора |Ψi пособственным состояниям (1.9):XXf ans =wa(1.11)c∗n0a cna hn0a |fˆ|na i.ana ,n0aПоскольку все системы ансамбля совершенно одинаковы,это означает, чтоhn0a |fˆ|na i = hn0a0 |fˆ|na0 i = hn0 |fˆ|ni = fn0 n .Следовательно матричный элемент оператора не зависитот суммирования по системам ансамбля, но зависит толькоот состояния, в котором находится данная система, и егоможно вынести из-под знака суммирования по ансамблю:XXXf ans=hn0 |fˆ|niwa c∗n0a cna =fn0 n ρnn0 = T r(fˆρ̂). (1.12)an,n0n0 ,nЗдесь введено обозначения для матрицы плотности ансамбля систем (подсистем):X(1.13)wa c∗n0a cna ,ρnn0 =aСоответственно,ρ̂ =XXn,n0awa c∗n0a cna |nihn0 |.65Вычислим, как и в случае чистого состояния, след матрицы(1.13):XXXX|cna |2 =wa = 1.(1.14)T rρ̂ =ρnn =wannaaЗдесь мы учли условие нормировки состояния каждой системы в ансамбле и вновь получили условие (1.7).Вычислим теперь квадрат матрицы (1.13):X X Xρ̂2 =wa wa0 c∗n0a cna c∗m0 0 cma0 |na ihn0a ||ma0 ihm0a0 |.aa,a0 na ,n0a ma0 ,m0 0aПоскольку состояния в различных системах ансамбля ортогональны hn0a |ma0 i = δn0 m δaa0 , получаемXXc∗ma cna c∗m0a cma |nihm0 | =ρ̂2 =wa2a=Xna ,ma ,m0awa2a=XaXna ,m0awa2Xna ,m0acna c∗m0a |nihm0 |Xm|cma |2 =c∗m0a cna |nihm0 | 6= ρ.Возьмем теперь след от квадрата матрицы плотности:XXXwa2 ≤ 1(1.15)|cna |2 =T rρ2 =wa2aanaКак видим, при определении различных физических величин ансамбль систем можно теперь рассматривать какодну систему находящуюся в некотором состоянии, которое, однако нельзя выразить в виде суперпозиции (1.9),и поэтому оно не может быть определено в виде некоторого вектора.