Методичка по осциллятору, квантованию, матрице плотности, страница 6

Используя стандартную схему, нетрудно получить и другиерезультаты, позволяющиe связать общий подход дираковского формализма с представлениями волновой функции.Изложенное выше можно применить для произвольного представления. Пусть есть некоторый базис |fn i, скажем, набор собственных векторов эрмитова оператора (оператора какой-либо физической величины) fˆ:fˆ|fn i = fn |fn i.46(9.1)Пусть нужно решить стационарное уравнение ШредингераbH|ψi= E|ψi,тогда вектор состояния |ψi в представлении собственныхсостояний оператора fˆ имеет видX|ψi =an |fn i, где an = hfn |ψi.(9.2)Запишем стационарное уравнение Шредингера в “f -предстaвлении”.

Для этого спроектируем его на произвольныйвектор базиса |fn i так же, как мы это делали для p- илиx-представлений:bhfn |H|ψi= Ehfn |ψi = an E.(9.3)В уравнении (9.3) “расщепим” матричный элемент единичным операторомXXb 1̂n |ψi =b n0 ihfn0 |ψi =hfn |Hhfn |H|fHnn0 an0 .n0n0Подставляя результат в уравнение (9.3), получаем однородную систему алгебраических уравнений относительно“переменных"an :X¡¢Hnn0 − Eδn,n0 an0 = 0,(9.4)n0которое имеет нетривиальное решение, если¡¢det Hnn0 − Eδn,n0 = 0.(9.5)Уравнение (9.5), как хорошо известно, называется секулярным. Собственные значения матрицы Hnn0 определяют энергетический спектр, а коэффициенты an определяютнужные суперпозиции для собственных состояний гамильтониана.

Эта схема очень полезна для численных расчетов.47Рассмотрим теперь, как осуществляется формальныйпереход от одного представления к другому. Иными словами, если заданы состояние |ψi и оператор Fb в представлении состояний |fn i (в f -представлении), какой вид ониимеют в представлении состояний |gα i (g-представлении)?Вновь сделаем стандартное преобразование:Xfhfn |gα ihgα |F |gα0 ihgα0 |fn0 i. (9.6)hfn |F |fn0 i = Fnn0 =α,alpha0С другой стороны очевидно, чтоXX|fn i =hgα |fn i.|gα i =Sαn |gα i,α(9.7)αгде Sαn – матрица перехода от одного базиса к другому.Тогда уравнение (7.16) перепишется в видеXf−1 gSnαFαα0 Sα0 n ,(9.8)Fnn0 =α,alpha0гдеgFαα−0 = hgα |F |gα0 i– g-представление оператора Fb .Иными словами:Fb (f ) = S −1 (f ← g)Fb(g)S(f ← g).Очевидно, S –унитарная матрица.48(9.9)(9.10)Глава 2Гармоническийосциллятор2.1ГамильтонианЭта система хорошо всем известна из классической механики: частица движется под действием гармонической силы F = −kr.

Поскольку F = −∇U (r), в этом случае потенциальная энергия есть U (r) = kr2 /2. Это изотропныйгармонический осциллятор. Нам нужно определить спектри состояния осциллятора, а для этого необходимо решитьстационарное уравнение Шрёдингера:µ 2¶p̂b+ U (r) ψ(r) = Eψ(r).(1.1)2mВидно, что в данной задаче разделяются переменные, посколькуµ¶1 2122222(p̂ + p̂y + p̂z ) + k(x + y + z ) ψ(r) = Eψ(r). (1.2)2m x2Будем искать решение в виде произведения ψ(r) = ψ1 (x)ψ2 (y)ψ3 (z),тогда задача (1.1) распадается на три совершенно одина49ковых одномерных задач趵 2p̂α1 2+ kx ψα (xα ) = Eα ψα (xα );2m 2 αE=XEα . (1.3)αТаким образом задача свелась к решению одномерного уравнения Шредингера, которое в координатном представлении имеет вид:−~2 d2 ψ(x) kx2+ψ(x) = Eψ(x).2m dx22(1.4)Прежде чем приступить к решению уравнения, вспомнимосновные свойства решения одномерного уравнения Шредингера.1.

Поскольку U (x)|x→∞ → ∞, движение финитно (существуют только связанные состояния);2. cпектр только дискретный и3. при этом невырожден.2.2Операторы a и a+Как хорошо известно,p классический осциллятор колеблется с частотой ω = k/m, при этом потенциальная энергияравна U (x) = mω 2 x2 /2. Уравнение удобно решать, введябезразмерные (“осцилляторные") единицы. Начнем с энергии.

Поскольку ~ω имеет размерность энергии, тогда единица энергииE0 = ~ω,соответственно E = E0 ε.(2.1)Далее обезразмерим уравнение (1.4) на единицу энергии:µ 2¶pmω 2 2+x ψ = εψ.(2.2)2m~ω2~50Таким образом получаем единицы длины и импульсаr√~(2.3), p0 = ~ωm.x0 =mωСоответственноx̂ = x0 Q,p̂ = p0 P.Гамильтониан осциллятора принимает вид³´b = 1 Pb2 + Qb2 .H2(2.4)Вычислим коммутатор безразмерных операторов Q и P :hib = 1 [x̂, p̂] = −i.(2.5)Pb, Qp0 x 0Гамильтониан (2.4) есть квадратичная форма, которую удобно факторизовать линейным преобразованием. Для простых чисел факторизация элементарна, если ввести комплексные линейные комбинации, например, a2 + b2 = (a +ib)(a − ib).

Для операторов можно проделать аналогичноелинейное преобразование, но при этом надо помнить, что,в отличие от чисел, операторы некоммутативны. Введемнеэрмитовы операторы´´1 ³b1 ³bâ = √ Q+ iPb , и â+ ≡ (â)+ = √ Q− iPb . (2.6)22Соответственно, обратное преобразование есть:b = √1 (â + â+ ),Q21Pb = √ (â − â+ ).i 2(2.7)Подставим это линейное преобразование в квадратичнуюформу:b 2 = ââ+ + â+ â.Pb2 + Q(2.8)51Вычислим коммутационное соотношение для операторов âи â+ :´i1 h³ b b´ ³ bi ³h b b i h b bi´[â, â+ ] =Q+iP , Q − iPb =P , Q − Q, P . (2.9)22С учетом коммутатора (2.9) гамильтониан (2.4) принимаетвид:¶µ1+b.(2.10)H = ~ω â â +22.3Спектр и состояния осциллятора.

Энергетическое представлениеИтак, нам нужно решить стационарное уравнение Шредингера, т.е. найти спектр и собственные состояния гамильтониана (2.10). Решим эту задачу, используя дираковскийформализм в энергетическом представлении:bH|νi= Eν |νi,(3.1)где Eν собственные значения состояний |νi. Значение энергии в собственном состоянии есть просто среднее значениегамильтониана (2.10):¶µ1+b.(3.2)Eν = hν|H|νi = ~ω hν|â â|νi +2Очевидно hν|â+ â|νi = ||â|νi||2 = ν ≥ 0.осциллятора имеет ви䵶1.Eν = ~ω ν +21Итак, спектр(3.3)Осталось только определить, какие значения может принимать неотрицательное число ν. Для этого воспользуемся1Напомним, что (fˆ|ψi)+ = hψ|fˆ+ .52коммутационными соотношениями (2.9), тем самым покажем, какую важную роль играют коммутационные соотношения для операторов в квантовой механике. Ответим навопрос, как действуют операторы â и â+ на собственные состояния гамильтониана? Для этого достаточно вычислитькоммутатор[â, â+ â] = [â, â+ ]â + â+ [â, â] = â.(3.4)Совершенно аналогично получаем[â+ , â+ â] = −â+ .(3.5)Итак, нам нужно определить вектор â|νi = |φi.

Посколькусостояния |νi составляют базис, очевидно можно записатьX|φi =αν |νi.(3.6)νПодействуем на него оператором ν̂ = â+ â :ν̂|φi = ν̂â|νi = (âν̂−â|νi = â(ν−1)|νi = (ν−1)â|νi = (ν−1)|φi,Итак, в сумме (3.6) осталось только одно слагаемое:|φi = αν−1 |ν − 1i,или â|νi = αν−1 |ν − 1i.(3.7)Таким образом оператор â уменьшает квантовое число νна единицу, это понижающий оператор.Совершенно аналогично имеемâ+ |νi = α̃ν+1 |ν + 1i.(3.8)Подействовав n раз оператором â на состояние |νi, получимсостояние |ν − ni.

Поскольку спектр гамильтониана (2.10)дискретен и невырожден, а также E > 0, получаем, что53должно существовать минимальное число ν0 ≥ 0, соответствующее минимальному значению энергии E0 . Поскольку это минимальное число соответствует низшему уровнюэнергии, должно обязательно выполняться условиеâ|ν0 i = 0 и, соответственно hν0 |â+ = 0.(3.9)Тогда получаемhν0 |â+ â|ν0 i = ν0 = 0.(3.10)Согласно соотношениям (3.7) получаем, что квантовые числа ν должны быть целыми и неотрицательными: ν = n 趵1b, n = 0, 1, 2, .

. . . (3.11)H|ni= En |ni, En = ~ω n +2Итак, соотношения (3.11) есть решение задачи в энергетическом представлении.Найдем теперь коэффициенты в соотношениях (3.7).Поскольку√â|ni = αn−1 |n − 1i → |αn−1 |2 = n, и αn−1 = eiϕ n.Выберем фазу ϕ = 0, чтобы коэффициенты были действительными, тогда√â|ni = n|n − 1i.(3.12)Коэффициенты α̃n определяются следующим образом:√√â+ â|ni = nâ+ |n − 1i = nα̃n−1 |ni = n|ni.√n или√â+ |ni = n + 1|n + 1i.Таким образом α̃n−1 =54(3.13)Состояние |ν = 0i ≡ |0i для осциллятора основное.Согласно соотношению (3.13) с его помощью можно определить любое возбужденное состояние осциллятора.

Действительно,â+ |0i = |1i,√â+ |1i = 2|2i,â+ |2i =√3|3i,(â+ )21|2i = √ â+ |1i = √ |0i,22+(â )31|3i = √ â+ |2i = √ |0i, . . .(3.14)33!Таким образом получаем простое соотношение:(â+ )n|ni = √ |0i.n!2.4(3.15)Волновые функцииНайдем теперь волновые функции состояний осциллятора,т.е. получим решение задачи в координатном представлении: ψn (x) = hx|ni. Перейдем к координатному представлению в условииâ|0i = 0 → hx|â|0i = 0.Для этого воспользуемся стандартной процедурой теориипредставлений:ZZ¢1 ¡0 00hx|â dx |x ihx |0i = dx0 √ hx|x̂|x0 i + ihx|p̂|x0 i ψ0 (x0 ) = 0.2Удобнее сперва решить задачу в безразмерных единицах.Как помним из предыдущих лекций, операторы координаты и импульса в координатном представлении локальны,55поэтому интегральное уравнение преобразуется к дифференциальному:¶µdψ(Q) = 0.(4.1)Q + i(−idQОбыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка (4.1) легко решается: получается гауссова экспонента.