tfkp (Всё для РК в одном архиве), страница 6

ь=а СУ33ВСЧ~' венпо особап точна Поведение 4унппни в етой Ь~ ~Ы не суп3ест- вует Ь)-Е с. и-а~" Разложение в рпд ® в р м а пе с33пержит пачейь ных О3епепей (У.-6) ьЕ с." Е .6-Ор" 333~ Е*О Конеч3жп3 число членов с отрапательной сте- пень3О $40 в окрестностк беспояеч- но удаленной ТО~ОЗП пе содержат пол3лхвтель- нь3х степеней Е ~ф=,'~;„ь"+ ) „.3 Конечное число членов с ПОЗЛ Ж33тельнОй Сто" ЕНЬ333 а. Пол жительных степеней Ь - бесчнсленное мнс3пество 62.Поя л к 1 ° Определение.

То икд Жэ»х называется нулем функцяи, если в етой точке функция равна нулю ~ф) О. 2. Определение. Точке и э0. нвзывветси нулем к-ач> порядке для функции ).®, если функция виелитнчнв в точке а а ...„„, й; 1) ~Щэф ф ~Щ нли 2) фЮ) 0, ~'~р).0, ..., ~"'~а)во, ~'"'(р~фО, 3. Определение, Точка йети, назывеется полюсом к-го по рядка ф~лкцнк )»в), если в рвзложении в пяд Лоране денной функции в окр.стностн точки В а. самый большой отрицательный покэзвтель степени прн»в ж) рввен по молулю 'к );~ ~С-в ~~~ о (й 3)" ФЪаэ 4 Нахождение порядка полюсе.

Длч нахождения поря кв полюсе существуют следуянцие три возмож костят 1) Разложить функцию в ряд в окрестности полюса и нейтн к по определению 3. 2) ~У~ в йэа рд функция . имеет в этой точке н ль порядки 'к . 3) Если Йэ1э — и т - порядок нуля чнслители, ) )»(3) П - порядок нуля знаменателя, то возможны следующие онуче»ц' а) й сц, тогда Ъэц - поаос ф и его порядок и-Ъ; б) йг11, тала йети - ноль ф н его порядок В-й; в) Вед, тогда й а — устр особвя точки.

Прнмерьц найти особые точки данных функций $ф.3 определить их тнп, для поаоса нвйти его порядок, определить, чем является для и»иной функции бесконечно удаленнвя точка. 3$,1 Ь)к~ ~ 1) Найдем особые точки Ь 4э0; Й» э4 2) Опредеш»м,тнп этой особой точки по поведению функции, Ь $И = Ь й=Ж-'~ ва. йе» %~» ф'"9 Так кек предел функш»н существует н ревен конечному числу 2, то точха в»з 1 является устранимой особой точкой н) опредэпим, чем дпя данной функпии. является бвсконвч но удаленная точка. ««»» Ь0 -у ~- = э», Спэдоватэпьно, точка й з есть полюс.

$-е ае й»- 1 имеет порядок бескспэчности 2, (~-1) - 1. Следова тельно, Е«ос - полшс порядка 2-1 1, т е, простой полн»с. 1) Найдем особые точки й«0. 2) Опрэдвавю пк тнп 1-й способ» о ш»мошью одредепвния пор~~дна нупя в чисеытэпв и в зиаменатвпэ. Дш» олреде»ыиия порядка пупа в числителэ подставим в числитель и в его пропзводныа точку з«0 . Получнм 4-00ЬОсО Ц-00йй)«йа~ > ЬЛО=О, ()-0Ь~Й) «(Ъ~М4 =00$Ь, 00$0в1й О.

Так как вторая производная в тсчяв к .0 отличяа от пупа, то а«0 является дпя чисдвтепя пулам 2-го порядка. Знаменатзпь в точка с«0 - также новь 2-го порядка. Спэдоватеж но, точка а э 0 - устранимая особая точка 2-й способ: с помошьв рзздоження функпии в ряд. Разложим данну»» функпнш в ряд в окрестности точки й .О. Так как другпк осм»бык точэк фупклпя пэ имэат> то раапожвн»»в в ряд у иэе единственное в области 0«)а( ссс, т,а. на всей плоскости с вы~злотой точкой з«0 «ъэ В этом разпоженик нэт отрнпзтэпьиык стэпанай и .

Спэдоватвльно, й«0 - у«травимая особэи ттоочка. 3) Определим, чзм является для данной функнпи бескоявчно удапанаая точка. Йпя этого рассмотрим уже по».„чаянов раа пожвние в ряд данной функпип. Так как разпожение в ряд едннственпов, оно явпяется разно»гчнкем дан»к»й функпик и в окрестности точки й«0 и в окрвстности бвсконечпо удаленной точки. Так как в этом разложения бвсчпопенноа мнажвствс попожптэльпык степвнвй а, то бэскон чио удапвннвя урчка является сушэствапио особой. о~й~ » бган 1) Найдвм особые точки й -4.

2) Выясишн тип особой точки. пи~~ й фуикш»н при а.»-' Так как предел, еслн он существует, должен быть одинаковым до любому направленюо, то выберем за рассматрнваемые направланпк подход к даняой точке по действительной осн справа я слева, т.е. ~=О, Х- -4+О к ~а0> Х -+-1-0. х-~-4ео л. 0 Е -Е =Е'"х х+-<.е Так как значення пределов разлнчны, то предел прн й- —.4 не существует.

Следовательно, данная точка валяется существенно особой. 3) Выяснкм, чем является бесконечно удаленная точка длв данной функпнк. Найдем предел фуккннн прн л -е о бы гней- б я. а-вез Так как предел существует н он кокечен, то д оо - устраю~- мая особая точка. Нййтоольййй ~аййййе Я. ~3 Найтн особые точки дакных фасций, определить нх тнп, для полю-х определнть его порядок, определить, чем для данной функпвн является бесконечно удаленная точка, Ь)ш —.' " 'В)х~-Я . $Фа ' ~ —" й 3' йщеИа жаИЖ 1.

Определение. Вычетом данкой фуюшнк ~ф в данной а=а на в . р д п — на ннтегра.* от данной функлкк по замкнутому контуру Ы~. однократно обходящему лапнув точку, если функпня аналитична всюду внутрн контура з» кскшочением быть может точки О.. 133~®=~~, ф ~КАТЬ. 2, Теорема. Вычет данной функпнк $)ь) и данной й0. р н фф туС-, рп ~~~ в~ $9 , р„Л р в р ° й=а йЮ~Е)еС ~ $-0. Твблиле 2 формулы для вычисления вычете в раэжчных точках 3.

Вычет в бесконечно удаленной точке ревел сумме выч .ов во всех конечных особых точках, взятой со зьаком йвь ф = - Е кебы |Ы а пе «~ 1 д« Примеры; вычислигюь вычеты денной функппи ~ф.) во воех ее особых точках, найти вычет в бесконечно удаленной точке. ~. ~(а) = ффТочка й ь — аопюо 3-а о порядка, вы ют вычпслвем по формуле 2 ив табл. 2 при к 3. осгальнык точкак сна анапитична, то ф фРйъ =Жь~"„ййй,9й, где Й» — особые точки подынтвг алькой фу,п нни, пакащие внутри вентура интвгриронания. Пунм врыл вычислить пнтвграпы 1.с~> рд-и ~.

- окружность 11й Н еЗ ° .~. Дя Найдем особыв точки подыитег ъапьной фунзааи н опрвдепнм ик к =О - полюс 3-го порндка1 Еа Й~ - поаос 1-го порпдка1 9ь-?.ь - новос 1-го порядка. Внутри контура лежат дэе точки еьО и азаь (рис. 47). Поэтому ф 4ь —,. ~'~я ~Ю кйй~М~ Найдем аычет функции н точке дно -$-"~-Ъ-а ~®~ — ' — ~ э~~~~~'" 4вР+4Г йВ о Ы И~й~+6 й е (У~ч'" тб Вычет функпии в точки йэ 2ь ранен «=1ь Р+Ю ~ ° ' йьЧИ4 и З 1б-аЧ" йй Таким обрасом, ф лми ~ альф ~ 3 е )а Аъ ~йь ~6 ЗО 4 У Вычислить следующие иитегрельп ~. ф -Й4~~ ) М.: ~ать е ф . и. ф ~Й'- ° ~ - р оу с р в бу-ь ' "х сола ' Ф $а $«ь ц е 1» ~, Йе = ь.

з.А, ~ы~'ь к: ~а ц.~,- ''~„аа.ца-О ' Зббвлиу иа до|б. НаЯти особые точки ланнъис фунилий, определить их тип, найти вычеты в ать Особыи точили» выисниВъ~ чем дли данной функлир иаляетси бесаолечно удаленнен точка и найти вычет в ней. уь гт. ~®=~~~т;„.~ . 1а)., ф',- — „ и и. ~٠—.ф;„- ъ 5о. ~ф) -~-'-~ . уь 61. ~ф) и -~— ~ф) в Е'СЬ вЂ”. Вычнслить следуюище инта;раны с помощью вычетов: Е а~"Д.~ УЬ бб. (~ -лт — — ~ 4 ромб с верщинами Ъе2.,Ье~,~а ~~йй $, ~ ЬМЗ.Ъ УЬ бб. ф д~ЗЬбь й: ~ ж- 'ь ~ = 1. т $щцроу ное.дщрцур Ц 1 1. р (у~сбб(-ф4+ ьбмЯ~К)1 Ь,Б Е (р„,в) 1 ~ж)+ь 1В а ае 3 Рис.

40 1. 4+3'бь 2, 3 "Ю 3. 8 4. $ +Я- 6, с ч 3 1. Ю Зь 2. -(+(.47 3.-Ю-(6ь 4. а3иб(а 6*~1 у + р,~а '~ 33 (' ° (р,6О) 6' 6 =Я~"3Ю'""'+Я' Ь 4Ь 'Й" "'"'"й "~. М, аГСОЗИЪ +АМ В%1; 3.„МИГсоьжВ'+ььюйв3 1. (рис. 61). 2. (рис. 62). 3.

(рис. 63). 6 1. )а)(О)в4) М(е()е+Ь' Ъ4(-4) в(тйю. (рис. 64). 2. 11.'Ф)вс©; И((()в ~ )31(((+~4 ~~(-~у.;НИ -~-(, ОА переходит в О'А'; )( 4 переходит в окружность ~М"$) + М а~»; Ц" 2 в окружность й е (,)(еЦ в -т (рис. 66). 3. Н~фЧ; 'а)(г)в((; КФ+0еЗ+(((; М((" Ов Е1. АВ переходит в А1В21 Х 2 — в парабоду Ч а 16~01 1()~Ц 1- х ~ ъ, и парабопу Ч~ ° 1( (1(+()'Х '1 дар~~ду Ю~ -Ч(((-4) (р н о 3 ~-6~2 ~~~ л.

'а (ц+Гн.3. о а е 7 1. Аналитична зсюду. 2. Аналитична всюду~, кроме Ь О. 3. Не аналитична нн в одной точке. К а 1. 61 1+С 2. ~Ч аС0$ а+С н а 1. 2,— 2. ~~ 4чВ 3. В области ~~-1~~1~4 - сжатие; а области О «~ Е-1+С~ С 1 - раотнжение. Ко е 1 1. 14с-1~ +1. 2. Ль»-: »Ч. 8. Щ»~ а .

' М ' ' ~,2-1 ! к 1. Сходится абсолютно. 2. Сходится условно. 3. Расходится Ко зв е 12 1. Область сходимости 1й-1+Ц42. н ~~ расходится, в ~ь, 2~ сходится абсолютно. 2. Область скодимости ~Ь|С1 в Ь, сходится условно, в Ь~, Ьв расходится. 1, 2 в ~~-1 Ц 43 2.