Методы Оптимизации. Упражнения (2007-2008)

Упражнения по курсу Методы оптимизации5–6 семестры, 2007/2008 уч. год(В скобках pядом с поpядковым номеpом задачи указан ее уровень по пятибальной шкале.)1.(3) Привести примеры непрерывных функций, не достигающих своих нижних граней на ограниченном, но незамкнутом множестве; замкнутом, но неограниченном множестве.2.(3) Доказать, что единичный шаp в пpостpанстве C[a, b] не является компактным множеством.Rb3.(3) Доказать, что пpостpанство C[a, b] со скаляpным пpоизведением hf, gi = a f (t)g(t) dt неявляется гильбеpтовым.4.(3) Доказать, что "паpаллелепипед" в L2 (a, b) с постоянными границами α(t) ≡ α < β ≡ β(t)не является компактным множеством.5.(5) Доказать, что "гильбертов кирпич"noU = x ∈ `2 |xn | ≤ 2−n , n = 1, 2, . . .является компактным множеством в пространстве `2 .6.(4) Привести пример функции одной переменной, для которой в некоторой точке x справедливо представлениеh2+ ō(h2 ),f (x + h) = f (x) + f1 · h + f2 ·2но которая не является дважды дифференцируемой в этой точке.7.(3) Пусть J(u) ∈ C 2 (H).

Доказать справедливость формулы конечных приращенийZ 100hJ (u + h) − J (u), gi =hJ 00 (u + th)h, gi dt ∀u, h, g ∈ H.08.(3) Вычислить первые и вторые производные квадратичного функционала в гильбертовомпространстве H :1J(u) = hAu, uiH − hf, uiH ,2A ∈ L(H → H),f ∈ H.9.(4) Вычислить первые и вторые производные функционала J(u) = g(kukH ), где g : R1 → R1 –дважды дифференцируемая функция. Дифференцируем ли он в точке u = 0 в случае g(t) = t?в случае g(t) = t3 ?10.(5) Вычислить градиент функционалаZJ(u) =`ρ(x)|y(x; u) − z(x)|2 dx0в пространстве L2 (0, `) , где y(x) = y(x; u) – решение краевой задачи(k(x)y 0 (x))0 − q(x)y(x) = −u(x), 0 < x < `,y(0) = 0, y(`) = 0,k(x) ≥ k0 > 0, q(x) ≥ 0, ρ(x) ≥ 0 – заданные функции.11.(5) (дискретный вариант предыдущей задачиk(x) = 1, q(x) = 1, ρ(x) = 1).PN −1 для случая2Вычислить градиент функционала J(u) = i=1 |yi (u) − zi | h в пространстве RN −1 сеточныхP −1функций u = (u1 , u2 , .

. . , uN −1 ) со скалярным произведением hu, vi= Ni=1 ui vi h. Здесь h > 0 –шаг разностной сетки, z = (z1 , z2 , . . . , zN −1 ) – заданная дискретная траектория, а yi = yi (u) –решение разностной схемы yi+1 −2yi +yi−1− yi = −ui , i = 1, 2, . . . , N − 1,h2y0 = 0, yN = 0.12.(5) Пусть H – гильбертово пространство, L – его замкнутое подпространство. Доказать, чтооператор метрического проектирования из H на L является линейным ограниченным самосопряженным оператором (оператором ортогонального проектирования из H на L).13.(4) Пусть x0 – фиксированный элемент из H, x0 + L – соответствующее замкнутое линейноеаффинное многообразие.

Доказать, что тогда p = prx0 +L h в том и только в том случае, когдаp ∈ x0 + L,hp − h, `iH = 0 ∀` ∈ L.14.(3) Вычислить проекции точек на гиперплоскость {u ∈ H | hc, uiH = β} в гильбертовомпространстве H и на параллелепипед {u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn | αi ≤ ui ≤ βi , i = 1, ..., n} в Rn .15.(3) Выписать явное выражения для шага αk метода скорейшего спуска в задаче минимизацииквадратичного функционала J(u) = 21 hAu, uiH − hf, uiH (A∗ = A ≥ 0).16.(3) Найти все угловые точки множества U = {u ∈ R4 | u ≥ 0, Au = b}, 1 1 3 13A=, b=,1 −1 1 21и исследовать их на невыpожденность.17.(5) Доказательство теоремы отделимости точки от непустого выпуклого множества в Rn .18.(5) Пусть A ∈ L(H → F ), пространства H, F – гильбертовы.

Доказать, что тогдаF = ImA ⊕ kerA∗ , H = ImA∗ ⊕ kerA.19.(3) Пусть H – гильбертово пространство, отображение G(u) = (g1 (u), ..., gn (u)) : H → Rnдифференцируемо по Фреше и G0 (u) = (g10 (u), ..., gn0 (u)) ∈ L(H → Rn ) – его первая производная.Доказать, что сопряженный к G0 (u) оператор (G0 (u))∗ ∈ L(Rn → H) действует по правилу0∗(G (u)) λ =nXλi gi0 (u),λ = (λ1 , ..., λn ) ∈ Rn .i=120.(4) Множество M в R2 задано уравнением M = {x = (x1 , x2 )|F (x) = 0}, где F (x) = x21 − x42 .Найти множество T0 M касательных векторов к M в точке 0 = (0, 0) и ядро KerF 0 (0). Верно лиравенство T0 M = KerF 0 (0)?21.(4) С помощью правила множителей Лагранжа решить задачу минимизации квадратичного функционала J(u) = hAu, uiH на сфере kukH = 1 в гильбертовом пространстве H.

ЗдесьA ∈ L(H → H), A = A∗ ≥ 0 (если dim H = ∞, существование решения предполагается).22.(4) Построить вторую двойственную задачу к канонической задаче линейного программирования и показать, что она совпадает с исходной задачей.23.(4) Построить двойственную задачу к задаче минимизации1J(u) = kuk2 → inf,2Au = f,где A ∈ L(H → Rn ), f ∈ Rn , H – гильбертово пространство.24.(4) Решить задачу оптимального управленияRTJ(u) = 0 (−x(t) + u2 (t)) dt → inf,x0 (t) = u(t), 0 < t < T, x(0) = x0 ; |u(t)| ≤ a.Рассмотреть случаи а) T > 2a > 0 и б) 0 < T < 2a.25.(4) В пространстве R2 найти нормальное решение u∗ системы линейных уравнений Au = f,где u = (u1 , u2 ), Au = (2u1 + u2 , 2u1 + u2 ), f = (5, 5).

Для системы с приближенным операторомe = (2u1 + u2 , (2 − δ)u1 + u2 ), δ > 0, найти экстремалиAuue = argmin Tα (u)u∈R2e − f k2 + αkuk2 и исследовать их на сходимость к u∗ прифункционала Тихонова Tα (u) = kAuδ → 0 и значениях параметра регуляризации а) α = 0 (регуляризация не проводится), б) α = δ.Некоторые задачи из письменных контрольных работ 2007/2008 уч. года1.(5) Пусть x(t) = x(t; u) – решения краевой задачиx00 (t) = u(t), 0 < t < T ;x(0) = 0, x(T ) = 0 .Указать правило вычисления первой производной Фреше J 0 (u) функционалаJ(u) = |x(T /2; u) + 3|2в пространстве u = u(t) ∈ L2 (0, T ), найти явное значение J 0 (0) в точке u(t) ≡ 0 и исследоватьфункционал J(u) на выпуклость и сильную выпуклость.2.(5) В бесконечномерном гильбертовом пространстве H поставлена задача минимизации с двумя ограничениями-неравенствами:J(u) = hf + 4g, ui → inf,ku − hf, uif k2 6 hf, ui,hf, ui 6 1.Здесь f, g – заданные элементы из H, такие, что kf k = 1, kgk = 1, hf, gi = 0.Поставьте соответствующую двойственную задачу максимизации видаψ(λ) → sup,λ ∈ Λ,с приведением явных выражений для функции ψ(λ) и допустимого множества Λ ⊂ R2 .Найдите оптимальное решение двойственной задачи λ∗ и соответствующее ему значение функции ψ ∗ = ψ(λ∗ ).Используя полученные значения λ∗ и ψ ∗ , найдите оптимальное решение u∗ исходной задачиминимизации и соответствующую ему нижнюю грань функционала J∗ .3.(5) В пространстве L2 (0, l) поставлена следующая задача минимизации с ограничением:J(u) = kuk2L2 (0,l) → inf,y(l/2) 6 −l3 /8 .Здесь y(x) = y(x; u) – решение краевой задачиy 00 (x) = u(x),0 < x < l,y(0) = 0,y(l) = 0,соответствующее выбранной функции u = u(x) ∈ L2 (0, l).

С помощью правила множителейЛагранжа найдите нижнюю грань функционала J∗ , множество оптимальных решений U∗ изначение множителя Лагранжа λ∗ , отвечающего за ограничение. Представьте объяснения поповоду регулярности задачи и возможности выбора λ∗0 = 1 .4.(5) В гильбертовом пространстве H (dim H = ∞) поставлена задача минимизации без ограничений:J(u) = (ha, ui − 3 hb, ui − 10)2 → inf, u ∈ H ,где a, b ∈ H, kak = 1, kbk = 1, ha, bi = 0 .Найдите нижнюю грань J∗ функционала, множество U∗ оптимальных решений и решение u∗ сминимальной нормой.Для задачи с возмущенными данными√ 2e = J(u) + δ ha, ui + δ → inf, u ∈ H (δ > 0) ,J(u)найдите экстремали ue функционала Тихоноваe + α kuk2 ,Tα (u) = J(u)α > 0,и исследуйте поведение их уклонений keu − u∗ k от нормального решения u∗ при δ → 0 и выборепараметра регуляризации по правилам а) α = δ и б) α = δ 2 ..