В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций), страница 8

Çàäà÷à Êîøè Ñîðìóëèðóåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèäëÿ óðàâíåíèÿnXi=1ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèXi∂z= 0,∂xi(Xn 6= 0 â D,)z|xn =x0n = ϕ(x1 , · · · , xn−1 .)(5.5)(5.5′ )Ïóñòü èçâåñòíû (n − 1) íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîéñèñòåìû (5.2).10 .

Ïîäñòàâëÿåì â 1-ûå èíòåãðàëû xn = x0n :0Ψ1 (x1 , · · · , xn−1 , xn ) ≡ C1 ,························Ψn−1 (x1 , · · · , xn−1 , x0n ) ≡ Cn−1 .20 . àçðåøàåì îòíîñèòåëüíî x1 , · · · , xn−1 , (ò.ê. ÿêîáèàí îòëè÷åí îò íóëÿ):x1 = ω1 (C1 , · · · , Cn−1 ), · · · , xn−1 = ωn−1 (C1 , · · · , Cn−1 ).30 . Èùåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â îðìå óíêöèè, çàäàþùåé íà÷àëüíîå óñëîâèå(5.5′ ):z = ϕ(x1 , · · · , xn−1 ).Óäîâëåòâîðÿÿ íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (5.5′ ), ïîëó÷èì:z = ϕ (ω1 (C1 , · · · , Cn−1 ), · · · , ωn−1 (C1 , · · · , Cn−1 )) ,56ãäåC1 = Ψ1 (x1 , · · · , xn ),··················Cn−1 = Ψn−1 (x1 , · · · , xn ).Òàêèì îáðàçîì, ïîñòðîåíî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè.Äåéñòâèòåëüíî,1).

Ýòî (â ñèëó Ò.5.2) - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.5), ò.ê.z = Φ (Ψ1 , · · · , Ψn−1 ) .2). Îíî óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (5.5′ ) ïðè xn = x0n :z|xn =x0n = ϕ(x1 , · · · , xn−1 ).Çàìå÷àíèå. Åñëè íà÷àëüíàÿ êðèâàÿ z|xn =x0n = ϕ(x1 , · · · , xn−1 ) ÿâëÿåòñÿõàðàêòåðèñòèêîé, òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè íå îäíîçíà÷íî.5.2Êâàçèëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèåàññìîòðèì óðàâíåíèåX1 (x1 , x2 , · · · , xn , z)∂z∂z∂z+ X2 (· · · )+ · · · + Xn (· · · )= X(· · · ).∂x1∂x2∂xn(5.6)Èùåì ðåøåíèå z óðàâíåíèÿ (5.6) â íåÿâíîì âèäå:V (x1 , · · · , xn , z) = 0¯¯6= 0 â D.Ïóñòü ∃z = Ψ(x1 , · · · , xn ) è êðîìå òîãî ∂V∂z z=Ψ(x1 ,··· ,xn )Òîãäà(5.7)∂V∃∂zi= − ∂x, (i = ∀1, n).∂V∂xi∂zÏîäñòàâëÿÿ â (5.6) è óìíîæàÿ íàV:∂V∂z, ïîëó÷èì ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå äëÿ¯∂V∂V∂V ¯¯X1 (x1 , · · · , xn , z)+ · · · + Xn (· · · )+ X(· · · )=0∂x1∂xn∂z ¯z=Ψ(x1 ,··· ,xn )(5.8)Îïðåäåëåíèå 5.4.

åøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå (5.7) è (5.8) íàçûâàþòñïåöèàëüíûìè.Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.6).1 . Êâàçèëèíåéíîìó íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (5.6) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå äëÿ V:0X1 (x1 , · · · , xn , z)∂V∂V∂V+ · · · + Xn (· · · )+ X(· · · )=0∂x1∂xn∂z57(5.8)20 . Äëÿ ïîëó÷åííîãîõàðàêòåðèñòèê:óðàâíåíèÿ(5.8)çàïèñûâàåòñÿñèñòåìàóðàâíåíèédxndzdx1= ··· == .X1XnX(5.9)(åøåíèÿ - èíòåãðàëüíûå êðèâûå â ïðîñòðàíñòâå x1 , · · · , xn , z )30 .

Ñòðîèì îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç íàáîð n ïåðâûõíåçàâèñèìûõ èíòåãðàëîâ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ñèñòåìû ñèñòåìû (5.9):Ψ1 (x1 , · · · , xn , z) ≡ C1 ,·····················Ψn (x1 , · · · , xn , z) ≡ Cnâ âèäå V = Φ (Ψ1 , · · · , Ψn ), ãäå Φ - ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ.40 . Èç óñëîâèÿ V = 0 ⇐⇒ Φ (Ψ1 (x1 , · · · , xn , z), · · · , Ψn (x1 , · · · , xn , z)) = 0 íàõîäèìz êàê íåÿâíî çàäàííóþ óíêöèþ.

(x1 , · · · , xn )Çàìå÷àíèå. Ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ ìîãóò íå ñîäåðæàòüñÿ â ïîëó÷åííîé îðìóëå.5.3Ïðèìåðû.10 .y∂z∂z−x= 0 ⇐⇒ z = Φ(x2 + y 2 ) - îáùåå ðåøåíèå.∂x∂yÓðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê:dxdy=⇐⇒ xdx + ydy = 0 ⇐⇒ d(x2 + y 2 ) = 0y−x⇐⇒ x2 + y 2 = C - õàðàêòåðèñòèêè (îêðóæíîñòè).Ôóíêöèÿ Ψ(x2 + y 2 ) - ïîñòîÿííàÿ íà õàðàêòåðèñòèêàõ - îêðóæíîñòÿõ:Ψ|x2 +y2 =C = Ψ(C) = Const ⇐⇒ Ψ = x2 + y 2 ≡ C - ïåðâûé èíòåãðàë.Ïóñòü y - íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ. Òîãäà óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê(px = C − y2,dxy= − ⇐⇒dyxy = y − ïàðàìåòð.5820 . Çàäà÷à Êîøè.(∂z∂z− x ∂y= 0 (∗)y ∂xpz|x=1 = 1 + y 2 = ϕ(y) - íå õàðàêòåðèñòèêà.Çàäà÷à:p Íàéòè èíòåãðàëüíóþ ïîâåðõíîñòü (*), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç êðèâóþz|x=1 = 1 + y 2 (ãèïåðáîëó).1. Ïîäñòàâèì x = 1 â ïåðâûé èíòåãðàë:¯Ψ = (x2 + y 2 )¯x=1 = C ⇐⇒ 1 + y 2 = C2.

àçðåøèì îòíîñèòåëüíî y : y 2 = C − 1.p3. Èùåì ðåøåíèå â îðìå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ: z = 1 + y 2 .Óäîâëåòâîðèì íà÷àëüíîìó óñëîâèþ:p√z = 1 + (C − 1) = C , ãäå C = x2 + y 2 .pÑëåäîâàòåëüíî, z = x2 + y 2 .pÎòâåò. åøåíèå çàäà÷è Êîøè z = x2 + y 2 - êîíóñ (âåðõíÿÿ ÷àñòü).59ëàâà 6Îñíîâû òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.6.1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè:dy= f (y, t),dty(0) = y0 ,(6.1)(6.2)ãäå y = {y1 , y2 , ..., yn } - âåêòîð-óíêöèÿ ñ íîðìîé |y| =f = {f1 , f2 , · · · , fn }, t - ïàðàìåòð (âðåìÿ).py12 + y22 + ...

+ yn2 ,Îïðåäåëåíèå6.1. Áóäåì íàçûâàòü (n + 1) - ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî (y1 , y2 , · · · , yn , t)ÊÏ ïðîñòðàíñòâîì (êîîðäèíàòíî-ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì), à n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî (y1 , y2 , · · · , yn ) - àçîâûì. ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2: (y1 , y2 ) - ýòî àçîâàÿ ïëîñêîñòü.åøåíèåì çàäà÷è Êîøè y = y(t, y0 ) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ â ÊÏ- ïðîñòðàíñòâå.Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ- ïðîåêöèÿ èíòåãðàëüíîé êðèâîé íà àçîâîåïðîñòðàíñòâî (ïðè n = 2 - ïëîñêîñòü).Îïðåäåëåíèå 6.2.

Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå y = 0 óðàâíåíèÿ (6.1) ïðè f (0, t) ≡ 0íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïîêîÿ.Ïðè n = 2 íà àçîâîé ïëîñêîñòè (y1 , y2 ) òî÷êîé ïîêîÿ ìîæåò áûòü íà÷àëîêîîðäèíàò.Îïðåäåëåíèå 6.3. (Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè òî÷êèËÿïóíîâó). Òî÷êà ïîêîÿ y = 0 óñòîé÷èâà ïî Ëÿïóíîâó ⇐⇒ïîêîÿïîDef∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y0 | < δ =⇒ |y(t, y0 )| < ε, ∀t > 0.åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðè n = 2: åñëè òî÷êà òðàåêòîðèè ïðè t = 0 íàõîäèòñÿâ êðóãå ðàäèóñà δ , òî àçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðè t > 0 íàõîäèòñÿ â êðóãå ðàäèóñà ε.60Îïðåäåëåíèå 6.4.

(Îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè)Òî÷êà ïîêîÿ y = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:1) îíà óñòîé÷èâà ïî Ëÿïóíîâó;2) ∃δ0 > 0 : |y0 | < δ0 =⇒ lim y(t, y0 ) = 0.t−→∞ïðè n = 2: àçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðè t −→ ∞ áåñêîíå÷íîïðèáëèæàåòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò àçîâîé ïëîñêîñòè.åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë6.2Ïðîñòåéøèåòèïûòî÷åêïîêîÿ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû äâóõ óðàâíåíèéñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.Ïîÿñíèì òèïû òî÷åê ïîêîÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû äâóõëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè:µ¶dya11 a12ãäå, A =− ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà.= Aya21 a22dtÏóñòü λ1,2 - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A, îïðåäåëÿåìûå ïðè ðåøåíèèõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ¯¯¯a11 − λ¯a12¯ = 0.det(A − λE) = ¯¯a21a22 − λ¯10 .

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñòî ìíèìûå: Reλi = 0.Ïðèìåð 1.(µ¶y˙1 = −y2 ,0 −1A=;1 0y˙2 = y1 ;¯¯¯−λ −1 ¯¯ = 0 ⇐⇒ λ2 + 1 = 0, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ1,2 = ±i.det(A − λE) = ¯¯1 −λ¯Îáùåå ðåøåíèå:¶µ¶µµ ¶− sin tcos ty1+ C2= C1cos tsin ty2Èñêëþ÷àÿ t íàéäåì àçîâûå òðàåêòîðèè - îêðóæíîñòè:y12 + y22 = C12 + C22 .61(y1 = 0Òî÷êà ïîêîÿy2 = 0⇐⇒ öåíòð, óñòîé÷èâà, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè.Def20 . Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûå.à) Reλi < 0(i = 1, 2).Ïðèìåð 2.(y˙1 = −y1 − y2 ,y˙2 = y1 − y2 ;A=µ¶−1 −1;1 −1¯¯¯¯−1 − λ−1¯ = 0 ⇐⇒ (1 + λ)2 + 1 = 0,det(A − λE) = ¯¯1−1 − λ¯ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ1,2 = −1 ± i.Îáùåå ðåøåíèå:µ ¶µ¶µ¶y1cos t −t− sin t −t= C1e + C2ey2sin tcos tÔàçîâûå òðàåêòîðèè - ñåìåéñòâî ñïèðàëåé, ñõîäÿùèõñÿ â òî÷êó (0,0) ïðè t −→ ∞:y12 + y22 = (C12 + C22 )e−2t .(ñòðåëêàìè îáîçíà÷åíî íàïðàâëåíèå âîçðàñòàíèÿ t)Òî÷êà ïîêîÿ ⇔ óñòîé÷èâûé îêóñ, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Defá) Reλi > 0(i = 1, 2) Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì: àçîâûå òðàåêòîðèè - ðàñõîäÿùèåñÿ èçòî÷êè (0, 0) ñïèðàëè.Òî÷êà ïîêîÿ ⇔ íåóñòîé÷èâûé îêóñ.Def30 .

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííûå è îäíîãî çíàêà.à) Reλi < 0, Imλi = 0, (i = 1, 2).62Ïðèìåð 3.½y˙1 = −y1 ,y˙2 = −2y2 ;A=µ¶−1 0;0 −2¯¯¯−1 − λ0 ¯¯¯= 0 ⇐⇒ (λ + 1)(λ + 2) = 0,det(A − λE) = ¯0−2 − λ¯Îáùåå ðåøåíèå:Èñêëþ÷àåì t:y12y2ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ1 = −1, λ2 = −2y1 = C1 e−t , y2 = C2 e−2t .³ ´C12= C2 . Ôàçîâûå òðàåêòîðèè: y2 = CC22 y12 - ñåìåéñòâî ïàðàáîë.1(y1 −→ 0Ïðè t −→ +∞ :y2 −→ 0Òî÷êà ïîêîÿ ⇐⇒ óñòîé÷èâûé óçåë, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.Defá) Reλi > 0, Imλi = 0(i = 1, 2).Ïðèìåð 4.(y˙1 = y1y˙2 = 2y2,λ1 = 1, y1 = C1 et ,λ2 = 2, y2 = C2 e2t .(y1 −→ +∞Ïðè t −→ +∞ :y2 −→ +∞Ôàçîâûå òðàåêòîðèè - ñåìåéñòâî ïàðàáîë. Òî÷êà ïîêîÿ ⇐⇒ íåóñòîé÷èâûé óçåë.Def40 .

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííûå è ðàçíûõ çíàêîâ.Imλi = 0(i = 1, 2).Ïðèìåð 5.(y˙1 = y1 ,λ1 = 1 > 0,y1 = C1 et ,−2ty˙2 = −2y2 , λ2 = −2 < 0, y2 = C2 e .63Èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð t, ïîëó÷èì y12 y2 = C12 C2C2CÎòñþäà íàõîäèì àçîâûå òðàåêòîðèè y2 = 1y2 2 - ñåìåéñòâî ãèïåðáîë.1(y1 −→ +∞,ÅñëèC1 , C2 | > 0, òî ïðè t −→ +∞y2 −→ +0;(y1 −→ −∞,ÅñëèC1 < 0, C2 < 0, òî ïðè t −→ +∞y2 −→ −0.Òî÷êà ïîêîÿ ⇐⇒ ñåäëî - íåóñòîé÷èâà.DefÇàìå÷àíèå 1.Âûâîä: ðàñïîëîëæåíèå àçîâûõ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0), àòàêæå óñòîé÷èâîñòü èëè íåóñòîé÷èâîñòü îïðåäåëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìèìàòðèöû A.Çàìå÷àíèå 2.

Âñå ðåçóëüòàòû ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì. ó÷åáíèê).Çàìå÷àíèå 3. Ñëó÷àé êðàòíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λi , à òàêæå ðàâåíñòâà íóëþñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ, íàïðèìåð, â êóðñàõ Â.Â. Ñòåïàíîâà èË.Ñ. Ïîíòðÿãèíà.6.3Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìóïðèáëèæåíèþ.00Êàê ñëåäóåò èç ïðèìåðîâ óñòîé÷èâîãîµ îêóñච(2 a) è óñòîé÷èâîãî óçëà (3 a), òî÷êàa11 a12= Ay , ãäåïîêîÿ y = 0 ñèñòåìû dy- ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà, àñèìïòîòè÷åñêèdta21 a22óñòîé÷èâà, êîãäà Reλ1 < 0, Reλ2 < 0.Ýòî ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñëó÷àÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìèïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà.Óòâåðæäåíèå (1).

Òî÷êà ïîêîÿ y = 0 ñèñòåìû óðàâíåíèé= Ay, ãäå A =||aij ||, aij - onst, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, åñëè Reλi < 0 äëÿ âñåõ i = 1, n.dydtÎïðåäåëåíèå 6.5. Ñèñòåìà âèäàdy= f (y),dtãäå ïðàâàÿ ÷àñòü íå çàâèñèò ÿâíî îò t, íàçûâàåòñÿ àâòîíîìíîé.64(6.3)Óòâåðæäåíèå (2). Ïóñòü:1) y = 0 - òî÷êà ïîêîÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû (6.3);2) f (y) èìååò îãðàíè÷åííûå âòîðûå ïðîèçâîäíûå â îêðåñòíîñòè y = 0.Òîãäà ñèñòåìà (6.3) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå:dydy∂fi (0)= f (y) ⇐⇒= Ay + R(y), ãäå A = ||aij ||, aij =,dtdx∂yj|R(y)| 6 C|y|2 , C - onst.(*)Äîêàçàòåëüñòâî Ïî îðìóëå Òåéëîðàf (y) = f (0) + fy′ (0)y + R(y),ãäå f (0) ≡ 0 â ñèëó îïðåäåëåíèÿ òî÷êè ïîêîÿ y = 0, fy′ (0) = ||aij ||, aij =(ýëåìåíòû ìàòðèöû ßêîáè ïðè y = 0),¯1 X ∂ 2 fi ¯¯R(y) =¯ yk yj =⇒ (∗).îãðàí.2∂yk ∂yj ¯k,j∂fi (0)∂yjΘÎïðåäåëåíèå 6.6. Ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìódy= Ay,dt(6.4)ãäåA = ||aij ||, aij =∂fi (0)∂yjíàçûâàþò ñèñòåìîé ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû (6.3).Ìåòîä: èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü (6.3) çàìåíÿåòñÿ èññëåäîâàíèåì íàóñòîé÷èâîñòü (6.4). ñèëó íåðàâåíñòâà(*) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü êâàäðàòè÷íûì ÷ëåíîì R(y) èèññëåäîâàòü íà óñòîé÷èâîñòü ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó (6.4).Óòâåðæäåíèå (3).