Контрольная работа №2
Описание файла
PDF-файл из архива "Контрольная работа №2", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическая статистика" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
CHEPUR \ K_RAB \ N2 \ N2 \ k_rab_2.tex íà îñíîâåñïèñêà ðàñïðåäåëåíèé CHEP2000 \ MAT_STAT \ ...ÊÎÍÒÐÎËÜÍÀß ÐÀÁÎÒÀ N2ÏÎ ÊÓÐÑÓ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈËåêòîð Å.Â.×åïóðèíCHEPUR \ K_ RAB \ N2 \ N2 \ vopros.txtÏóñòü y = (y1 , . . . yn )T , yi ∈ R1 , yi - í.î.ð.
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, i = 1, n ,L0 (yi ) = f (u; θ0 ), θ0 ∈ Θ,Θ - ïàðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.1. Íàðèñóéòå ãðàôèê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y1 äëÿ òåõ çíà÷åíèé θ ,êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò âñå âîçìîæíûå åãî ôîðìû.2. Êàêîâà ó äàííîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìîäåëè ìèíèìàëüíàÿ äîñòàòî÷íàÿ ñòàòèñòèêà?2.1. Ïîëíà ëè îíà?2.2. Íàéäèòå åå ðàñïðåäåëåíèå.3. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à òî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿ çíà÷åíèÿ g(θ0 ) ôóíêöèè g â êëàññå îöåíîêK = {t(y)} ïðè êâàäðàòè÷åñêîé ôóíêöèè ïîòåðü W (g, t) = (t − g)2 .3.1. Íàéäèòå t̂0 ÍÎÐÌÄ è ť ÎÌÏ ôóíêöèè g .3.2.
Ñóùåñòâóåò ëè â K îöåíêà, ìèíèìèíèçèðóþùàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé ðèñêR(t, g; θ) = E{(t(y) − g(θ))2 ; θ}ðàâíîìåðíî ïî âñåì θ ∈ Θ , åñëè K = {t̂0 ,ť} ?4. Íàéäèòå èíôîðìàöèîííóþ ôóíêöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè.5. Äîñòèãàåò ëè ðèñê îöåíêè t̂0 íèæíåé ãðàíèöû Êðàìåðà-Ðàî èëè êàêîé-ëèáî ãðàíèöû Áõàòòà÷àðèÿ?6. Äëÿ ïàðàìåòðîâ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîñòðîéòå γ -äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî.6.1. Ñóùåñòâóåò ëè öåíòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ? Åñëè îíà ñóùåñòâóåò, òî êàêîâ åå âèä è êàêîâî ååðàñïðåäåëåíèå?6.2. Êàêóþ ñòàòèñòèêó ñëåäóåò âçÿòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ γ -äîâåðèòåëüíûõ ìíîæåñòâ ìåòîäîìñå÷åíèé, åñëè öåíòðàëüíîé ñòàòèñòèêè íå ñóùåñòâóåò?7. Ïîñòðîéòå äëÿ g(θ0 ) îöåíêó ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ 6.1. Êàêîâà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíîñòüïî Ëåìàíó ýòîé îöåíêè îòíîñèòåëüíî ÎÌÏ äëÿ g(θ0 ) ?7.1.
ßâëÿþòñÿ ëè îöåíêè ìàêñèìóìà ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðîâ è ôóíêöèè g ñîñòîÿòåëüíûìè ïðè n → ∞ ?7.2. Êàêîâî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ÎÌÏ îöåíêè g(θ0 ) ïðè n → ∞ ?18. Ñ÷èòàÿ, ÷òî n → ∞ , ïîñòðîéòå íà îñíîâå îäíîé èç îöåíîê èç K àñèìïòîòè÷åñêèå γ äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû äëÿ g(θ0 ) .8.1. Îáúÿñíèòå, ñ ÷åì ñâÿçàí Âàø âûáîð.8.2. Ñðàâíèòå ïîëó÷åííûå äîâåðèòåëüíûå ãðàíèöû ñ êîíñåðâàòèâíûìè äîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè äëÿ g(θ0 ) , ïîñòðîåííûìè íà îñíîâå ÎÌÏ äëÿ θ0 .9.
Ïóñòü íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü ãèïîòåçóΓ1:g(θ0 )≤a1ïðîòèâ àëüòåðíàòèâûΓ2 : g(θ0 ) ≥ a2 , a1 < a2 ðàçìåðà α1 .9.1. Ñóùåñòâóåò ëè äëÿ ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷è ÐÍÌ - êðèòåðèé?9.2. ßâëÿåòñÿ ëè ïðåäëîæåííûé Âàìè êðèòåðèé íåñìåùåííûì?9.3. Ñ÷èòàÿ, ÷òî n → ∞ , ïîñòðîéòå äëÿ ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷è êðèòåðèé àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçìåðà α1 íà îñíîâå ÎÌÏ äëÿ g(θ0 ) .2CHEPUR \ K_RAB \ N2 \ N2 \ tabl2004.txtrÊîä çàäàíèÿg(θ)Ðàñïðåäåëåíèå1i1P{y1 < u; θ}Ï234i2i2i3rÀrÐrÅα , r=1α , r=2σ , r=1r5i3σ , r=2Ò6ig(P{y1 > u; θ})Î7m2σÎá-8m3σ−19m4σ −210m5ασ11m6α/σðàòíî−112m713m8(ασ)214m9(ασ)315m11(ασ)−216m12α17m13α−1êîå18e1µÏîêàçà-(ασ)ãàóññîâñ-E{y1m ; θ}, mE{y1m ; θ}, m19e320e321e4σ22e5µ223e6σ224e8D{y1 ; θ}25e9µ2 + σ 226e101µ + σ ln 1−q=1òåëüíîå=2(ñäâèãîâî-ìàñøòàáíîå)−127e13rÊîä çàäàíèÿg(θ)Ðàñïðåäåëåíèå28g7E{y13 ; θ}íîðìàëü-29g8µ + aσ , a èçâåñòíàÿ âåëè÷èíàíîå30k3E{y1k ; θ}, α = 3, k = 3ÃÀÌ-31k432s133s3σE{ y11 ; θ}, αÌÀ=4θ1Ðàâíîìåðíîåθ2íà [θ1 , θ2 ]234p1θ ,α = 3Âåéáóëëà35c2D{y1 ; θ}Îòðèöàòåëüíî-36c3áèíîìèíàëüíîå37n1E{y12 ; θ}vθ ,k = 2Óñå÷åííîå38n21 − exp{−θ}ïóàññîíîâñêîå3ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Ê ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÅ N 2à.
Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåf (u; θ) = Cru θu (1 − θ)r−u , u = 0, 1, . . . , r; r > 1,r öåëîå, 0 < θ < 1 .dÎáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû BIN (r, θ) , ò.å. y1 = BIN (r, θ) .Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ(z) = E(z y1 ; θ) =rXz u Cru θu (1 − θ)r−u = {1 + θ(z − 1)}r .u=0Ôàêòîðèàëüíûé ìîìåíò ïîðÿäêà ”k”fk =dk(z)|z=1 = r(r − 1) . . . , (r − k + 1)θk .dz kE{y1 ; θ} = rθ,E{y12 ; θ} = rθ(1 + (r − 1)θ),D{y1 ; θ} = rθ(1 − θ).a1 f (u; θ) = Cru θu (1 − θ)r−u , u = 0, 1, ..., r; r − öåëîå, r ≥ 1;0 ≤ θ ≤ 1; g(θ) = θ(1 − θ),K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄa2 f (u; θ) = Cru θu (1 − θ)r−u , u = 0, 1, . .
. , r; 0 ≤ θ ≤ 1, g(θ) = θ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄb. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.f (u; θ) =θu exp{−θ}, u = 0, 1, 2, . . . ,u!Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû P OIS(θ) , ò.å.dy1 = P OIS(θ),E{y1 ; θ} = θ,E{y12 ; θ} = θ(1 + θ),D{y1 ; θ} = θ.Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ (z) = exp{θ(z − 1)} .b1 f (u; θ) =θ u e−θu! ;θ ≥ 0; u = 0, 1, 2, .......; g(θ) = M {y12 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄb2 f (u; θ) =θ u e−θu! ;θ ≥ 0; u = 0, 1, 2, .......; g(θ) = θ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄñ.
Îòðèöàòåëüíî-áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.uf (u; r, θ) = Cr+u−1θu (1 − θ)r ,4θ > 0.u = 0, 1, 2, . . . , 0 < θ < 1, r > 1, r öåëîå.Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû N BIN (r; θ) , ò.å.dy1 = N BIN (r; θ).Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ(z) =∞X½uCr+u−1θu (1 − θ)r z u =1−u=0¾−r1θ(z − 1), |z| <1−θθÔàêòîðèàëüíûé ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêàµE {y1 (y1 − 1) . . . (y1 − k + 1); θ} = r(r + 1) . .
. (r + k − 1)θ1−θ¶k(1).θ,Ey1 = r 1−θθDy1 = r (1−θ)2,Òàêèì îáðàçîì Ey1 < Dy1 ,(!).uc2 f (u; θ) = Cr+u−1θu (1 − θ)r , 0 ≤ θ ≤ 1,r − öåëîå, r ≥ 1, u = 0, 1, 2, .....;g(θ) = D{y1 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄ.uθu (1 − θ)r , 0 ≤ θ ≤ 1, r − öåëîå, r ≥ 1, u = 0, 1, 2, .....;c3 f (u; θ) = Cr+u−1g(θ) = M {y12 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄ.d. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì ìàñøòàáà (áåç ñäâèãà).f (u; θ) =1uexp{− }, u > 0, θ > 0,θθÎáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûy1 = E(θ) = θ E(1),Ey1 = θ ,Dy1 = θ2 .d1 f (u; θ) = θ−1 exp{−u/θ}, u > 0, θ > 0,g(θ) = θ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄe.
Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè ñäâèãà è ìàñøòàáà.f (u; θ) =½¾u−µ1exp −, u > µ,σσθ = (µ, σ), −∞ < µ < ∞, σ > 0.Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y1 = µ + σE(1).e1 y1 = µ+E(σ), −∞ < µ < ∞, σ > 0, θ = (µ, σ), g(θ) = µ, K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe3 y1=µ + E(σ), −∞<µ<∞, σ>0, θ=(µ, σ),g(θ)=M {y1m ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe4 y1 = µ+E(σ), −∞ < µ < ∞, σ > 0, θ = (µ, σ), g(θ) = σ, K = {t1 , t2 }, t1 −ÎÌÍ, t2 −ÍÎÐÌÄ5e5 y1=µ + E(σ),−∞<µ<∞,σ>0,θ=(µ, σ),g(θ)=µ2 ,g(θ)=σ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe6 y1=µ + E(σ),−∞<µ<∞,σ>0,θ=(µ, σ),0, θ=(µ, σ),K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe8 y1=µ + E(σ), −∞<µ<∞, σ>g(θ)=D{y1 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe9 y1=µ + E(σ),−∞<µ<∞,σ>0,θ=(µ, σ),g(θ)=µ2 + σ 2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe10 y1 = µ + E(σ), −∞ < µ < ∞, σ > 0, θ = (µ, σ),g(θ) = q − êâàíòèëü, ò.å.
µ + σ lnK = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄe13 y1 = µ+E(σ), −∞ < µ < ∞, σ > 0, θ = (µ, σ), g(θ) =1σ,1,1−qK = {t1 , t2 }, t1 −ÎÌÍ, t2 −ÍÎÐÌÄf. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé.11f (u; θ) = √ exp{− (u − θ)2 },22π−∞ < u < ∞, −∞ < θ < ∞.Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y1 = N (θ, 1) .E{y1 ; θ} = θ,E{y12 ; θ} = 1 + θ2 ,D{y1 ; θ} = 1.f1 f (u; θ) =√12πexp{− 12 (u − θ)2 }, −∞ < u < ∞, −∞ < θ < ∞, g(θ) = θ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf2 y1 = N (θ, 1), −∞ < θ < ∞, g(θ) = Φ(u0 − θ), u0 − ;K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf3 y1=N (θ, 1),−∞<θ<∞,g(θ)=√12πK = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf4 y1 = N (θ, 1), −∞ < θ < ∞, g(θ) = exp{−θ};K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf5 y1 = N (θ, 1), −∞ < θ < ∞, g(θ) = P {u1 < y1 < u2 ; θ};K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf6 y1 = N (θ, 1), −∞ < θ < ∞, g(θ) = P {y1 > u0 }, u0 − ;K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄf7 y1 = N (θ, 1), −∞ < θ < ∞, g(θ) = eνθ , ν − ;K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄg.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. (Îáà ïàðàìåòðà íåèçâåñòíû)(µ¶2 )11 u−µf (u; θ) = √ exp −,2σ2π6exp{− 21 (u0 − θ)2 },u0 −;−∞ < u < ∞,θ = (µ, σ 2 ),−∞ < µ < ∞,σ 2 > 0.Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûy1 = N (µ, σ 2 )E{y1 ; θ} = µE{y12 ; θ} = σ 2 + µ2D{y1 ; θ} = σ 2g1 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = µ2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄg2 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = M {y12 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄg3 y1 = N (µ, σ 2 ); θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = µ3 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄg4 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = σ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÏ, t2 − ÍÎÐÌÄg5 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ) − ∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = σ 4 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄg6 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = µ/σ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄg7 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = M {y13 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄg8 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = µ + a0 σ, a0 − èçâåñòíî,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄg9 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = D{y12 ; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄg10 y1 = N (µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ), −∞ < µ < ∞, σ 2 > 0, g(θ) = σ 3 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄh.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå (ñ îäíèì ïîðîãîâûì ïàðàìåòðîì)f (u; θ) =11II(0 < u < θ),θθ > 0.Îáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûyi = U (0, θ) = θU (0, 1).Ey1 = θ2 ,Ey12 =Dy1 =θ23 ,θ212 .7h1 y1 = U (0, θ), θ > 0, g(θ) = P {y1 < u; θ},K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄh2 y1 = U (0, θ), θ > 0, g(θ) = (P {y1 < u; θ})2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄh4 y1 = U (0, θ), θ > 0, g(θ) = θν , ν > −n,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄi.
ÐàñïðåäåëåíèåÏàðåòîασ1II(u > σ) , u > σ , θ = (α, σ) , α > 0 , α ïàðàìåòð ôîðìû; σ > 0 , σ uα+1îäíîâðåìåííî è ïàðàìåòð ìàñøòàáà è ïîðîãîâûé ïàðàìåòð íîñèòåëÿ ìåðû.f (u; θ) = αÎáîçíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûy1 = P AR(α, σ).Ïðè âû÷èñëåíèÿõ ïîëåçíî èìåòü â âèäó ñëåäóþùåå ñòîõàñòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå¾½1P AR(α, σ) = exp ln σ + E(1) .αi1 f (u; θ) = ασ −1 (σ/u)α+1 , θ = (σ, α), u > σ > 0, α > 0,g(θ) = P {y1 < u} = 1 − ( σu )α ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄi2 f (u; θ) = ασ −1 (σ/u)α+1 , θ = (σ, α), u > σ > 0, α > 0, g(θ) = αr ,r − öåëîå, r ≥ 1,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄi3 f (u; θ) = ασ −1 (σ/u)α+1 , θ = (σ, α), u > σ > 0, α > 0, g(θ) = σ r ,r − öåëîå, r ≥ 1,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄi9 f (u; θ) = ασ −1 (σ/u)α+1 , θ = (σ, α), u > σ > 0, α > 0, g(θ) = (P {y1 > u0 ; θ})2 ,K = {t1 , t2 }, t1 − ÎÌÍ, t2 − ÍÎÐÌÄk.
