Новые решения задач (Несколько ответов к экзамену)

Список задач с решениями по функциональному анализу.1) Пусть – линейное нормированное пространство. Доказать, что для любых элементоввыполняется неравенство.Решение:из аксиом нормы:, тогда:2) Можно ли в пространствеA);B);принять за норму элемента:C)D)E)Решение:A) Можно, так как:1.2.3.B) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы:- произвольная константа.С) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы. Возьмемно тогдаD ) Можно, так как:1.и.

Так как,– константа, но, следовательно,. Обратное утверждениеочевидно.2.3.E ) Можно, так как:1.,непрерывностиОбратноеутверждение очевидно.2.3.3) Будет ли множество всех многочленов в пространствеA ) открытым;B ) замкнутым?Решение:A ) Множество всех многочленов в пространствене является открытым, таккак по теореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можноравномерно приблизить средними Чезаро, которые не являются алгебраическимимногочленами. Следовательно, окрестность любой точки множества содержитэлемент, множеству не принадлежащий.B ) Множество всех многочленов в пространствене является замкнутым.Рассмотрим пример, функциюможно приблизить частичными суммами рядаТейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно,множество всех многочленов в пространствене содержит всех предельныхточек, значит оно не является замкнутым.4) Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейномнормированном пространстве есть подпространство.Решение:По определению линейным подпространством, принадлежащим линейномунормированному пространству, называется линейное многообразие, если оно замкнутоотносительно сходимости по норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейномнормированном пространстве конечномерное линейное многообразие- замкнуто.Докажем от противного.

Пусть. Рассмотрим функцию. Рассмотрим,Возьмем произвольныйирассмотрим замкнутый шар. Обозначим. Тогда. Множество – конечномерное, замкнутое, ограниченное.Функциясогласно неравенству треугольника. Следовательно,.Однакоэто противоречит предположению, чтоявляется подпространством. Следовательно5) Пусть – линейное нормированное пространство,. Доказать, что не содержит никакого шара.замкнуто и– линейное многообразие,Решение:Докажем от противного. Пусть: шар. Рассмотрим.

Возьмем, гдепринадлежит шаруСледовательно,образом, пришли к противоречию.:так как, а значит и. Таким6) Образуют ли в пространствеподпространство следующие множества функции:A ) монотонные функцииB ) четные функции;C ) многочлены;D ) непрерывные кусочно-линейные функции?Решение:A) Не образуют, так как если рассмотреть, то- не является монотонной.B) Множество четных функций образует линейное многообразие, так как.

Докажем, что –замкнуто от противного. Пусть, тогда, но, следовательно,– противоречие. Следовательно, множество четных функцийобразуют подпространство.C) Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространствене является замкнутым.D) Не образуют, так как множество непрерывных кусочно-линейных функций неявляется замкнутым вРассмотримобозначения:.

Рассмотрим последовательностьфункций:Рассмотрим. Введем. Покажем, что,.. Следовательно,. Таким образом,Таким образом,не является замкнутым.7) Образуют ли в пространстве C [-1, 1] подпространство следующие множества функций:A) многочлены степени ≤ k;B) непрерывно дифференцируемые функции;C) непрерывные функции с ограниченной вариацией;D) функции, удовлетворяющие условию?Решение:A) Да. Множество многочленов степенипредставляет собой линейноемногообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операцийсложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывныхфункций, то есть является линейным пространством.Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит извекторов.Следовательно, множество многочленов степениявляется конечномернымлинейным многообразием в линейном нормированном пространстве,азначит по задаче 4 (доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие влинейном нормированном пространстве есть подпространство) являетсяподпространством.B) Нет.

Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функцийнезамкнуто относительно нормы пространства.РассмотримгдеПокажем, что она непрерывное дифференцируема:Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен -1 .Аналогично получаем, чтоИтого получаем непрерывную на отрезкеПокажем, что.производную:То есть получили, что, ноне является непрерывнодифференцируемой функцией.

Значит, множество непрерывнодифференцируемых функций незамкнуто, следовательно, не являетсяподпространством.C) Нет.Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариациейнезамкнуто относительно нормы пространства.РассмотримПокажем, чтонепрерывна. ПриПринадо показать, что:Покажем, что вариацияочевидно.на отрезкеПри суммировании вариаций по полуинтерваламполучаемРассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией:Покажем, чтопо норме:То есть получили, что, ноне является функцией сограниченной вариацией.

Значит, множество непрерывных функций сограниченной вариацией незамкнуто, следовательно, не являетсяподпространством.D) Да.Множество функций, удовлетворяющих условию, представляет собойлинейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительноопераций сложения и умножения на число, введенных как и в пространственепрерывных функций, то есть является линейным пространством.Докажем замкнутость.Рассмотрим8) Пусть X – линейное нормированное пространство, множествоДоказать, что– непрерывное отображение.– фиксировано.Решение:Опр.

Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят,что f непрерывно на X.Опр. Каждому элементуставится в соответствие некоторый элементиз Y. Это отображение называется непрерывным в точке, если для каждогосуществует такое, что для всехтаких, чтовыполнено неравенство(здесь - расстояние в X, аФиксируем- расстояние в Y).Докажем, что для произвольныхбудет выполнено.Пусть- минимизирующая последовательность для, то естьПо неравенству треугольника:АналогичноСледовательно,Следовательно, отображениенепрерывное по определению.9) Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство являетсябанаховым.Решение:Обозначим E – конечномерное линейное нормированное пространство.Возьмем фундаментальную последовательность элементов, где– базис пространства E.Т.к. для любоговсе его его координатыудовлетворяют неравенству, где H – постоянная, зависящая только от выбора базиса в E (лемма5.3.2 из Вулих Б.З « Введение в функциональный анализ»), тоСледовательно, благодаря полноте множества вещественных чисел существуютконечныеЛемма 5.3.

1 из Вулих Б.З « Введение в функциональный анализ »:Сходимость по координатам влечет сходимость по норме. Именно, пустьиа, тоПо этой лемме получаемдоказана, т.е. оно банахово..Еслиприкаждом... Таким образом, полнота E10) Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховымпространством.Решение:Рассмотрим фундаментальную последовательностьвподпространствебанахова пространства (норма вберется такая же, как и в). Эта последовательность является фундаментальной и в , т.к.подпространство.

Поскольку – банахово, то. Так как–подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто,следовательно,Получили, что произвольная фундаментальная последовательностьвподпространствесходится кСледовательно,- банахово поопределению.11) Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательностьнепустых замкнутых вложенных множеств?Решение:Да, может.Пример: банахово пространство (пространство вещественных чисел) ипоследовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем:12) Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых элементовимеет место тождество Аполлония:Решение:Преобразуем левую часть тождества, пользуясь свойствами скалярногопроизведения:.Преобразуем правую часть тождества, пользуясь свойствами скалярногопроизведения:Таким образом, в пространстве со скалярным произведением для любыхэлементовтождество Аполлония имеет место.13) Доказать, что для того чтобы элементгильбертового пространствабылортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы для любогоэлементаимело место неравенство.Решение (необходимо сть)Решение (достаточно сть)Воспользуемся теоремой Леви ( - гильбертово,указанным в ней способом:Докажем, что.- подпространоство в нем).

Разложим. По условию.Пусть14)Доказать,чтотакое подпространствопри, чтофиксированномнатуральноммножествоявляется подпространством пространства . Описать.РешениеПокажем,чтоПостроим разложениеподпространством в нем1. Покажем, чтоДействительно,являетсялинейныммногообразием.