Краткий справочник по цилиндрическим и сферическим функциям

СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1. Цилиндрические функции1.1. Определение и взаимосвязь цилиндрических функцийУравнение Бесселяt2 Z00 (t) + tZ0 (t) + t2 − ν 2 Z(t) = 0.(1.1)Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.Теорема 1.1.Утв.Общее решение уравнения Бесселя (1.1) задаётся каждой из формулZν (t) = c1 Jν (t) + c2 Nν (t) = c3 Hν(1) (t) + c4 Hν(2) (t),ν ∈ R.ν 6∈ Z.Zν (t) = c5 Jν (t) + c6 J−ν (t)1.2.

Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы: −ν 0[tν Zν ]0 (t) = tν Zν−1 (t),t Zν (t) = −t−ν Zν+1 (t).(1.2)2νZν (t) + Zν−1 (t) = 0.(1.3)tДля функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоZν+1 (t) −Z−n (t) = (−1)n Zn (t),n ∈ Z.(1.4)1.3.

Интегральные формулы для функций БесселяИнтегралы Ломмеля:ZxxtJν (αt)Jν (βt)dt = 2α − β2αJν+1 (αx)Jν (βx) − βJν (αx)Jν+1 (βx) ,α 6= β,(1.5)ν > −1.(1.6)0222Zx 1x2ν202t Jν (αt) dt =αJν (αx) +x − 2Jν (αx) ,22α0Имеют место и более общие формулы:Zba br µk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) arZ(µk r)Z(µm r)dr =;µ2m − µ2kkZ(µr)k2 =Zb1rZ2 (µr)dr =2"ν2r2 − 2µr=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).aгде Z(t) – произвольные решения уравнения Бесселяν20 0(tZ ) + t −Z = 0,t-1-r=at ∈ (a, b),r=a(1.7)(1.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИа µk в формуле (1.7) – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b) = 0.(1.9)1.4.

Поведение функций Бесселя и НейманаТеорема 1.2 (Поведение в окрестности нуля).∞,ν < 0, ν ∈6 Z;Утв.0,ν < 0, ν ∈ Z;Jν (+0) =1,ν = 0;0,ν > 0;Nν (+0) = ∞,ν ∈ R; .1.5. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]Опр. 1.1. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:Lν (u)√ ∈ L2 (0, R).ru(r) ∈ C 2 (0, R];Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R] мы будем называтьзадачу:Найти числа λ и функции 0 6≡ u(r) ∈ M из условий:2r ∈ (0, R), ν > 0; −(ru0 )0+ νr u = λru,u(+0) < ∞;(1.10)αu(R) + βu0 (R) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Теорема 1.3.Утв.1. Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.Утв.2.

Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(r) ≡ const.Теорема 1.4.Утв.Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:"#!(ν) 2(ν)µµr(ν)kkλk =,Jν,k ∈ N,RR(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.-2-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 1.5.Утв. 1. Функция√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√r ϕ(r) =∞Xαkν√r Jνk=1αkν1=21Jν0 (µνk ) + 12 1 −2ν22[µνk ]Jν2(µνk )µνk rR1· 2·R,(1.11)ZRrϕ(r)Jνµνk rRdr,0(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.√Утв. 2.

В случае α = ν = 0, функция r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√α002= 2Rr ϕ(r) =ZRrϕ(r)dr,αk00α00√r+∞Xµ r√k,αk0 r J0Rk=12=2J1 (µk ) + J0 (µk )| {z }1· 2·2 R(1.12)ZRµ rkrϕ(r)J0dr.R0=0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.√Заметим, что в формуле (1.11) можно (и нужно) сократить на r. Зачем же его писать? Этоделается для того, чтобы разлагаемая функция, даже если она будет неограничена в окрестности нуля, попал в нужный класс, то есть в класс функций, для которых справедлива теоремаСтеклова, и ряд (1.11) сходился равномерно даже в окрестности нуля.2. Сферические функции2.1. Полиномы ЛежандраОпр.

2.1. Уравнение Лежандра:d2 dy(t)(1 − t )+ λy(t) = 0,dtdtt ∈ (−1, 1).(2.1)Заметим, что точки t = ±1 являются особыми для данного уравнения, – старший коэффициент уравнения в этих точках обращается в ноль.Большинство решений (2.1) в t = ±1 уходит в бесконечность. Однако физический интереспредставляют решения, ограниченные на всём отрезке t ∈ [−1, 1]. Таким образом, возникает-3-СПРАВОЧНИКспектральная задача:ddth—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИi(1 − t2 ) dy(t)+ λy(t) = 0,dtt ∈ (−1, 1);(2.2) y(±1) < ∞.Свойства спектральной задачи (2.2) описывает теорема:Теорема 2.1.Усл.Утв.Ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.1).1) λ = n(n + 1), где n = 0, 1, 2, .

. . ;2) функция y(t) является полиномом степени n, называемым полиномом Лежандра, и может быть найдена по формуле Родрига:n dn 21y(t) = Pn (t) = n · n t − 1.2 n! dt(2.3)Теорема 2.2 (Рекуррентные формулы).Утв.Имеют место следующие соотношения:основные:(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,100Pn (t) =Pn+1(t) − Pn−1(t) ,2n + 1дополнительные:0Pn−1(t) = t Pn0 (t) − nPn (t),00Pn0 (t) = t Pn−1(t) + nPn−1(t),20(1 − t )Pn (t) = nPn−1 (t) − n t Pn (t),n > 1;(2.4)n > 1;(2.5)n > 1;n > 1;n > 1.(2.6)(2.7)(2.8)Кроме приведённых формул, также весьма полезны следующие соотношения:Pn (−t) = (−1)n Pn (t),Pn (−1) = (−1)n ,n > 1;(−1)m (2m)!P2m+1 (0) = 0,P2m (0) =,m > 0.22m (m!)2Выпишем первые несколько полиномов Лежандра:Pn (1) = 1,(2.9)(2.10)3t2 − 15t3 − 3t,P3 (t) =;(2.11)2263t5 − 70t3 + 15t35t4 − 30t2 + 3P4 (t) =,P5 (t) =;(2.12)88231t6 − 315t4 + 105t2 − 5P6 (t) =,...(2.13)16Приведём также первые несколько выражений стандартных полиномов вида tk через полиномы Лежандра:11231 = P0 (t),t = P1 (t),t =P0 (t) + 2P2 (t) ,t =3P1 (t) + 2P3 (t) ;(2.14)3511t4 =7P0 (t) + 20P2 (t) + 8P4 (t) ,t5 =27P1 (t) + 28P3 (t) + 8P5 (t) .(2.15)3563P0 (t) = 1,P1 (t) = t,P2 (t) =-4-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 2.3 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра).Усл.f (t) ∈ C 2 [−1, 1].Утв.f (t) разлагается в следующий ряд Фурьеf (t) =∞XZ12k + 1fk =2fk Pk (t),k=0f (t)Pk (t)dt,t ∈ [−1, 1].(2.16)−1При этом ряд (2.16) сходится к f (t) равномерно на всём сегменте [−1, 1].Теорема 2.4 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра от косинусов).Усл.F (θ) ∈ C 2 [0, π].Утв.F (θ) разлагается в следующий ряд ФурьеF (θ) =∞X2k + 1Fk =2Fk Pk (cosθ),k=0ZπF (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,θ ∈ [0, π].

(2.17)0При этом ряд (2.17) сходится к F (θ) равномерно на всём сегменте [0, π].2.1.1. Общий вид гармонической функции, не зависящей от ϕВ случае, когда гармоническая функция u(r, θ, ϕ) не зависит от угла ϕ, имеют место следующие представления этой функции:• в шаре радиуса R, то есть при r < R:u(r, θ) =∞XAn Pn (cos θ) r nn=0R(2.18)• вне шара радиуса R, то есть при r > R:∞X n+1Ru(r, θ) =Bn Pn (cos θ)rn=0(2.19)• в шаровом слое, то есть при R1 < r < R2 :u(r, θ) =∞XAn Pn (cos θ) rn +n=0∞Xn=0BnPn (cos θ)rn+1(2.20)Опр.

2.2. Функции Pn (cos θ) называются сферическими, более точно зональными сферическими функциями порядка n.Функции Pn (cos θ) rn называются шаровыми функциями порядка n. В декартовых координатах шаровые функции представляют собой однородные гармонические полиномы от (x, y, z)степени n:Xun (x, y, z) =ap,q,s xp y q z s ,∆un = 0.p+q+s=n-5-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИPn (cos θ)мы будем называть внешними шаровыми или внешаровыми функциrn+1ями порядка n.Функции2.1.2. Производящая функцияМногие свойства полиномов Лежандра удобно доказывать, ипользуя следующее разложение:∞X1√=Pn (t)rn ,21 − 2rt + tn=0|r| < 1,∀t ∈ [−1, 1].(2.21)В данном случае Pn (t) – коэффициенты ряда, а функция левой части имеет своё название:Опр.

2.3. Функция √1называется производящей функцией для полиномов1 − 2rt + t2Лежандра.2.2. Присоединённые функции ЛежандраЗдесь мы будем рассматривать следующее уравнение: dm22 dy(t)(1 − t )+ λ−y(t) = 0,dtdt1 − t2t ∈ (−1, 1).(2.22)Теорема 2.5.Усл.Утв.Ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.22).1) λ = n(n + 1), где n = 0, ∞;2) функция y(t), называемая присоединённой функцией Лежандра порядкаk, может быть найдена по формуле:y(t) = Pnm (t) = 1 − t2 m2 dm Pn (t)·,dtmm = 0, n;(2.23)(0)3) при этом Pn (t) ≡ Pn (t) – полиномы Лежандра, а Pnm (t) ≡ 0 при всех m > n.Опр.

2.4. ФункцииPnm (cos θ) cos kϕ,Pnm (cos θ) sin kϕ,называются сферическими гармониками.-6-m = 0, n,n = 0, ∞,(2.24)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 2.6 (Разложение в ряд по сферическим гармоникам).Усл.g(θ, ϕ) ∈ C 2 , θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], g(θ, ϕ + 2π) = g(θ, ϕ).Утв.g(θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье#"k∞XXαk0Pk (cos θ) +Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) ,g(θ, ϕ) =2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0(2.25)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.26)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.27)0При этом ряд (2.25) сходится к g(θ, ϕ) абсолютно и равномерно наθ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].3.

Приложение. Оператор Лапласа в криволинейных координатахПриведём для полноты картины вид оператора Лапласа в наиболее часто встречающихся типах криволинейных координат – в цилиндрических и сферических.3.1. Оператор Лапласа в цилиндрических координатахВ цилиндрических координатах x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z=zоператор Лапласа принимает вид:∆u(r, ϕ, z) =11 rur + 2 uϕϕ + uzz .rrr3.2. Оператор Лапласа в сферических координатахВ сферических координатах x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θоператор Лапласа принимает вид:1 1 1∆u(r, θ, ϕ) = 2 r2 ur + 2sin θuθ + 2 2 uϕϕ ,rr sin θrθr sin θ-7-.