Теормин (Теормин.pdf)

ф 2. П$$СТЯ$$ОЯ$ГЯ йЯЧЯЛЫ$О-й~$ЯФВЫХ ЩЦ$$$. Подводя птоГ, м0$к$$О поставить обЩГВ$3В«$ачу1 $.($Ь$) «Э(«$$') И, - "~®~) ИГ ««)+«'"(М,«), Мпй, «>О„ и(Ь«,0) р(М), Мей=йиЗ', Г«(Р) — — "~+~3(Р)и(РД=)««Р,«), Ра Ь", «>О, дм(Р„«) $$ачаль$$О"крвеяп$В 3$ькача будет $$рсдс$$И$лсна так: и,=а'и„+)(х,«), хп(О,«), «>О, м(х,О»= $в(х), х и ~О,«1, 1краепьа мщача: и(О,«) = $«$(«), и(«,«) =,и,(«)„« ~О, П краевая мдача: и,(0,«)= $,(«), м,(1,«) = $;(«), « ~ О, 10 краевая эадвча: и,(О,«)-«$,и(О,«)=$«,(«), и„(«,«)+)$,и(«,«)=$«,(«), «аО; «$, =со«м«>0, «$$ -"еапх«>О.

крапина 8:(х=О„х=«). $ ВсдетВЯВ. Иъ докаЗВ$$иых тсор$$м следует $«риппи$$ Экстремума; зиачс$$ня фупк$$ии $«(Н„«) для Всех точск (М,«)п ф лежат мс$кау макспмальиь«м и мпиимальнмм Зпаченнямн фуи$щ$$Н па $'ра$$пцс, т.е, полубесконсч«и$$$ осп; и, =$$'и„+„«'(х„«), хп(О, ), «>О, и(х,О) "- «в(х)„х и (О„ж), 1 кр$$еваа эадача: и(0,«) = «и(«), «3 О, Н краевая я«П$$$ $В: и, ($$„«) = $."(«).

«> П, Ш краси$$я зл«ь$ $и: и, (О,«) "- «$и(0.«) "- ««(«), «;> 0; «$ > «$, $ 3. Ирй$«цйй веп$«сймумя для уряя$$П$$йя 'Гейдяйр«$йяйй$$с"Гй* Хееф~мы ейяййеййя. $ еорема ($$рп$$ян$$ маиепмума) реп$спис урав$$с$$ия тс$П$О$$р$«вод$И$сти а, -"- а' - «$И, «М„«) П Ц, нспрсрь«виос В эамк$$ухом $$ил$$$$лрс ДГ, В$$у$р$$ этОГО цняи$$дра пс ь«ожет прппимвть зпачсп«$л, оольп«ий, чем эпачеиня при «О и«$$$$$В$ра$$ицс Ж облкти й, Теорев«а сравп аппп 2. Пусть фупкции м,(м„«), « = 1„2 удовлепюря$ОТ однородному урапиенивэ тс$$ло$$роводиостп и, = $$ * Ьи, $$спрсрь«ани В ф П УДОВЛС$'ВОРЯИ$Т УСЛОВИЯМ ~м,(«Ь«,0)-и$(М,О~ ~ ю, М а Й, ~у,(Р,«)-$$$(Р,«'~Ь к, Рп Я, «а(0„7'), $ ОГДВ ~и (М «) и (М «~ < а во всея «очках эвмк$$у«О«т$ ЦИЛИН«$РВ $ $ ф 4.

В,дй$$стпейй«$ст$ й у~~$$йчйяос*ь $$С$йеййй Йе)ЭВФЙ йячядьйп — $сдяеййй зядячй «$ьпя уряй$$еййя таей«$О$Ч$оя«$дй$$етй. Рассмотрим перву$О $$ача«$ьно-кр$$еву«О задачу дла уравиения теплопроаодп$$с: И,:= а'«$И+ ~"(М,«), (М, «)П ф. $4,$) и($$$,0) = 4$($1«), «Ь«е $$ (4.2) и(Р,«) -" ««(Р,«), Р и Ь', «е «О, «') (4.3) $ е$$ре$$$а е«$Я$$етпеппаетп рен«е$$пп. Зааача $4 «) — (4.3) мол«СГ иметь только Одпо классичсск$$с рси«симе. Опредевеппе. РС$иеиие эааачп $4.

$) — (4.3) натмвается усто$$чивь«м„ее$$П маяь$м НЗмспспням пачальпык и Тра«тнч$$ь«х услОВНИ соответствует малое Н3$$снспис РЕ$ПСИПВ. '$ еорсма ап устоячпаоетп ре«пе$$ип. К«$В«юическос реп$с$$ие за«м $и «4. $) — «4.3) устойчиво по $$ача$$ь$$мм и $ ра$$пч«$ь$м усяовплм. 111, «з -"'-"-~+»(»$»(Р) = г(Р), Р е Ях 1трс$ъл красава В декарто$юй снстсме координат ура$И$сннс ЛВПЛаса Имеет В$щ ди ди ди »ъ( )и(ж $' зарх« + — + — -0 дг ф дг' В СфСРНЧССКой 1К У' ЯП д СО«Рх )» Г МП «9З$П ~У « ж ~ г СОЗ $» 1 $«»«1» «у )и(г, $»)х ()$) = — - — - г '=- + — — — з$п $У * .'д 1, Ь! .'; дМ~ М~ 1 д'и '+ =0 г' зн$д д()$$ в цплнндрнческой (х = г соз $в„у = г з(п р, ж = з)— 1 д ~ дии'1 1 д'и д'и «(х$х хи(г е$ 3) — г — + + х 0 .д.1, д ~ "д1' д" В плоском случае урал)$с$$ис д'и д'и ЛВ$$ласа имеет В$Щ $$$х,)и(хх«')= — + — 0 В д $ (~„2 ДСКВРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДНнатх ИЛИ 1 д1' ди1 1 д$и »($$, у)и(Г $В)-"х ~Г 1+ $0 — а НОЛаРНОй г д()» (К ~ ГСО»Ы У ~ ГЛИЦ(У).

фу!нации. язнзт$$ейм$$ 5 2. $ П1змо$$$$«чее$сме Фупднвзаз$тз$ль$$ь4е $$езцетгн$$ Лнплнен. Определенна. Даал(дм непрермвио днффере$$цнруемал функпнл и(М), которал в областн Й удоапсгворлст ураанеии(о ЛВпласа, пйзь$лаетсл гармо$$нческой В Й фу$$кцисй. (х — х ) х(у-у $)'х(х-х ) =«((х-х $)'х(у-у )' и(М,М,) = — $$азмзи)етса фундаме$ггальнмм ре$ценнем урааиеинл Лапласа В простринс$з»е. Функцна и(М,М,) 1П 1 фугцв$мситальнь$м рен(еннем уравнен на Лацласа ПЛОСЖОСТН. Фу$$двмеитальнь$м ре$неннем урал Пенна Лапласа пищаакгг такую гармоническую фупкцню, кокорев нмсе$ Определенного Вида особенность В единственной ТОчке М, ф 3. Поетнз$$зв$са зсрненьп знднч.

Внутренззнн задача ДнрнклеПусть 8- замкпутаа, достаточно глцдкал $$оаарк$$ОСТЬ« О$'1)ВИИЧИВВКИЦВЛ ОбЛВСТЬ Й, 1рсбустса найти фупкцн)О и(М), кото1и)л Определена и иеп1)срмв$$а в замкнутой области Й = Й $.» Я„удонлетвораст внутри Облас$з$ И уравненню Лапласа $$«и "-0 и при$$нмает НВ границе Ж задаи$$ь$с зпаченнл: и(Р) =,и(Р), Р и 8. Впутреинии задача Неймана. '1'рсбуется найти функцню и(М)„котораа оиределена, иепрсрь$вна и нспрсрмвно дифферсйцнруема В замкнутой областн Й, удовлетворлст В$$утри области Й уравнению Лапласа»)л: О, сб нормальнаа производ$$ал $$ри)$нмаст $$В гра$$пцс заданиь«с значеппя = $(Р), Ра Ь*.и(М)ИСф)«"«С'(Й),инС(Я). дл $$$$утр«нанни третьн $$раез$аи з4щвча.

Требуе се найтн фуикц$по и(М), которал ОПРЕДЕЛСНах НСПРСРМВНВ Н НЕ$$РСРЬ$ВИО ДнффСРСНЦНРУЕМВ в замк$$утой областн Й, удовлетворлст внутри Области Й урааиспи)о Лапласа Ли ~ 0„на $ра$$ицс УДОВЛЕТВОРЛСТ УСЛОВИЮ $т — +»(уи(Р)=у(Р),РИЗ,гг+»($ Ф О, $г>0,,$)) с О, ди(Р) ди и(М)и $,$(й)» ~$..'(Й), г н С(3). Пусть Й'- Обиас$ь, Вне)ннал к некоторой замкнутой $$овсрхностн Я. 9$$ен$$$ии задача Дирих»$е, '1'ребустсл иайтн функцию и(М), удовлетворл(он$ую уравне$$ню Лаиласа »$и = 0 а нео раипчсниой областн Й', непрермвпую в замкнутой области Й' = Й'$»Я, $$рпниммошу$О на г1ип$нце заданпь$е значепнл и(М) =,и(М), М «к Я н равномерно стремл$цуюсл к нулю на бескопсчностн, Стремление к нулк) функции и(М) па бсскопсхии$с(и нообходнмо д»$я еди$$стве$$ности регвеннл задачи. Еслп рассм$приаать случай наук псрсмсииь(х„то стремление к нулю функцни на беско$$еч$$ости нуло$О вамспзгть на условие Огр($ничсиностн функцин на беФконечпОстн.

ВНС$цнне краевме задачи 11 и 1И тнпа стаалтсл аиалогз$чиО. ф И1, ф~$$$С$1НЭ $"ф$$$$Э ЗЭК Ч$$,01$$ф~~дЛЭ. ОЮЙ$."П$Э ф~$$Ю~$$$$ $ Р4И$Э. Рзссмотриь1 Внутренэазкз задачу Дарите длл ураанення Пуасеона $.'16(М)=- -,1"(М), М и й, и $$ С(5)~-1С$(12)„ и(Р) =,и(Р), Р а К. Запнп$ем 6$$$6$раяьное предста1$лсиис рен$ення зтой задачи: Если потребовать, чтобы Выпоаналось услоаие ЯМ„Р)=0, Ре Я, то и(М,)=- Ои(Р) га(М„Р) х д$$,. — ЯЬ~(м~а(М„МР.„. (10,3) Определп$не. Функпил 6(М„М) юзыааетса функ$$неэ Грина Внут1зенней задачн Дбрнкле длл О$$ератора Лапласа, еслн 1.

б(М„М) = — + ю(М), гле фупкцна $(М) 4ЯИ,„и Гармоничиа Вс$оду В Облзстн Й; 2. 6(М$„Р)=0, Рн Я. Свойства функции 1 рииа. 1, 6(М, „М) > О, еслл М, М„Я Й, 2. Функцна 1"рана сэмметрбчна Относительно точек М, и М: а(М„М)-а(М,М,). $ 2. Зэдэч$$ КО$э$$ длэ урээ$$еп6$э $еолебэ$$нй иэ и16$$6$$$Й Ть1. Метод Даламбера.

Сформулируем задачу КОИ16 длл уравнен па колебаний иа прамой: и,„(х,$)ж а~и (х,$)+~(х,$), хе 11', $ >О, ~2.1) и(х,0): 4$(х)» и,(х,0) = 1к(х), х 6 Р'. 12.2) Онределе$$пе. Классическим ре1пеиием задачи (2,1), 12.21 ЙазыВастса фу1ищ$1Я и(х»$)» Определениаа $$ри ХНМ'.,$10 и непрерыа$$66 Вмеете со своей первой пронзаодиой пО $ В Обласп$ х е 1$', $2:О» нмеаощаа непрерывные Вт$$рь$е произаод$$ь$е а Областн „6 $11 $ > 0 и у$$оалеп$ора$аи$аа урзвие1$6$О 12-1) и пачааьным усаоаиам Р.21- $'асс$$отр$$м сначала задачу для Однародн6$'О ураа$1енна колебаннй и иеод$$ородиых иачальнь$Х условий: и„(х,$) = $$'и„(х,$)„х 6 11", $ > О, 12.3) и(х.0) =- р(х).

и, (х,0)-- у~(х), х е Л'. 12.41 ) х-6$)+1Р(х+а$) 1 '~~ 2$$ „ «~ормула 12.11) йвзыааетса формулой Даламбера В $ е пое$р$$ениа ре1пеииа ~~да~и 12.3], $2.4) назылаетса метолом Д$п1аь$бера $$» 3» С~ЩФЕТВ$$ЭЭННФ~ ЕДН$$Е'ПЬЙЙ$$$$Ф$"Ь Н уСТОЙЧ$$ЭЭЕТЪ $$6$$$ЕН$$Э ЗЭДЭЧЙ КОИ$$6» $ еореа$6 суп$еетиования и единс$'66$$наети ре$ненна залвчн $$,6$нн» Пусть фуикция 4$(х) даал$ды непрерь$6ио ифферс$И$ируема з фуикцпя Ф~(х) иепрерь1ано Лифферсн1$йруема 1$6 $$ ° 101'46 класси»1еское ре$аеиие задачи КОФЙ (2.31, (2,4) существует, е$$ииствеп$$О и Определаетса фОрмулой Дазймберй. ДоказательстаО.

Пусть фуикни и $$$(х) и р'(х) удоалетаорякзт услОВиям те$$ремы. ТО$'да иепосредсп$еннОЙ проверкой уствнаалн Наем, что фуикцна и(х,$), прелст$6$нмал формулой Даламбера, является классическим реплп$ием задач$$. Сяцестаоаанне ре$пення доказано. '1'еорема уе$$$Йчнваетн ренкннн залачн $$.$и$$и. Пусть функэнн 41(х)» $$$(х), $Р(х)„дФ(х)- йачальные даннь$е даук за$$ач КОП$6 $$„(х,$)=а и„(х,$), хек', $>0, и(х,0)=16(х), и,(х,0)=1$(х), хнг'„ П. 3 СУЗП$$СТВОВЭ$$ПФ П ФДППФТВФППОСТЬ $$ЭП$ФНПЯ 3ЭДЭЧП $ЬО$$$П ДЛЯ $$6ОД$$9~$ОД НОГО УРЭВ$$ОППЯ КОЛФбп$$ПЙ ПЭ $$РЯВ$ОЙ.

Рвссмотр$$М за$В$чу КО$йи два нсодпороди6$" в урввнсннв коасбм$нн". и,(Х,$) а'и„(х,$)+ /(Х,$), х е М'„$ > О, (2.9) и(х,О) =О, и,(Х,О)= О, х е г', (2ЛО) 'у'аврама„пусть функцпа «(Х,$) йсйрсрь$вна й имаст фх,т) НС$$У$»Р ЫВИУЗО йро$$ЗВРДИУЮ дх х н ф $ > О, тоГда задача Д.$$), ~2,10) ймсст Рвп$снив, Оно сдииствсй$ю н О$$родсаастса фОР$$у$изп »'Ф»ф Ф $ и(х, $) ~ — ) ~~ф, Г)$$фт, 2а$4- $ 3, ПОСТРОВППО РФ$$$ФППЙ $$ЭЧЭЛЬПО-КРЭФВЬ$Д ЗИДЭЧ ДЛЯ Т$$ЭВПИППЯ КОЛабп$$ПЙ ПЭ полуп~иФВ$ОЙ втйт$здовв п$$одол$каппй» Рассмотрим звдачп о Распрострайейпп аолй па $$олу$$Р о$$ х е (О, $6). Этн задачн ставатса с$$сдуюй$пм об вазом: $'$антн Рс$$$с$$нс уРВВ$$с$$ив и„(х,$)= а"и (х,$)„х>О, $ >О, (3.Ц ~д$овлстаоракзп$сс ГРВ$$йч$$ому усдов$ИО и(0,$)= $$($) пап и,(0,$)= ~ф), $ ~ О, (3.2) н начальным условиам В(х„О)= $$(х), и,(х,О)= $Г(х)„х ~ О, (33) Р6$йспис ка$кдой из з$З$х двух задач мож$о $» Рсдстав$ГГЬ как сумму рс$$$$$$ ий .

$$вух задач. 'с сднородйими нвчальньп$И усдовиамн» но с нсоднороднмм Граничнмм услов$$см, и с нводнороднь$ми йвчвльнь$$$Й усдов$$$мй» ПО с Одйороднь$м Грвйичнь$м, Рассмотрим сйачаав иачааьно к~н$свук$ задачу с однородп$$м услОВисм Дирихлс: и„(х,$)=а'и„(х,$), х>О, $>О, $3.4$ и(Х,О)=у(х), и,(х»0)"-'Р(х), Х10, (3.5) и(0,$)"-.О, $~0, (3,6) х О, 0<$<-, АНВВОГичнмми Рвссузкасииамй Рейимтев и задача с $$сод$$ороднь$М крвсвь$м усдовнсм $.'$сйма$$й. ф $$.

НЭЧЭЛЬПО"К$$ЭФВЬ$й ЗЭДЭЧП, ДЛП УРЭВПФП$$Я КОЛФбЭППЙ В П$КМ!Т~ФЭПФТВИ П ПЭ ОТ$$ВЗКФ» ПД. ЕДП$$ФПВВНПОСТЬ ~$6$ПСППЙ ПЭЧЭЛЬПО к$$ээВых мщэч для я$э В$$впня к$$лй6$аппй В ПРОСТ$ЖП$$ТВФ $6ОРФЙВ 6$ВВ$$счпвп$$6с$$$ Р6$ивппи зада чп В йрвстрапстйв. Задача ($,$) - (13) мозкат нмсть только ОДИО класспчсскос Р6$псннс, П.З. $'.ВП Р$$$ПОНПЙ ПЭЧЭЛЬП в'м'$а зэдэч длЯ У$авпенпЯ пплпбэп Й ОТ$ВВЗКЭ» Сйо У'~РУсм $$вчавьно крвовую зала Отрсзкс; ~е(х4-а'и„(х»$) = ф;$) О „„, О ( "(")=Р(х),( 4-й'), О~х~» $Ъ(Х„$) а,(х)--- * +д(х~ф «) ь йф;~) $5~у '"""ст амсть толь о о клвосн псков Р6$аснис .